مفارقة الساحل

مثال على مفارقة الخط الساحلي: إذا قُيس طول ساحل بريطانيا العظمى  بوحدات طولها 100 كيلومتر (62  ميلاً)، فإن طوله يبلغ حوالي 2800  كيلومتر (1700  ميل). أما إذا قُيس بوحدات طولها 50  كيلومتراً (31  ميلاً)، فإن الطول الإجمالي يبلغ حوالي 3400  كيلومتر (2100  ميل)، أي أطول بحوالي 600  كيلومتر (370  ميلاً).

مفارقة الخط الساحلي هي الملاحظة غير البديهية بأن الخط الساحلي لكتلة أرضية ما لا يمتلك طولًا أو محيطًا محددًا بدقة . وينتج هذا عن خصائص الخطوط الساحلية الشبيهة بالمنحنيات الكسورية، وتحديدًا حقيقة أن الخط الساحلي عادةً ما يكون له بُعد كسري . على الرغم من أن "مفارقة الطول" قد أشار إليها هوغو شتاينهاوس سابقًا ، ^{[ 1 ]} إلا أن أول دراسة منهجية لهذه الظاهرة كانت من قِبل لويس فراي ريتشاردسون ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد توسع فيها بينوا ماندلبروت . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يعتمد طول الخط الساحلي المقاس على طريقة القياس ودرجة التعميم الخرائطي . ولأن اليابسة تضم معالم على جميع المقاييس، من مئات الكيلومترات إلى أجزاء متناهية الصغر من المليمتر وما دونه، فلا يوجد حجم محدد لأصغر معلم يجب أخذه في الاعتبار عند القياس، وبالتالي لا يوجد محيط واحد محدد لليابسة. وتوجد تقريبات مختلفة، مثل بُعد مينكوفسكي-بوليغاند ، عند وضع افتراضات محددة حول الحد الأدنى لحجم المعلم.

تختلف هذه المشكلة جوهريًا عن قياس الحواف الأخرى الأبسط. فعلى سبيل المثال، من الممكن قياس طول قضيب معدني مستقيم مثالي بدقة باستخدام جهاز قياس لتحديد ما إذا كان طوله أقل من قيمة معينة وأكبر من قيمة أخرى، أي قياسه ضمن هامش خطأ معين . وكلما زادت دقة جهاز القياس، اقتربت النتائج من الطول الحقيقي للحافة. ​​أما مع خط الساحل، فإن القياس بتفاصيل أدق لا يُحسّن الدقة، بل يزيد من الطول الإجمالي فقط. وعلى عكس القضيب المعدني، يستحيل حتى نظريًا الحصول على قيمة دقيقة لطول خط الساحل.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن بسهولة توسيع مفارقة الخط الساحلي لتشمل مفهوم الهياكل السطحية الكسورية ، حيث تختلف مساحة السطح تبعًا لدقة القياس.

قبل عام 1951 بقليل، لاحظ لويس فراي ريتشاردسون ، أثناء بحثه في التأثير المحتمل لأطوال الحدود على احتمالية نشوب الحرب، أن البرتغاليين أفادوا بأن طول حدودهم مع إسبانيا يبلغ 987 كيلومترًا (613 ميلًا) ، بينما أفاد الإسبان بأنها تبلغ 1214 كيلومترًا (754 ميلًا) . كانت هذه بداية مشكلة الخط الساحلي، وهي عدم يقين رياضي متأصل في قياس الحدود غير المنتظمة. ^{[ 6 ]}    

كانت الطريقة الشائعة لتقدير طول الحدود (أو السواحل) هي رسم n قطعة مستقيمة متساوية الطول (l) باستخدام فاصل على خريطة أو صورة جوية. يجب أن تقع كل نهاية من القطعة على الحدود. عند دراسة التباينات في تقدير الحدود، اكتشف ريتشاردسون ما يُعرف الآن بـ "تأثير ريتشاردسون": يزداد مجموع أطوال القطع بشكل مطرد كلما قلّ طولها المشترك. بمعنى آخر، كلما قصرت المسطرة، زاد طول الحدود المقاسة؛ ببساطة، كان الجغرافيون الإسبان والبرتغاليون يستخدمون مساطر بأطوال مختلفة.

النتيجة الأكثر إثارة للدهشة بالنسبة لريتشاردسون هي أنه في ظل ظروف معينة، عندما يقترب طول الخط الساحلي من الصفر، يقترب طول الخط الساحلي من اللانهاية . كان ريتشاردسون يعتقد، استنادًا إلى الهندسة الإقليدية ، أن الخط الساحلي يقترب من طول ثابت، كما هو الحال في التقديرات المماثلة للأشكال الهندسية المنتظمة. على سبيل المثال، يقترب محيط المضلع المنتظم المرسوم داخل دائرة من محيط الدائرة مع ازدياد عدد أضلاعه (ونقص طول أحد أضلاعه). في نظرية القياس الهندسي ، يُطلق على المنحنى الأملس كالدائرة، الذي يمكن تقريبه بقطع مستقيمة صغيرة ذات حد محدد، اسم المنحنى القابل للتقويم . ^{[ 7 ]} ابتكر بينوا ماندلبروت مقياسًا بديلًا لطول الخطوط الساحلية، وهو بُعد هاوسدورف ، وأظهر أنه لا يعتمد على الطول l بنفس الطريقة.

ينبع المفهوم الأساسي للطول من المسافة الإقليدية . في الهندسة الإقليدية، يُمثل الخط المستقيم أقصر مسافة بين نقطتين. ^{[ 8 ]} لهذا الخط طول واحد فقط. على سطح الكرة، يُستبدل هذا الطول بالطول الجيوديسي (ويُسمى أيضًا طول الدائرة العظمى )، والذي يُقاس على طول المنحنى السطحي الموجود في المستوى الذي يحتوي على نقطتي البداية والنهاية ومركز الكرة. يُعدّ حساب طول المنحنيات الأساسية أكثر تعقيدًا، ولكنه ممكن أيضًا. باستخدام المسطرة، يُمكن تقريب طول المنحنى بجمع أطوال الخطوط المستقيمة التي تصل بين النقطتين.

استخدام بضعة خطوط مستقيمة لتقريب طول منحنى ما يُنتج تقديرًا أقل من الطول الحقيقي؛ وعند استخدام خطوط أقصر (وبالتالي أكثر عددًا)، يقترب المجموع من الطول الحقيقي للمنحنى، وهذا الطول هو الحد الأدنى الأعلى أو القيمة العظمى لجميع هذه التقريبات. يمكن إيجاد قيمة دقيقة لهذا الطول باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، وهو فرع من الرياضيات يُتيح حساب المسافات المتناهية الصغر. يوضح الرسم المتحرك التالي كيف يمكن تحديد طول دقيق لمنحنى أملس :

لا يمكن قياس جميع المنحنيات بهذه الطريقة. فالكسرية ، بحكم تعريفها، منحنى لا يقل تعقيده المُدرَك مع زيادة مقياس القياس. وبينما تميل تقريبات المنحنى الأملس إلى قيمة واحدة مع ازدياد دقة القياس، فإن القيمة المقاسة للكسرية لا تتقارب.

يستمر منحنى سيربينسكي هذا (وهو نوع من المنحنيات التي تملأ الفراغ )، والذي يكرر النمط نفسه على نطاق أصغر فأصغر، في الازدياد طولًا. وإذا ما فُهم على أنه يتكرر ضمن فضاء هندسي قابل للتقسيم إلى ما لا نهاية، فإن طوله يميل إلى اللانهاية. وفي الوقت نفسه، تتقارب المساحة المحصورة بالمنحنى إلى قيمة محددة بدقة، تمامًا كما يمكن حساب مساحة جزيرة بسهولة أكبر من حساب طول ساحلها.

بما أن طول المنحنى الفركتلي يتباعد دائمًا إلى ما لا نهاية، فلو قمنا بقياس خط ساحلي بدقة لانهائية أو شبه لانهائية، فإن مجموع أطوال الانحناءات المتناهية الصغر في هذا الخط الساحلي سيصل إلى ما لا نهاية. ^{[ 9 ]} مع ذلك، يعتمد هذا الرقم على افتراض إمكانية تقسيم الفضاء إلى أجزاء متناهية الصغر. إن صحة هذا الافتراض - الذي يقوم عليه علم الهندسة الإقليدية ويُستخدم كنموذج مفيد في القياسات اليومية - مسألة تخضع للتأمل الفلسفي، وقد لا تعكس أو لا تعكس الحقائق المتغيرة لمفهومي "الفضاء" و"المسافة" على المستوى الذري (أي ما يقارب مقياس النانومتر ) .

تتميز الخطوط الساحلية ببنية أقل تحديدًا من الأشكال الكسورية المثالية مثل مجموعة ماندلبروت ، لأنها تتشكل بفعل أحداث طبيعية متنوعة تخلق أنماطًا بطرق عشوائية إحصائيًا ، بينما تتشكل الأشكال الكسورية المثالية من خلال تكرارات متكررة لتسلسلات بسيطة وصيغية. ^{[ 10 ]}

قياس خط الساحل

بعد أكثر من عقد من إتمام ريتشاردسون لعمله، طور بينوا ماندلبروت فرعًا جديدًا من الرياضيات يُسمى الهندسة الكسورية لوصف مثل هذه الأشكال المعقدة غير القابلة للتصحيح في الطبيعة، كالساحل اللانهائي. ^{[ 11 ]} تعريفه الخاص لهذا الشكل الجديد، الذي شكل أساس دراسته، هو: ^{[ 12 ]}

لقد صغتُ كلمة "فراكتال" من الصفة اللاتينية "fractus ". والفعل اللاتيني المقابل "frangere " يعني "الكسر": أي إنشاء أجزاء غير منتظمة. لذا فمن المنطقي... أنه بالإضافة إلى معنى "مجزأ"... يجب أن تعني كلمة "fractus " أيضًا "غير منتظم".

في بحثه " ما طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسري "، المنشور في 5 مايو 1967، ^{[ 13 ]} ناقش ماندلبروت المنحنيات المتشابهة ذاتيًا التي يتراوح بُعد هاوسدورف الخاص بها بين 1 و2. تُعد هذه المنحنيات أمثلة على الأشكال الكسورية ، على الرغم من أن ماندلبروت لم يستخدم هذا المصطلح في البحث، إذ لم يصغه إلا في عام 1975. ويُعد هذا البحث من أوائل منشورات ماندلبروت حول موضوع الأشكال الكسورية. ^{[ 14 ]}

تشير الأدلة التجريبية إلى أنه كلما صغر مقدار القياس، زاد طول الخط الساحلي المقاس. فلو قسنا امتدادًا لخط ساحلي باستخدام مسطرة مترية ، لحصلنا على نتيجة أقصر مما لو قسنا نفس الامتداد باستخدام مسطرة طولها 30 سم (قدم واحدة) . والسبب في ذلك هو أن المسطرة المرسومة على خط ساحلي تكون أكثر انحناءً من تلك التي ترسمها المسطرة المترية. تشير الأدلة التجريبية إلى قاعدة، إذا ما تم تعميمها، تُظهر أن الطول المقاس يزداد بلا حدود كلما تناقص مقياس القياس باتجاه الصفر. هذا النقاش يعني أنه من غير المجدي الحديث عن طول الخط الساحلي؛ إذ نحتاج إلى وسائل أخرى لتحديد أبعاده. ثم يصف ماندلبروت منحنيات رياضية مختلفة، مرتبطة بمنحنى كوخ الثلجي ، والتي تُعرَّف بطريقة تجعلها متشابهة ذاتيًا تمامًا. يُبيّن ماندلبروت كيفية حساب بُعد هاوسدورف لكل منحنى من هذه المنحنيات، حيث يتراوح بُعد كل منها (D) بين 1 و2 (ويذكر أيضًا منحنى بيانو الذي يملأ الفراغ ، والذي يبلغ بُعده 2 بالضبط، دون أن يُقدّم طريقةً لبنائه). لا تدّعي الورقة البحثية أن أي خط ساحلي أو حدود جغرافية له بُعد كسري. بل تُشير إلى أن قانون ريتشاردسون التجريبي يتوافق مع فكرة إمكانية نمذجة المنحنيات الجغرافية، كالخطوط الساحلية، بأشكال عشوائية ذاتية التشابه ذات بُعد كسري. في نهاية الورقة، يُناقش ماندلبروت بإيجاز كيفية دراسة الأجسام الشبيهة بالكسور الهندسية في الطبيعة، والتي تبدو عشوائية وليست منتظمة. ولهذا الغرض، يُعرّف الأشكال ذاتية التشابه إحصائيًا، ويُشير إلى وجودها في الطبيعة. تكمن أهمية هذه الورقة في كونها "نقطة تحوّل" في فكر ماندلبروت المبكر حول الكسور الهندسية. ^{[ 15 ]} إنه مثال على ربط الأشياء الرياضية بالأشكال الطبيعية التي كانت موضوعًا رئيسيًا في الكثير من أعماله اللاحقة. 

من الخصائص الأساسية لبعض الأشكال الكسورية خاصية التشابه الذاتي؛ أي أن التكوين العام نفسه يظهر عند أي مقياس . يُنظر إلى الخط الساحلي على أنه خلجان تتناوب مع رؤوس صخرية. في الحالة الافتراضية التي يتمتع فيها خط ساحلي معين بخاصية التشابه الذاتي، فإنه مهما تم تكبير أي جزء صغير منه، يظهر نمط مشابه من الخلجان والرؤوس الصخرية الأصغر حجمًا متراكبة على الخلجان والرؤوس الصخرية الأكبر، وصولًا إلى أدق التفاصيل. عند هذا المقياس، يبدو الخط الساحلي كخيط متحرك لحظيًا، وربما لانهائي الطول، بترتيب عشوائي للخلجان والرؤوس الصخرية المتكونة من الأجسام الصغيرة المتاحة. في مثل هذه البيئة (على عكس المنحنيات الملساء)، يؤكد ماندلبروت ^{[ 11 ]} أن "طول الخط الساحلي يصبح مفهومًا مراوغًا يفلت من بين أيدي من يحاولون فهمه".

توجد أنواع مختلفة من الأشكال الكسورية. يُصنَّف الخط الساحلي الذي يتمتع بالخاصية المذكورة ضمن "الفئة الأولى من الأشكال الكسورية، وهي المنحنيات التي يزيد بُعدها الكسوري عن 1". يُمثِّل هذا البيان الأخير امتدادًا من ماندلبروت لفكر ريتشاردسون. ويُعرِّف ماندلبروت تأثير ريتشاردسون كما يلي: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle L(\varepsilon )\sim F\varepsilon ^{1-D},}$

حيث L ، طول خط الساحل، وهو دالة لوحدة القياس ε ، يُقارب بالمعادلة. F ثابت، و D مُعامل وجد ريتشاردسون أنه يعتمد على خط الساحل المُقارب بـ L. لم يُقدم ريتشاردسون تفسيرًا نظريًا، لكن ماندلبروت ربط D بصيغة غير صحيحة لبُعد هاوسدورف، والذي عُرف لاحقًا بالبُعد الكسري. بإعادة ترتيب المعادلة نحصل على

${\displaystyle F\varepsilon ^{-D}\cdot \varepsilon ,}$

حيث يُمثل Fε ^{− D} عدد الوحدات ε اللازمة للحصول على L. لا يمتد الخط المتقطع الذي يقيس الساحل في اتجاه واحد، ولا يُمثل منطقة، بل هو وسيط بينهما، ويمكن اعتباره شريطًا بعرض 2ε . D هو بُعده الكسري، ويتراوح بين 1 و2 (وعادةً ما يكون أقل من 1.5). كلما زاد تقطع السواحل، زادت قيمة D ، وبالتالي يكون L أطول لنفس قيمة ε . تبلغ قيمة D حوالي 1.02 لساحل جنوب إفريقيا ، وحوالي 1.25 للساحل الغربي لبريطانيا العظمى. ^{[ 5 ]} أما بالنسبة لشواطئ البحيرات، فإن القيمة النموذجية لـ D هي 1.28. ^{[ 17 ]}

تُشير مفارقة الخط الساحلي إلى مشكلة ذات تطبيقات عملية، تشمل مسائل بسيطة كأطول نهر أو شاطئ أو حدود أو خط ساحلي ، حيث يُعدّ الرقمان القياسيان الأولان موضع جدل حاد. علاوة على ذلك، تمتد المشكلة لتشمل ترسيم الحدود الإقليمية ، وحقوق الملكية ، ورصد التعرية ، والآثار النظرية لنمذجة الهندسة . ولحل هذه المشكلة، طُرحت عدة حلول. ^{[ 18 ]} تُعالج هذه الحلول المشكلات العملية المتعلقة بالمشكلة من خلال تحديد تعريف "الخط الساحلي"، وتحديد الحدود الفيزيائية العملية له، واستخدام الأعداد الصحيحة ضمن هذه الحدود العملية لحساب طوله بدقة معقولة. ^{[ 18 ]} يمكن لهذه الحلول العملية أن تُنهي المشكلة في جميع التطبيقات العملية، مع بقائها مفهومًا نظريًا/رياضيًا ضمن النماذج. ^{[ 19 ]}

كثيراً ما تُنتقد مفارقة الخط الساحلي لأن الخطوط الساحلية بطبيعتها محدودة، وهي معالم حقيقية في الفضاء، وبالتالي، هناك إجابة قابلة للقياس الكمي لطولها. ^{[ 18 ] [ 20 ]}

يكمن مصدر هذه المفارقة في طريقة قياس الواقع، وتبرز أهميتها عند محاولة استخدام هذه القياسات لإنشاء نماذج خرائطية للسواحل. ^{[ 20 ]} وقد سهّلت التقنيات الحديثة، مثل تقنية LiDAR وأنظمة تحديد المواقع العالمية ونظم المعلومات الجغرافية ، معالجة هذه المفارقة بشكل كبير؛ إلا أن قيود قياسات المسح وبرامج المتجهات لا تزال قائمة. ^{[ 18 ]} ويرى النقاد أن هذه المشكلات ذات طابع نظري أكثر منها عملي بالنسبة للمخططين. ^{[ 18 ]}

بدلاً من ذلك، يُعد مفهوم "خط" الساحل في حد ذاته مفهوماً بشرياً يعتمد على تحديد مستوى المد والجزر ، وهو مستوى غير ثابت بالنسبة لأي مستوى رأسي . وبالتالي، فإن أي خط يُرسم بين اليابسة والبحر في منطقة المد والجزر يكون شبه اعتباطي ومتغيراً باستمرار . ونتيجة لذلك، يمكن إنشاء عدد كبير من "خطوط الشاطئ" لأغراض تحليلية متنوعة باستخدام مصادر بيانات ومنهجيات مختلفة، ولكل منها طول مختلف. وقد يُعقّد هذا الأمر عملية قياس خدمات النظام البيئي باستخدام طرق تعتمد على طول خط الشاطئ. ^{[ 21 ]}

• نزاع حدود ألاسكا – اختلفت مطالبات ألاسكا وكندا بشأن منطقة ألاسكا بان هاندل اختلافاً كبيراً، استناداً إلى تفسيرات متنافسة للعبارة الغامضة التي تحدد الحدود عند "خط موازٍ لتعرجات الساحل"، والتي تم تطبيقها على المنطقة الغنية بالفيوردات .
• البعد الكسري
• بوق جبرائيل ، شكل هندسي ذو مساحة سطح لا نهائية ولكن حجم محدود
• طول القوس
• قائمة الدول حسب طول سواحلها
• المقياس (الجغرافيا)
• مفارقة الكومة
• مفارقة الدرج ، وهي مفارقة مشابهة حيث يتقارب تقريب القطعة المستقيمة إلى قيمة مختلفة
• مفارقات زينون
• قائمة أطول الشواطئ
• قائمة أنظمة الأنهار حسب الطول
• قائمة الدول والأقاليم حسب عدد حدودها البرية

• " الخطوط الساحلية " في الهندسة الكسورية (تحرير مايكل فريم، وبنوا ماندلبروت، ونيال نيجر؛ تم الاحتفاظ بها لمقرر الرياضيات 190أ في جامعة ييل)
• أطلس كندا - الساحل والشاطئ
• مدونة NOAA GeoZone على موقع Digital Coast
• ما هي مفارقة الساحل؟ – فيديو على يوتيوب من إنتاج Veritasium