رقم اجتماعي

في الرياضيات ، تُعرف الأعداد الاجتماعية بأنها أعداد تُشكّل مجاميعها الجزئية متتالية دورية . وهي تعميم لمفهومي الأعداد الكاملة والأعداد الودية . اكتشف عالم الرياضيات البلجيكي بول بوليه أول متتاليتين اجتماعيتين، أو سلسلتين اجتماعيتين، وأطلق عليهما هذا الاسم عام ١٩١٨. ^{[ ١ ]} في المتتالية الاجتماعية، يكون كل عدد هو مجموع القواسم الصحيحة للعدد السابق، أي أن المجموع لا يشمل العدد السابق نفسه. ولكي تكون المتتالية اجتماعية، يجب أن تكون دورية وتعود إلى نقطة بدايتها.

دورة التسلسل، أو ترتيب مجموعة الأرقام الاجتماعية، هي عدد الأرقام في هذه الدورة .

إذا كانت دورة المتتالية تساوي 1، فإن العدد يكون عددًا اجتماعيًا من الرتبة 1، أو عددًا كاملًا - على سبيل المثال، القواسم الصحيحة للعدد 6 هي 1 و2 و3، ومجموعها يساوي 6 أيضًا. زوج من الأعداد الودية هو مجموعة من الأعداد الاجتماعية من الرتبة 2. لا توجد أعداد اجتماعية معروفة من الرتبة 3، وقد أُجريت عمليات بحث عنها حتى الآن.${\displaystyle 5\times 10^{7}}$اعتبارًا من عام 1970. ^{[ 2 ]}

يبقى السؤال مفتوحاً عما إذا كانت جميع الأرقام تنتهي إما برقم اجتماعي أو برقم أولي (وبالتالي 1)، أو، بشكل مكافئ، ما إذا كانت هناك أرقام لا تنتهي متتالية أجزاءها أبداً، وبالتالي تنمو بلا حدود.

على سبيل المثال، العدد 1,264,460 هو عدد اجتماعي، وتسلسله الدوري للأجزاء له دورة مقدارها 4:

مجموع القواسم الصحيحة لـ${\displaystyle 1264460}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$) يكون

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860

مجموع القواسم الصحيحة لـ${\displaystyle 1547860}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$) يكون

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636

مجموع القواسم الصحيحة لـ${\displaystyle 1727636}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$) يكون

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184، و

مجموع القواسم الصحيحة لـ${\displaystyle 1305184}$(${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$) يكون

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

يصنف الجدول التالي جميع الأرقام الاجتماعية المعروفة حتى أكتوبر 2024 حسب طول تسلسل الأجزاء المقابلة:

التسلسل المكون من 5 دورات هو: 12496، 14288، 15472، 14536، 14264

الدورة الوحيدة المعروفة المكونة من 28 دورة هي: 14316، 19116، 31704، 47616، 83328، 177792، 295488، 629072، 589786، 294896، 358336، 418904، 366556، 274924، 275444، 243760، 376736، 381028، 285778، 152990، 122410، 97946، 48976، 45946، 22976، 22744، 19916، 17716 (التسلسل A072890 في OEIS ) .

توفر هاتان المتتاليتان الأرقام الاجتماعية الوحيدة التي تقل عن مليون (بخلاف الأرقام المثالية والودية).

يمكن تمثيل تسلسل الأجزاء كرسم بياني موجه ،${\displaystyle G_{n,s}}$، لعدد صحيح معين${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle s(k)}$يرمز إلى مجموع القواسم الصحيحة لـ${\displaystyle k}$[ ^{5 ]} دورات في^​${\displaystyle G_{n,s}}$تمثل الأعداد الاجتماعية ضمن الفترة${\displaystyle [1,n]}$. هناك حالتان خاصتان هما الحلقات التي تمثل أعدادًا مثالية والدورات ذات الطول اثنين التي تمثل أزواجًا ودية .

يُفترض أنه مع اقتراب عدد دورات الأعداد الاجتماعية التي يزيد طولها عن 2 من اللانهاية، فإن نسبة مجموع دورات الأعداد الاجتماعية القابلة للقسمة على 10 تقترب من 1 (المتتالية A292217 في OEIS ) .

• هـ. كوهين، حول الأعداد الودية والاجتماعية، الرياضيات الحاسوبية 24 (1970)، ص  423-429

• قائمة بالأرقام الاجتماعية المعروفة
• جداول موسعة للأعداد المثالية والودودة والاجتماعية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الأعداد الاجتماعية" . عالم الرياضيات .
• A003416 (أصغر رقم اجتماعي من كل دورة) و A122726 (جميع الأرقام الاجتماعية) في OEIS