رقم مثالي

في نظرية الأعداد ، العدد الكامل هو عدد صحيح موجب يساوي مجموع قواسمه الموجبة الفعلية ، أي القواسم باستثناء العدد نفسه. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، العدد 6 له القواسم الفعلية 1 و2 و3، و1 + 2 + 3 = 6، لذا فإن 6 عدد كامل. العدد الكامل التالي هو 28، لأن 28 له القواسم الفعلية 1 و2 و4 و7 و14، و1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

الأعداد الكاملة السبعة الأولى هي 6 و 28 و 496 و 8128 و 33550336 و 8589869056 و 137438691328. ^{[ 2 ]}

يُطلق على مجموع القواسم الصحيحة لعدد ما اسم مجموعها الجزئي ، لذا فإن العدد الكامل هو العدد الذي يساوي مجموع قواسمه الجزئية. وبصورة مكافئة، العدد الكامل هو العدد الذي يساوي نصف مجموع جميع قواسمه الموجبة؛ بالرموز،${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$أين${\displaystyle \sigma _{1}}$هي دالة مجموع القواسم .

هذا التعريف قديم، إذ ظهر في وقت مبكر في كتاب الأصول لإقليدس (الكتاب السابع، التعريف 22) حيث يُطلق عليه اسم τέλειος ἀριθμός ( العدد الكامل أو المثالي أو التام ). كما أثبت إقليدس قاعدة تكوين (الكتاب التاسع، القضية 36) تنص على ما يلي:${\textstyle {\frac {q(q+1)}{2}}}$هو عدد زوجي كامل كلما${\displaystyle q}$هو عدد أولي من الشكل${\displaystyle 2^{p}-1}$للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle p}$—ما يُعرف الآن باسم عدد ميرسين الأولي . بعد ألفي عام، أثبت ليونارد أويلر أن جميع الأعداد الزوجية الكاملة هي من هذا الشكل. ^{[ 3 ]} يُعرف هذا باسم نظرية إقليدس-أويلر .

ليس من المعروف ما إذا كانت هناك أي أعداد كاملة فردية، ولا ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الكاملة.

في حوالي عام 300  قبل الميلاد، أثبت إقليدس أنه إذا كان 2p ^-  1  عددًا أوليًا، فإن ^{2p - 1} ( ^2p  -  1) عدد كامل. كانت الأعداد الكاملة الأربعة الأولى هي الوحيدة المعروفة في الرياضيات اليونانية القديمة ، وقد لاحظ عالم الرياضيات نيكوماخوس العدد 8128 في وقت مبكر يعود إلى حوالي عام  100 ميلادي. ^{[ 4 ]} بعبارة أخرى، يذكر نيكوماخوس، دون برهان، أن كل عدد كامل يكون على الصورة${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$أين${\displaystyle 2^{n}-1}$هو عدد أولي. ^{[ 5 ] [ 6 ]} يبدو أنه يجهل أن ن نفسه يجب أن يكون عددًا أوليًا. ويقول أيضًا (خطأً) إن الأعداد الكاملة تنتهي بالرقمين 6 أو 8 بالتناوب. (تنتهي الأعداد الكاملة الخمسة الأولى بالأرقام 6، 8، 6، 8، 6؛ لكن العدد السادس ينتهي أيضًا بالرقم 6). يذكر فيلو الإسكندري في كتابه "في الخلق" الذي يعود إلى القرن الأول الميلادي الأعداد الكاملة، مدعيًا أن العالم خُلق في 6 أيام وأن القمر يدور حول الأرض في 28 يومًا لأن 6 و28 عددان كاملان. وقد تبعه أوريجانوس ، ^{[ 7 ]} وديديموس الأعمى ، الذي أضاف ملاحظة مفادها أن هناك أربعة أعداد كاملة فقط أقل من 10000. (تعليق على سفر التكوين 1: 14-19). ^{[ ٨ ]} عرّف أوغسطينوس، أسقف هيبو، الأعداد الكاملة في كتابه "مدينة الله" (الكتاب الحادي عشر، الفصل ٣٠) في أوائل القرن الخامس الميلادي، مكررًا الادعاء بأن الله خلق العالم في ستة أيام لأن ٦ هو أصغر عدد كامل. وذكر عالم الرياضيات المصري إسماعيل بن فلوس (١١٩٤-١٢٥٢) الأعداد الكاملة الثلاثة التالية (٣٣,٥٥٠,٣٣٦؛ ٨,٥٨٩,٨٦٩,٠٥٦؛ و١٣٧,٤٣٨,٦٩١,٣٢٨)، وسرد عددًا آخر تبين الآن عدم صحته. ^{[ ٩ ]} أول ذكر أوروبي معروف للعدد الكامل الخامس هو مخطوطة كتبها عالم رياضيات مجهول بين عامي ١٤٥٦ و١٤٦١. ^{[ 10 ]} في عام 1588، حدد عالم الرياضيات الإيطالي بيترو كاتالدي العددين الكاملين السادس (8,589,869,056) والسابع (137,438,691,328)، كما أثبت أن كل عدد كامل يتم الحصول عليه من قاعدة إقليدس ينتهي بالرقم 6 أو 8. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

أثبت إقليدس أن${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$هو عدد زوجي كامل كلما${\displaystyle 2^{p}-1}$هو عدد أولي في كتاب العناصر (الكتاب التاسع، القضية 36).

على سبيل المثال، يتم توليد الأعداد الكاملة الأربعة الأولى بواسطة الصيغة${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$حيث p عدد أولي ، كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

الأعداد الأولية من الشكل${\displaystyle 2^{p}-1}$تُعرف هذه الأعداد باسم أعداد ميرسين الأولية ، نسبةً إلى الراهب مارين ميرسين الذي عاش في القرن السابع عشر ، والذي درس نظرية الأعداد والأعداد الكاملة.${\displaystyle 2^{p}-1}$لكي يكون العدد أوليًا، يجب أن يكون p نفسه أوليًا. ومع ذلك، ليست كل الأعداد من الشكل${\displaystyle 2^{p}-1}$الأعداد التي يكون فيها p عددًا أوليًا هي أعداد أولية؛ على سبيل المثال، 2 ^{^11} - 1 = 2047 = 23 × 89 ليس عددًا أوليًا. ^{[ أ ]} في الواقع، أعداد ميرسين الأولية نادرة جدًا: من بين ما يقرب من 4 ملايين عدد أولي، p حتى 68,874,199،${\displaystyle 2^{p}-1}$وهي مناسبة لـ 48 منها فقط. ^{[ 14 ]}

بينما ذكر نيكوماخوس (دون دليل) أن جميع الأعداد الكاملة كانت على الشكل${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$أين${\displaystyle 2^{n}-1}$على الرغم من أن ابن الهيثم (الحسن بن أبي طالب) ذكر أن العدد أولي (مع أنه عبّر عن ذلك بصيغة مختلفة نوعًا ما)، إلا أنه في حوالي عام 1000 ميلادي لم يكن راغبًا في الذهاب إلى هذا الحد، بل أعلن (أيضًا دون برهان) أن الصيغة لا تُعطي إلا كل عدد زوجي كامل. ^{[ 15 ]} ولم يثبت ليونارد أويلر صحة الصيغة إلا في القرن الثامن عشر.${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ينتج بالفعل جميع الأعداد الزوجية الكاملة. وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين الأعداد الزوجية الكاملة وأعداد ميرسين الأولية؛ إذ يُنتج كل عدد أولي من أعداد ميرسين عددًا زوجيًا كاملًا واحدًا، والعكس صحيح. تُعرف هذه النتيجة غالبًا باسم نظرية إقليدس-أويلر .

أظهر بحث شامل أجراه مشروع الحوسبة الموزعة GIMPS أن أول 50 عددًا زوجيًا مثاليًا هي${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ل

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011، 24036583، 25964951، 30402457، 32582657، 37156667، 42643801، 43112609، 57885161، 74207281 ، 77232917 A000043  . ^{[ 14 ]}

تم اكتشاف عددين مثاليين أعلى، وهما العددان اللذان يحققان قيمة p تساوي 82589933 و136279841. ورغم أنه لا يزال من الممكن وجود أعداد مثالية أخرى ضمن هذا النطاق، إلا أن الاختبارات الأولية الشاملة التي أجراها معهد GIMPS لم تكشف عن أي أعداد مثالية أخرى لقيمة p أقل من 138277717. (حتى أكتوبر 2024) يُعرف 52 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين، ^{[ 16 ]} وبالتالي 52 عددًا زوجيًا كاملًا (أكبرها هو 2^ ^136279840 × (2^ ^136279841 - 1) ويتكون من 82,048,640 رقمًا). ولا يُعرف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الكاملة، ولا ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية.

{{{annotations}}}

بما أن العدد 2n ^- 1 عدد فردي، وجميع الأعداد السداسية هي أعداد مثلثية ذات أضلاع فردية، فإنها أيضاً أعداد سداسية.

بالإضافة إلى امتلاكها للشكل${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$كل عدد زوجي كامل هو${\displaystyle (2^{p}-1)}$العدد المثلثي رقم -th (وبالتالي يساوي مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى${\displaystyle 2^{p}-1}$) و${\displaystyle 2^{p-1}}$العدد السداسي رقم n . علاوة على ذلك، كل عدد زوجي كامل باستثناء 6 هو n.${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$العدد التساعي المركزي رقم - يساوي مجموع العدد الأول${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$المكعبات الفردية (المكعبات الفردية حتى مكعب${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$):

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

الأعداد الكاملة الزوجية (باستثناء 6) تكون على الشكل $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

مع كل عدد مثلثي ناتج T7 = 28 _، T31 = 496 _، T127 = 8128 ₍ بعد طرح 1 من العدد الكامل وقسمة الناتج على 9) ينتهي بـ 3 أو 5، فإن المتتالية التي تبدأ بـ T2 = 3 _، T10 = 55 _، T42 = 903 ، _T2730 = 3727815، ... _[ ^{17 ] تُستنتج} من ذلك أنه بجمع أرقام أي عدد زوجي كامل (باستثناء 6)، ثم جمع أرقام العدد الناتج، وتكرار هذه العملية حتى الحصول على رقم واحد (يُسمى الجذر الرقمي )، ينتج دائمًا العدد 1. على سبيل المثال، الجذر الرقمي للعدد 8128 هو 1، لأن 8 + 1 + 2 + 8 = 19 ، و 1 + 9 = 10 ، و 1 + 0 = 1. ينطبق هذا على جميع الأعداد الكاملة.${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$مع عدد أولي فردي p ، وفي الواقع، مع جميع الأعداد من الشكل${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$بالنسبة للعدد الصحيح الفردي (ليس بالضرورة أولي) m .

بسبب شكلهم،${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$يتم تمثيل كل عدد زوجي كامل في شكل ثنائي على شكل p من الآحاد متبوعة بـ p - 1 من الأصفار؛ على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

وبالتالي فإن كل عدد زوجي كامل هو عدد ضار .

كل عدد زوجي كامل هو أيضاً عدد عملي .

لا يُعرف ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية، على الرغم من وجود نتائج مختلفة. ففي عام ١٤٩٦، ذكر جاك لوفيفر أن قاعدة إقليدس تُعطي جميع الأعداد الكاملة، ^{[ ١٨ ]} مما يعني ضمناً عدم وجود أي عدد كامل فردي، لكن أويلر نفسه صرّح قائلاً: "إن  مسألة وجود أي أعداد كاملة فردية هي مسألة بالغة الصعوبة". ^{[ ١٩ ]} وفي الآونة الأخيرة، قدّم كارل بوميرانس حجةً استدلاليةً تُشير إلى أنه في الواقع لا ينبغي أن يوجد أي عدد كامل فردي. ^{[ ٢٠ ]} جميع الأعداد الكاملة هي أيضاً قواسم توافقية ، وقد طُرح أيضاً أنه لا توجد قواسم توافقية فردية أخرى غير ١.

أي عدد فردي كامل N يجب أن يستوفي الشروط التالية:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^{[ 21 ]}
• N لا يقبل القسمة على 105. ^{[ 22 ]}
• يكون N على الصورة N ≡ 1 (mod 12) أو N ≡ 117 (mod 468) أو N ≡ 81 (mod 324). ^{[ 23 ]}
• أكبر قوة أولية p ^a التي تقسم N أكبر من 10 ⁶² . ^{[ 21 ]}
• أكبر عامل أولي للعدد N أكبر من ^10⁸ ، ^{[ 24 ]} وأصغر من${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$^{[ 25 ]}
• ثاني أكبر عامل أولي أكبر من ^10⁴ ، ^{[ 26 ]} وأصغر من${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$[ ^{27 ]​}
• العامل الأولي الثالث الأكبر أكبر من 100، ^{[ 28 ]} وأصغر من${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$^{[ 29 ]}
• للعدد N ما لا يقل عن 101 عامل أولي، منها 10 عوامل أولية مختلفة على الأقل. ^{[ 21 ] [ 30 ]} إذا لم يكن العدد 3 يقسم N ، فإن N يحتوي على 12 عاملاً أولياً مختلفاً على الأقل. ^{[ 31 ]}
• N على الشكل

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

أين:

• q و p ₁ و ... و p _k هي أعداد أولية فردية مميزة (أويلر).   
• ف ≡  α ≡  1 ( mod 4) (أويلر).
• أصغر عامل أولي للعدد N هو على الأكثر${\textstyle {\frac {k-1}{2}}.}$^{[ 32 ]}
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[ 33 ] [ 34 ]}
• ${\textstyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$[ ^{32 ] [ 35 ] [ 36 ]​}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$[ ^{37 ]​}
• ${\textstyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2}$[ ^{38 ] [ 39 ]​}

علاوة على ذلك، هناك العديد من النتائج الثانوية المعروفة حول الأسس e ₁ ،  ... ، e _k . 

• ليس كل e _i  ≡  1 ( mod 3). ^{[ 40 ]}
• ليس كل e _i  ≡  2 ( mod 5). ^{[ 41 ]}
• إذا كان كل e _i  ≡  1 ( mod 3) أو 2 ( mod 5)، فإن أصغر عامل أولي لـ N يجب أن يقع بين 10 ⁸ و 10 ¹⁰⁰⁰ . ^{[ 41 ]}
• وبشكل أكثر عمومية، إذا كان لكل 2 e _i +1 عامل أولي في مجموعة محدودة معينة S ، فإن أصغر عامل أولي لـ N يجب أن يكون أصغر من ثابت قابل للحساب بشكل فعال يعتمد فقط ^على S. [ ^{41 ]}
• إذا كانت ( e1 _,  ..., ek ) = (1, ... , 1, 2, ..., 2 ₎ حيث t عدد واحدات و u عدد اثنينات، فإن        ${\textstyle {\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$[ ^{42 ]​}
• ( ه ₁ ,  ..., ه _ك ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^{[ 43 ]} (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6). ^{[ 44 ]} 
• إذا كان e ₁ = ... = e _k = e ، فإن
  • لا يمكن أن تكون قيمة e هي 3، ^{[ 45 ]} 5، 24، ^{[ 46 ]} 6، 8، 11، 14 أو 18. ^{[ 44 ]}
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$[ ^{47 ]​}

في عام 1888، صرح سيلفستر بما يلي: ^{[ 48 ]}

...  لقد أقنعني التأمل المطول في هذا الموضوع بأن وجود أي عدد فردي كامل من هذا القبيل - أي هروبه، إن صح التعبير، من شبكة الظروف المعقدة التي تحيط به من جميع الجهات - سيكون بمثابة معجزة.

من جهة أخرى، تقترب بعض الأعداد الفردية من الكمال. لاحظ رينيه ديكارت أن العدد D = 3² ^⋅ 7² ⋅ ^11² ⋅ 13² ^⋅ 22021 = ( ^{3 ⋅ 1001) ²} ⋅ (22 ⋅ 1001 - 1) = 198585576189 سيكون عددًا فرديًا كاملًا إذا كان 22021 (= 19² ^⋅ 61) عددًا أوليًا فقط. تُعرف الأعداد الفردية التي تتمتع بهذه الخاصية (تكون كاملة إذا كان أحد عواملها المركبة أوليًا) بأعداد ديكارت . تنطبق العديد من الخصائص المُثبتة حول الأعداد الفردية الكاملة أيضًا على أعداد ديكارت، وقد اقترح بايس نيلسن أن دراسة هذه الأعداد بشكل كافٍ قد تؤدي إلى إثبات عدم وجود أعداد فردية كاملة. ^{[ 49 ]}

جميع الأعداد الزوجية الكاملة لها شكل دقيق للغاية؛ أما الأعداد الفردية الكاملة فإما أنها غير موجودة أو نادرة. هناك عدد من النتائج المتعلقة بالأعداد الكاملة التي يسهل إثباتها، ولكنها مع ذلك تبدو مثيرة للإعجاب ظاهريًا؛ بعضها يندرج أيضًا تحت قانون ريتشارد جاي القوي للأعداد الصغيرة .

• العدد الزوجي الكامل الوحيد الذي يأخذ الشكل n ³  +  1 هو 28 ( ماكوفسكي 1962 ) . ^{[ 50 ]}
• 28 هو أيضًا العدد الزوجي الكامل الوحيد الذي يمثل مجموع مكعبين موجبين من الأعداد الصحيحة ( غالاردو 2010 ) . ^{[ 51 ]}
• يجب أن يكون مجموع مقلوب قواسم العدد الكامل N مساوياً لـ 2 (للحصول على ذلك، خذ تعريف العدد الكامل،${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$، ثم اقسم كلا الطرفين على n ):
  • بالنسبة للرقم 6، لدينا${\textstyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$؛
  • بالنسبة للرقم 28، لدينا${\textstyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2}$، إلخ.
• يجب أن يكون عدد قواسم العدد الكامل (سواء كان زوجيًا أو فرديًا) زوجيًا، لأن N لا يمكن أن يكون مربعًا كاملًا. ^{[ 52 ]}
  • من هاتين النتيجتين يتبين أن كل عدد مثالي هو عدد توافقي لـ Ore .
• الأعداد الزوجية الكاملة ليست أعدادًا شبه منحرفة ؛ أي لا يمكن تمثيلها كفرق بين عددين مثلثيين موجبين غير متتاليين . يوجد ثلاثة أنواع فقط من الأعداد غير شبه المنحرفة: الأعداد الزوجية الكاملة، وقوى العدد اثنين، والأعداد التي على الصورة${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$تم تشكيله كحاصل ضرب عدد أولي لفيرما${\displaystyle 2^{n}+1}$مع قوة العدد اثنين بطريقة مشابهة لبناء الأعداد الزوجية الكاملة من أعداد ميرسين الأولية. ^{[ 53 ]}
• عدد الأعداد الكاملة الأقل من ن أقل من${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$حيث c > 0 ثابت. ^{[ 54 ]} في الواقع هو${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$باستخدام رمز الحرف الصغير (little-o) . ^{[ 55 ]}
• كل عدد زوجي كامل ينتهي بـ 6 أو 28 في النظام العشري، وباستثناء 6 فقط، ينتهي بـ 1 في النظام التساعي. ^{[ 56 ] [ 57 ]} لذلك، على وجه الخصوص، الجذر الرقمي لكل عدد زوجي كامل باستثناء 6 هو 1.
• العدد الكامل الوحيد الخالي من المربعات هو 6. ^{[ 58 ]}

مجموع القواسم الحقيقية يُعطي أنواعًا أخرى من الأعداد. تُسمى الأعداد التي يكون مجموعها أقل من العدد نفسه بالأعداد الناقصة ، والأعداد التي يكون مجموعها أكبر من العدد نفسه بالأعداد الوفيرة . هذه المصطلحات، بالإضافة إلى كلمة "كامل " نفسها، مشتقة من علم الأعداد اليوناني . يُطلق على زوج من الأعداد التي يُمثل مجموع قواسمها الحقيقية اسم " الأعداد الودية" ، وتُسمى الدورات الأكبر من الأعداد "الأعداد الاجتماعية" . العدد الصحيح الموجب الذي يكون كل عدد صحيح موجب أصغر منه مجموع قواسم مختلفة له هو عدد عملي .

بحسب التعريف، العدد الكامل هو نقطة ثابتة لدالة القاسم المقيد s ( n ) = σ ( n ) - n ، والمتتالية الجزئية المرتبطة بالعدد الكامل هي متتالية ثابتة. جميع الأعداد الكاملة هي أيضًا${\displaystyle {\mathcal {S}}}$-الأعداد المثالية، أو أعداد جرانفيل .

العدد شبه الكامل هو عدد طبيعي يساوي مجموع كل أو بعض قواسمه الحقيقية. أما العدد شبه الكامل الذي يساوي مجموع كل قواسمه الحقيقية فهو عدد كامل. معظم الأعداد الشائعة هي أيضاً أعداد شبه كاملة؛ أما الأعداد الشائعة التي ليست شبه كاملة فتُسمى أعداداً غريبة .

• عدد القاسم التوافقي
• رقم فائق الكمال
• مجموعة لينستر
• قائمة أعداد ميرسين الأولية والأعداد الكاملة
• اضرب عددًا مثاليًا
• أعداد فائقة الكمال
• عدد كامل أحادي

• نانكار، مل: “تاريخ الأعداد المثالية”، جانيتا بهاراتي 1، رقم. 1–2 (1979)، 7–8.
• هاجيس، ب. (1973). "حد أدنى لمجموعة الأعداد الأولية الكاملة الفردية" . رياضيات الحساب . 27 (124): 951-953 . doi : 10.2307/2005530 . JSTOR 2005530 . 
• Riele, HJJ "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in HW Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory , Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp.  141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization , Birkhauser, 1985.
• ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص 15 – 98. رقم ISBN  1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 . 

• "العدد المثالي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• ديفيد مويس: أرقام مثالية، وودودة، واجتماعية
• الأعداد الكاملة - التاريخ والنظرية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد المثالي" . عالم الرياضيات .
• تسلسل OEIS A000396 (أرقام مثالية)
• البحث الرائع عن أعداد ميرسين الأولية على الإنترنت (GIMPS)
• الأعداد المثالية ، منتدى الرياضيات في جامعة دريكسل
• غرايمز، جيمس. "8128: أرقام مثالية" . نمبرفايل . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31 مايو 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 أبريل 2013 .