الدالة الدورية

📅 آخر تحديث: ١٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة
رسم توضيحي لدالة دورية ذات دورةP.{\displaystyle P.}

الدالة الدورية هي دالة تتكرر قيمها على فترات منتظمة. على سبيل المثال، الدوال المثلثية، التي تُستخدم لوصف الموجات وغيرها من الظواهر المتكررة، هي دوال دورية. وتتسم العديد من جوانب العالم الطبيعي بسلوك دوري، مثل أطوار القمر ، وتأرجح البندول ، ونبضات القلب .

يُطلق على طول الفترة التي تتكرر فيها الدالة الدورية اسم دورتها . أما أي دالة غير دورية فتُسمى دالة لا دورية .

تعريف

رسم بياني لدالة الجيب. وهي دالة دورية بفترة أساسية قدرها2π{\displaystyle 2\pi }.

تُعرَّف الدالة بأنها دورية إذا تكررت قيمها على فترات منتظمة. على سبيل المثال، تُظهر عقارب الساعة سلوكًا دوريًا حيث تدور عبر نفس المواضع كل 12 ساعة. تُعرف هذه الفترة المتكررة بالدورة .

بصورة أكثر رسمية، دالةو{\displaystyle f}تكون دورية إذا وُجد ثابتP{\displaystyle P}بحيث

و(x+P)=و(x){\displaystyle f(x+P)=f(x)}

لجميع قيمx{\displaystyle x}في المجال . ثابت غير صفريP{\displaystyle P}يُطلق على الفترة التي يتحقق فيها هذا الشرط اسم دورة الدالة. [ 1 ]

إذا كانت فترةP{\displaystyle P}يوجد، أي مضاعف صحيحنP{\displaystyle nP}(لعدد صحيح موجب)ن{\displaystyle n}) هي أيضًا دورة. إذا كانت هناك دورة موجبة دنيا ، فإنها تسمىالفترة الأساسية (وتسمى أيضًاالفترة البدائيةأوالفترة الأساسية). [ 2 ] غالبًا ما تُستخدم كلمة "فترة" الدالة للإشارة إلى فترتها الأساسية.

هندسيًا، يُظهر الرسم البياني للدالة الدورية تناظرًا انتقاليًا . ويكون الرسم البياني ثابتًا تحت الانتقال فيx{\displaystyle x}- في اتجاه مسافةP{\displaystyle P}وهذا يعني أنه يمكن تكوين الرسم البياني بأكمله من نسخ جزء معين، يتم تكرارها على فترات منتظمة.

أمثلة

يمكن توضيح السلوك الدوري من خلال كل من الأمثلة الشائعة اليومية والوظائف الرياضية الأكثر رسمية.

الدوال ذات القيم الحقيقية

يمكن للدوال التي تربط الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية أن تعرض الدورية، والتي غالباً ما يتم تمثيلها بيانياً.

موجة سن المنشار

ومن الأمثلة على ذلك الدالةو{\displaystyle f}يمثل ذلك " الجزء الكسري " من وسيطه. دورته تساوي 1. على سبيل المثال،

و(0.5)=و(1.5)=و(2.5)=⋯=0.5{\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}

رسم بياني للدالةو{\displaystyle f}هي موجة سن المنشار .

الدوال المثلثية

مخطط لـو(x)=الخطيئة⁡(x){\displaystyle f(x)=\sin(x)}وز(x)=كوس⁡(x){\displaystyle g(x)=\cos(x)}كلتا الدالتين دوريتان بدورة واحدة.2π{\displaystyle 2\pi }.

تُعد الدوال المثلثية أمثلة شائعة على الدوال الدورية. دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان بدورة أساسية قدرها2π{\displaystyle 2\pi }كما هو موضح في الشكل على اليمين. بالنسبة لدالة الجيب، يُعبّر عن ذلك على النحو التالي:

الخطيئة⁡(x+2π)=الخطيئة⁡x{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}

لجميع قيمx{\displaystyle x}.

يبحث مجال متسلسلات فورييه في مفهوم إمكانية التعبير عن دالة دورية عشوائية كمجموع دوال مثلثية ذات فترات متطابقة.

وظائف غير مألوفة

بعض الدوال دورية، لكنها تمتلك خصائص تجعلها أقل بديهية. دالة ديريشليه ، على سبيل المثال، دورية، حيث يمثل أي عدد نسبي غير صفري دورة لها. ومع ذلك، فهي لا تمتلك دورة أساسية.

الدوال ذات القيم المركبة

يمكن للدوال التي يكون نطاقها في الأعداد المركبة أن تُظهر خصائص دورية أكثر تعقيدًا.

الأس المركب

الدالة الأسية المركبة هي دالة دورية ذات دورة تخيلية بحتة:

هـأناكx=كوس⁡كx+أناالخطيئة⁡كx{\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx}

بما أن دالتي الجيب وجيب التمام دوريتان بدورية ذات دورة2π{\displaystyle 2\pi }تُبيّن صيغة أويلر أن الدالة الأسية المركبة لها دورة.ل{\displaystyle L}بحيث

ل=2πك{\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}}.

الدوال الدورية المزدوجة

يمكن أن يكون للدالة في المستوى المركب دورتان مختلفتان وغير متناسبتان دون أن تكون دالة ثابتة. تُعد الدوال الإهليلجية مثالًا رئيسيًا على هذه الدوال. (يشير مصطلح "غير متناسبة" في هذا السياق إلى الدورات التي لا تُمثل مضاعفات حقيقية لبعضها البعض).

ملكيات

يمكن للدوال الدورية أن تأخذ قيمًا عدة مرات. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}دورية ذات فترةP{\displaystyle P}ثم للجميعx{\displaystyle x}في مجالو{\displaystyle f}وجميع الأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}, [ 3 ]

و(x+نP)=و(x){\displaystyle f(x+nP)=f(x)}

من الخصائص المهمة المتعلقة بالتكامل أنه إذاو(x){\displaystyle f(x)}هي دالة دورية قابلة للتكامل ذات دورةP{\displaystyle P}ثم تكاملها المحدد على أي فترة طولهاP{\displaystyle P}هو نفسه. [ 3 ] أي، لأي عدد حقيقيأ{\displaystyle a}:

∫أأ+Pو(x)دx=∫0Pو(x)دx{\displaystyle \int _{a}^{a+P}f(x)\,dx=\int _{0}^{P}f(x)\,dx}

تعتبر هذه الخاصية بالغة الأهمية في مجالات مثل متسلسلات فورييه ، حيث يتم تحديد المعاملات من خلال التكاملات على مدى دورة واحدة.

لوو(x){\displaystyle f(x)}هي دالة ذات دورةP{\displaystyle P}، ثمو(أx){\displaystyle f(ax)}، أينأ{\displaystyle a}هو عدد حقيقي غير صفري بحيثأx{\displaystyle ax}يقع ضمن نطاقو{\displaystyle f}، دورية ذات دورةP|أ|{\displaystyle {\frac {P}{|a|}}}. على سبيل المثال،و(x)=الخطيئة⁡(x){\displaystyle f(x)=\sin(x)}لها فترة2π{\displaystyle 2\pi }وبالتالي،الخطيئة⁡(5x){\displaystyle \sin(5x)}ستكون هناك فترة2π5{\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}.

من الخصائص الأساسية للعديد من الدوال الدورية إمكانية وصفها بمتسلسلة فورييه . تمثل هذه المتسلسلة الدالة الدورية كمجموع دوال دورية أبسط، وهي دوال الجيب وجيب التمام . على سبيل المثال، يمكن تحليل الموجة الصوتية الصادرة من آلة موسيقية إلى النغمة الأساسية ومختلف النغمات التوافقية . يُعد هذا التحليل أداةً فعّالة في مجالات مثل الفيزياء ومعالجة الإشارات. في حين أن معظم الدوال الدورية "المنتظمة" يمكن تمثيلها بهذه الطريقة، [ 4 ] إلا أن متسلسلة فورييه لا تُستخدم إلا مع الدوال الدورية أو مع الدوال المعرفة على طول محدود.و{\displaystyle f}هي دالة دورية ذات دورةP{\displaystyle P}يمكن وصف ذلك بواسطة متسلسلة فورييه، ويمكن وصف معاملات المتسلسلة بواسطة تكامل على فترة طولهاP{\displaystyle P}.

أي دالة تتكون من مجموعة دوال دورية لها نفس الدورة تكون أيضاً دالة دورية (مع أن دورتها الأساسية قد تكون أصغر). ويشمل ذلك:

  • الجمع والطرح والضرب والقسمة للدوال الدورية، [ 1 ] و
  • أخذ قوة أو جذر لدالة دورية (بشرط أن تكون معرفة لجميعx{\displaystyle x})

التعميمات

يمكن تعميم مفهوم الدورية ليشمل ما هو أبعد من الدوال على خط الأعداد الحقيقية. فعلى سبيل المثال، يمكن تطبيق فكرة النمط المتكرر على الأشكال متعددة الأبعاد، مثل التبليط الدوري للمستوى. كما يمكن اعتبار المتتالية دالة معرفة على الأعداد الطبيعية ، ويُعرَّف مفهوم المتتالية الدورية وفقًا لذلك.

الدوال المضادة للدورية

تُعدّ الدوال المضادة للدورية إحدى المجموعات الفرعية للدوال الدورية . وهذه دالةو{\displaystyle f}بحيثو(x+P)=-و(x){\displaystyle f(x+P)=-f(x)}للجميعx{\displaystyle x}على سبيل المثال، دالتا الجيب وجيب التمام هماπ{\displaystyle \pi }-مضادة للدورية و2π{\displaystyle 2\pi }-دوري. بينما أP{\displaystyle P}الدالة المضادة للدورية هي2P{\displaystyle 2P}[ 5 ]​​​

الدوال الدورية لبلوخ

يظهر تعميم إضافي في سياق نظريات بلوخ ونظرية فلوكي ، التي تحكم حل المعادلات التفاضلية الدورية المختلفة. في هذا السياق، يكون الحل (في بُعد واحد) عادةً دالة على الشكل التالي:

و(x+P)=هـأناكPو(x) ،{\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}

أينك{\displaystyle k}هو عدد حقيقي أو مركب ( متجه موجة بلوخ أو أس فلوكي ). تُسمى الدوال من هذا الشكل أحيانًا بالدوال الدورية بلوخ في هذا السياق. الدالة الدورية هي حالة خاصة.ك=0{\displaystyle k=0}والدالة المضادة للدورية هي حالة خاصةك=π/P{\displaystyle k=\pi /P}. حينماكP/π{\displaystyle kP/\pi }إذا كانت الدالة نسبية، فهي أيضاً دورية.

فضاءات القسمة كمجال

في معالجة الإشارات ، نواجه مشكلة تتمثل في أن متسلسلات فورييه تمثل دوالًا دورية، وأن هذه المتسلسلات تحقق نظريات الالتفاف (أي أن التفاف متسلسلات فورييه يقابل ضرب الدالة الدورية الممثلة، والعكس صحيح)، ولكن لا يمكن إجراء التفاف الدوال الدورية بالتعريف المعتاد، لأن التكاملات الناتجة تتباعد. أحد الحلول الممكنة هو تعريف دالة دورية على مجال محدود ولكنه دوري. لتحقيق ذلك، يمكن استخدام مفهوم فضاء القسمة .

R/Z={x+Z:x∈R}={{y:y∈R∧y-x∈Z}:x∈R}{\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land yx\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}.

أي أن كل عنصر فيR/Z{\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}هي فئة تكافؤ للأعداد الحقيقية التي تشترك في نفس الجزء الكسري . وبالتالي، فإن دالة مثلو:R/Z→R{\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }يمثل هذا تمثيلاً لدالة دورية من الدرجة 1.

حساب الفترة

لنفترض شكل موجة حقيقي يتكون من ترددات متراكبة، معبر عنها كنسبة إلى تردد أساسي f: F = 1 ⁄ f [f 1 f 2 f 3 ... f N ] حيث جميع العناصر غير الصفرية ≥ 1، وعنصر واحد على الأقل من عناصر المجموعة يساوي 1. لإيجاد الدورة T، نبدأ بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لجميع عناصر المجموعة. يمكن إيجاد الدورة كالتالي: T = المضاعف المشترك الأصغر ⁄ f . لنفترض أنه بالنسبة لموجة جيبية بسيطة، فإن T = 1 ⁄ f . بالتالي، يمكن اعتبار المضاعف المشترك الأصغر مُضاعِفًا للدورية.

  • بالنسبة لمجموعة تمثل جميع نغمات السلم الموسيقي الغربي الكبير : [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ]، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 24، وبالتالي فإن T = 24 ⁄ f .
  • بالنسبة لمجموعة تمثل جميع نغمات ثلاثية رئيسية: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ]، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 4، وبالتالي فإن T = 4 ⁄ f .
  • بالنسبة لمجموعة تمثل جميع نغمات ثلاثية صغيرة: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ]، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 10، وبالتالي فإن T = 10 ⁄ f .

إذا لم يكن هناك مقام مشترك أصغر، على سبيل المثال إذا كان أحد العناصر المذكورة أعلاه غير نسبي، فلن تكون الموجة دورية. [ 6 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 تولستوف، جورجي بافلوفيتش؛ تولستوف، جورجي بافلوفيتش (2009). سلسلة فورييه . كتب دوفر عن الرياضيات (Nachdr.  ed.). نيويورك: دوفر للنشر. ص.  1. رقم ISBN 978-0-486-63317-6.
  2. ↑ بالنسبة لبعض الدوال، مثل الدالة الثابتة أو دالة ديريشليه ( دالة المؤشر للأعداد النسبية )، قد لا توجد دورة موجبة دنيا ( أدنى قيمة لجميع الدورات الموجبة).P{\displaystyle P}(كونه صفرًا).
  3. 1 2 تولستوف، جورجي بافلوفيتش (2009). سلسلة فورييه . كتب دوفر عن الرياضيات (Nachdr. ed.). نيويورك: دوفر للنشر. ص. 2. رقم ISBN   978-0-486-63317-6.
  4. ↑ على سبيل المثال، بالنسبة لدوال L 2 ، تنص نظرية كارلسون على أن لها متسلسلة فورييه متقاربة نقطيًا ( ليبيغ ) في كل مكان تقريبًا .
  5. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الدالة المضادة للدورية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-06 .
  6. ↑ سومرسون، سامانثا ر. (5 أكتوبر 2009). "الدورية، ومتسلسلات فورييه الحقيقية، وتحويلات فورييه" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 25 أغسطس 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 مارس 2018 .
  • إيكلاند، إيفار (1990). "واحد". طرق التحدب في ميكانيكا هاميلتون . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]. المجلد.  19. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ص.س  +247. رقم ISBN 3-540-50613-6MR 1051888 .​