نظام زنبركي

في الهندسة والفيزياء، يُعدّ نظام النوابض أو شبكة النوابض نموذجًا فيزيائيًا يُوصف بأنه رسم بياني ، حيث يُمثّل كل رأس موضعًا، ويرتبط كل ضلع بنابض ذي صلابة وطول مُحدّدين. يُعمّم هذا النموذج قانون هوك ليشمل أبعادًا أعلى. يُمكن استخدام هذا النموذج البسيط لحلّ وضع الأنظمة الساكنة، بدءًا من الشبكات البلورية وصولًا إلى النوابض. يُمكن اعتبار نظام النوابض أبسط حالة لتطبيق طريقة العناصر المحدودة لحلّ مسائل علم السكون . بافتراض نوابض خطية وتشوه صغير (أو باقتصار الحركة على بُعد واحد)، يُمكن صياغة نظام النوابض كنظام معادلات خطية (قد يكون مُفرط التحديد)، أو بصورة مُكافئة، كمسألة تقليل الطاقة .

لنفترض الحالة البسيطة المكونة من ثلاث عقد، في بُعد واحد${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}}$متصلة بنابضين. إذا عُلم أن الطول الاسمي، L ، للنابضين هو وحدة واحدة ووحدتين على التوالي، أي${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$إذاً، يمكن حل النظام على النحو التالي:

 يُعطى تمدد الزنبركين كدالة لمواضع العقد بواسطة

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} }$

أين${\displaystyle B^{\top }}$هي منقولة المصفوفة لمصفوفة الوقوع الموجهة

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1&0\\1&-1\\0&1\end{bmatrix}},}$

ربط كل درجة من درجات الحرية بالاتجاه الذي يسحبه كل نابض عليها. القوى المؤثرة على النوابض هي

${\displaystyle F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L} }$

حيث W هي مصفوفة قطرية تُعطي صلابة كل نابض. ثم تُعطى القوة المؤثرة على العقد بضرب الطرف الأيسر في${\displaystyle B}$، والتي نضبطها على الصفر لإيجاد حالة التوازن:

${\displaystyle F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0}$

مما يعطي المعادلة الخطية التالية:

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L} }$.

والآن، المصفوفة${\displaystyle BWB^{\top }}$هي حالة شاذة، لأن جميع الحلول متكافئة حتى الانتقال الصلب. لنفترض شرطًا حدوديًا من نوع ديريشليه ، على سبيل المثال،${\displaystyle x_{1}=2}$.

على سبيل المثال، لنفترض أن W هي مصفوفة الوحدة، إذن

${\displaystyle BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}}$

هي مصفوفة لابلاس . بالتعويض${\displaystyle x_{1}=2}$لدينا

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

بإضافة الرقم 2 إلى الجانب الأيسر، نحصل على

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

وإزالة صفوف النظام التي نعرفها بالفعل، وتبسيطه، يتركنا مع

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$.

وبذلك نستطيع حل المشكلة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}}$.

إنه،${\displaystyle x_{1}=2}$، كما هو منصوص عليه، و${\displaystyle x_{2}=3}$، تاركًا أول ارتخاء في الربيع، و${\displaystyle x_{3}=5}$، تاركاً الزنبرك الثاني مرتخياً.

• نموذج الشبكة الغاوسية
• نموذج الشبكة غير المتجانسة
• مصفوفة الصلابة
• نظام الكتلة والنابض
• مصفوفة لابلاس

• فيزياء الينابيع