الحالة (التحليل الوظيفي)

الموسوعة الحرة

في مجال التحليل الوظيفي الرياضي ، تُعرَّف حالة نظام المؤثرات بأنها دالة خطية موجبة ذات معيار 1. تُعمِّم الحالات في التحليل الوظيفي مفهوم مصفوفات الكثافة في ميكانيكا الكم، والتي تُمثِّل حالات الكم ، سواءً كانت حالات مختلطة أو نقية . بدورها، تُعمِّم مصفوفات الكثافة متجهات الحالة ، التي تُمثِّل حالات نقية فقط. بالنسبة لنظام المؤثرات M في جبر C*-A ذي عنصر محايد، فإن مجموعة جميع حالات M، والتي يُرمز لها أحيانًا بـ S( M )، تكون محدبة، ومغلقة ضعيفًا-* في فضاء باناخ الثنائي M * . بالتالي ، تُشكِّل مجموعة جميع حالات M ذات الطوبولوجيا الضعيفة-* فضاء هاوسدورف مضغوطًا، يُعرف باسم فضاء حالات M. في الصياغة الجبرية C* لميكانيكا الكم، تُقابل الحالات بهذا المعنى حالات فيزيائية، أي دوال من الكميات الفيزيائية القابلة للرصد (العناصر المترافقة ذاتيًا في جبر C*) إلى نتيجة قياسها المتوقعة (عدد حقيقي).

تحلل الأردن

يمكن اعتبار الحالات تعميمات غير تبادلية لمقاييس الاحتمال . وفقًا لتمثيل جيلفاند ، فإن كل جبر C* تبادلي A يكون على الصورة C₀ ( X ) لبعض فضاء هاوسدورف X المدمج محليًا . في هذه الحالة، تتكون S ( A ) من مقاييس رادون موجبة على X ، والحالات النقية هي دوال التقييم على X.

وبشكل أكثر عمومية، يوضح بناء GNS أن كل حالة هي، بعد اختيار تمثيل مناسب، حالة متجهة .

يُقال إن الدالة الخطية المحدودة على جبر C*-A هي دالة ذاتية الترافق إذا كانت ذات قيم حقيقية على العناصر ذاتية الترافق لـ A. الدوال ذاتية الترافق هي نظائر غير تبادلية للمقاييس الموقعة .

ينص تحليل جوردان في نظرية القياس على أن كل قياس مُوَقَّع يمكن التعبير عنه كفرق بين قياسين موجبين مدعومين على مجموعات منفصلة. ويمكن تعميم ذلك على الحالة غير التبادلية.

نظرية — كل ذاتي الترافقو{\displaystyle f}فيأ*{\displaystyle A^{\ast }}{\displaystyle }يمكن كتابتها على النحو التاليو=و+-و-{\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}أينو+{\displaystyle f_{+}}وو-{\displaystyle f_{-}}هي دوال موجبة و‖و‖=‖و+‖+‖و-‖{\displaystyle \Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert }.

دليل

يمكن تلخيص البرهان على النحو التالي: ليكنΩأوميغالتكن المجموعة الضعيفة* المدمجة للدوال الخطية الموجبة علىأ{\displaystyle A}بمعيار ≤ 1، وج(Ω){\displaystyle C(\Omega )}لتكن الدوال المتصلة علىΩأوميغا.

أ{\displaystyle A}يمكن اعتبارها فضاءً خطيًا مغلقًا منج(Ω){\displaystyle C(\Omega )}(هذا هو تمثيل دالة كاديسون ). بواسطة هان-باناش،و{\displaystyle f}يمتد إلىز{\displaystyle g}فيج(Ω)*{\displaystyle C(\Omega )^{\ast }}مع‖ز‖=‖و‖{\displaystyle \Vert g\Vert =\Vert f\Vert }.

باستخدام نتائج نظرية القياس المذكورة أعلاه، يمكن للمرء أن:

ز(⋅)=∫⋅دμ{\displaystyle g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu }

حيث، من خلال خاصية الترافق الذاتي لـو{\displaystyle f}،μ{\displaystyle \mu }يمكن اعتبار ذلك إجراءً موقعًا. اكتب:

μ=μ+-μ-،{\displaystyle \mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;}

فرق في المقاييس الإيجابية. قيود الدوال∫⋅دμ+{\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}} و∫⋅دμ-{\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}}لأ{\displaystyle A}يتمتع بالخصائص المطلوبة لـو+{\displaystyle f_{+}}وو-{\displaystyle f_{-}}وهذا يثبت صحة النظرية.

ويترتب على التفكيك المذكور أعلاه أن A* هو النطاق الخطي للحالات.

بعض الفئات المهمة من الدول

الحالات النقية

بحسب نظرية كرين-ميلمان ، فإن فضاء الحالة لـ M يحتوي على نقاط قصوى . تُسمى النقاط القصوى في فضاء الحالة بالحالات النقية ، بينما تُعرف الحالات الأخرى بالحالات المختلطة .

ولايات فيكتور

بالنسبة لفضاء هيلبرت H ومتجه x في H ، فإن الصيغة ωx ( T ) := ⟨Tx , x⟩ ( لكل T في B(H) ) تُعرّف دالة خطية موجبة على B(H) . بما أن ωx ( 1 ) = || x || ² ، فإن ωx حالة إذا كان || x || = 1. إذا كانت A جبرًا جزئيًا من C* في B(H) و M نظام مؤثرات في A ، فإن تقييد ωx على M يُعرّف دالة خطية موجبة على M. تُسمى حالات M التي تنشأ بهذه الطريقة، من متجهات الوحدة في H ، حالات متجهة لـ M. 

الدول المخلصة

ولايةτ{\displaystyle \tau }يكون مخلصاً ، إذاτ(أ*أ)=0{\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}يشير إلىأ=0{\displaystyle a=0}.

الحالات الطبيعية

ولايةτ{\displaystyle \tau }يُطلق عليه اسم طبيعي ، إذا وفقط إذا كان لكل محصلة متزايدة رتيبةحα{\displaystyle H_{\alpha }}من المؤثرات ذات الحد الأعلى الأدنىح{\displaystyle H}، τ(حα){\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}يتقارب إلىτ(ح){\displaystyle \tau (H)\;}.

الدول العرقية

الدولة العنصرية هي دولةτ{\displaystyle \tau }بحيث

τ(أب)=τ(بأ).{\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}

بالنسبة لأي جبر C* قابل للفصل، فإن مجموعة الحالات الأثرية هي عبارة عن مجسم شوكيه البسيط .

حالات العاملي

الحالة العاملية لجبر C*-A هي حالة يكون فيها مبدل تمثيل GNS المقابل لـ A عاملاً .

انظر أيضاً

مراجع

  • لين، هـ. (2001)، مقدمة في تصنيف جبر C* القابل للتقريب ، وورلد ساينتيفيك