الجبر C*

العناصر ذاتية الترافق هي تلك التي تأخذ الشكل التالي:${\displaystyle x=x^{*}}$مجموعة عناصر جبر C*-A من الشكل${\displaystyle x^{*}x}$يشكل مخروطًا محدبًا مغلقًا . هذا المخروط مطابق لعناصر الشكل${\displaystyle xx^{*}}$تُسمى عناصر هذا المخروط عناصر غير سالبة (أو أحيانًا موجبة ، على الرغم من أن هذا المصطلح يتعارض مع استخدامه لعناصر${\displaystyle \mathbb {R} }$).

تتمتع مجموعة العناصر المترافقة ذاتيًا في جبر C*، A، بشكل طبيعي، ببنية فضاء متجهي مرتب جزئيًا ؛ ويُشار إلى هذا الترتيب عادةً بـ${\displaystyle \geq }$في هذا الترتيب، عنصر ذاتي الترافق${\displaystyle x\in A}$يرضي${\displaystyle x\geq 0}$إذا وفقط إذا كان طيف${\displaystyle x}$ تكون غير سالبة، إذا وفقط إذا${\displaystyle x=s^{*}s}$بالنسبة للبعض${\displaystyle s\in A}$عنصران ذاتيان مترافقان${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$من A يرضي${\displaystyle x\geq y}$لو${\displaystyle x-y\geq 0}$.

تسمح هذه المساحة الفرعية المرتبة جزئيًا بتعريف دالة خطية موجبة على جبر C*، والتي بدورها تستخدم لتعريف حالات جبر C*، والتي بدورها يمكن استخدامها لإنشاء طيف جبر C* باستخدام بناء GNS .

أي جبر C*-A له عنصر محايد تقريبي . في الواقع، توجد عائلة موجهة { eλ _{} λ∈I} من العناصر المترافقة ذاتيًا لـ A بحيث

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

في حالة كون A قابلة للفصل، فإن A تمتلك عنصرًا محايدًا تقريبيًا متسلسلًا. وبشكل أعم، تمتلك A عنصرًا محايدًا تقريبيًا متسلسلًا إذا وفقط إذا احتوت A على عنصر موجب تمامًا ، أي عنصر موجب h بحيث يكون hAh كثيفًا في A.

باستخدام الهويات التقريبية، يمكن للمرء أن يثبت أن القسمة الجبرية لجبر C* بواسطة مثالي مغلق مناسب ثنائي الجوانب ، مع المعيار الطبيعي، هو جبر C*.

وبالمثل، فإن المثالي المغلق ذو الجانبين لجبر C* هو نفسه جبر C*.

يصبح الجبر M( n , C ) للمصفوفات من الرتبة n × n على الفضاء C جبرًا من الرتبة C* إذا اعتبرنا المصفوفات مؤثرات على الفضاء الإقليدي Cⁿ ^، واستخدمنا معيار المؤثر ‖·‖ على المصفوفات. يُعطى الانعكاس بواسطة المنقول المرافق . وبشكل أعم، يمكن اعتبار المجاميع المباشرة المحدودة لجبر المصفوفات. في الواقع، جميع جبر C* المحدود الأبعاد كفضاءات متجهة يكون من هذا الشكل، حتى التشاكل. يعني شرط الترافق الذاتي أن جبر C* المحدود الأبعاد هو جبر شبه بسيط ، ومن هذه الحقيقة يمكن استنتاج النظرية التالية من نوع آرتين-ويدربورن :

نظرية. الجبر C* ذو الأبعاد المحدودة، A ، متماثل قانونيًا مع مجموع مباشر محدود

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

حيث أن min A هي مجموعة الإسقاطات المركزية الذاتية المرافقة الدنيا غير الصفرية لـ A.

كل جبر C*، Ae ، متماثل (بطريقة غير قياسية) مع جبر المصفوفات الكامل M(dim( e ) , C ). تُسمى العائلة المنتهية المفهرسة على min A المعطاة بـ {dim( e )} _e متجه بُعد A. يُحدد هذا المتجه بشكل فريد فئة التماثل لجبر C* منتهي البُعد. بلغة نظرية K ، يُمثل هذا المتجه المخروط الموجب لمجموعة K₀ _لـ A.

يُستخدم مصطلح " الجبر †" (أو بتعبير أدق، الجبر †-المغلق ) أحيانًا في الفيزياء ^{[ 5 ]} للإشارة إلى جبر C* ذي الأبعاد المحدودة. يُستخدم رمز الخنجر † في الاسم لأن الفيزيائيين عادةً ما يستخدمون هذا الرمز للدلالة على المرافق الهيرميتي ، وغالبًا لا يهتمون بالتفاصيل الدقيقة المرتبطة بعدد لا نهائي من الأبعاد. (يستخدم علماء الرياضيات عادةً علامة النجمة * للدلالة على المرافق الهيرميتي). تُعدّ الجبر † عنصرًا أساسيًا في ميكانيكا الكم ، وخاصةً في علم معلومات الكم .

إن التعميم المباشر للجبر C* ذي الأبعاد المحدودة هو الجبر C* ذي الأبعاد المحدودة تقريبًا .

المثال النموذجي للجبر C* هو الجبر B(H) للمؤثرات الخطية المحدودة (المتصلة بشكل مكافئ) المعرفة على فضاء هيلبرت معقد H ؛ حيث يرمز x* إلى المؤثر المرافق للمؤثر x  : H → H. في الواقع، كل جبر C*، A ، متماثل *- مع جبر فرعي مغلق مرافق من B ( H ) لفضاء هيلبرت مناسب، H ؛ هذا هو مضمون نظرية جيلفاند-نايمارك .

ليكن H فضاء هيلبرت قابلاً للفصل ولا نهائي الأبعاد. الجبر K ( H ) للمؤثرات المدمجة على H هو جبر فرعي مغلق معياريًا من B ( H ). وهو مغلق أيضًا تحت الانعكاس؛ لذا فهو جبر C*.

تسمح الجبريات الملموسة من نوع C* للمؤثرات المدمجة بتوصيف مشابه لنظرية ويدربورن للجبريات ذات الأبعاد المحدودة من نوع C*:

نظرية. _إذا كانت A جبرًا جزئيًا من النوع C* لـ K ( H )، فإنه توجد فضاءات هيلبرت { Hᵢ _} ᵢ _{∈ I} بحيث

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

حيث يتكون المجموع المباشر (C*-) من عناصر ( T _i ) من حاصل الضرب الديكارتي Π K ( H _i ) مع || Ti _|| → 0.

على الرغم من أن K ( H ) لا تحتوي على عنصر محايد، إلا أنه يمكن اشتقاق عنصر محايد تقريبي متسلسل لها . تحديدًا، H متماثل مع فضاء المتتاليات ^{المربعة} القابلة للجمع l² ^؛ يمكننا افتراض أن H = l² ^. لكل عدد طبيعي n، ليكن Hₙ الفضاء الجزئي لمتتاليات l² التي تتلاشى للفهارس k ≥ n _، وليكن eₙ الإسقاط المتعامد على Hₙ _. المتتالية { eₙ _} ₙ هي عنصر محايد تقريبي لـ _K ( _H ) .

K ( H ) هو مثالي مغلق ثنائي الجانب في B ( H ). بالنسبة لفضاءات هيلبرت القابلة للفصل، فهو المثالي الوحيد. خارج قسمة B ( H ) على K ( H ) هو جبر كالكن .

ليكن X فضاء هاوسدورف متراص محليًا .${\displaystyle C_{0}(X)}$تشكل الدوال المتصلة ذات القيم المركبة على X والتي تتلاشى عند اللانهاية (المعرفة في المقالة حول التراص المحلي ) جبرًا تبديليًا من النوع C*${\displaystyle C_{0}(X)}$في ظل الضرب والجمع النقطيين. أما الانعكاس فهو الاقتران النقطي.${\displaystyle C_{0}(X)}$يحتوي على عنصر وحدة ضربي إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$مضغوطة. كما هو الحال في أي جبر C*،${\displaystyle C_{0}(X)}$له هوية تقريبية . في حالة${\displaystyle C_{0}(X)}$هذا واضح: لنفترض المجموعة الموجهة من المجموعات الفرعية المدمجة لـ${\displaystyle X}$ولكل علبة${\displaystyle K}$يترك${\displaystyle f_{K}}$لتكن دالة ذات دعم مضغوط يساوي 1 على${\displaystyle K}$توجد هذه الدوال وفقًا لنظرية تيتز للتمديد ، والتي تنطبق على فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا. أي متتالية من هذه الدوال${\displaystyle \{f_{K}\}}$هي هوية تقريبية.

ينص تمثيل جيلفاند على أن كل جبر C* تبادلي يكون متماثلاً * مع الجبر${\displaystyle C_{0}(X)}$، أين${\displaystyle X}$هي فضاء الأحرف المزودة بالطوبولوجيا الضعيفة* . علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle C_{0}(X)}$متماثل مع​${\displaystyle C_{0}(Y)}$باعتبارها جبر C*، يترتب على ذلك أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي متماثلة طوبولوجياً . هذا التوصيف هو أحد دوافع برامج الطوبولوجيا غير التبادلية والهندسة غير التبادلية .

بفرض وجود جبر باناخ * -A ذي عنصر محايد تقريبي ، يوجد جبر C*-E ( A ) وحيد (حتى التماثل C *) وتشاكل *-π من A إلى E ( A ) يكون شاملاً ، أي أن كل تشاكل *-مستمر آخر π': A → B يتحلل بشكل وحيد من خلال π. يُسمى الجبر E ( A ) جبر الغلاف C* لجبر باناخ * -A .

تُعدّ جبر C* لمجموعة G المدمجة محليًا ذات أهمية خاصة . ويُعرَّف هذا الجبر بأنه جبر C* المُغلِّف لجبر المجموعة G. يوفر جبر C* لـ G سياقًا للتحليل التوافقي العام لـ G في حالة كون G غير تبديلية. على وجه الخصوص، يُعرَّف الفضاء الثنائي لمجموعة مدمجة محليًا بأنه فضاء المثاليات الأولية لجبر C* للمجموعة. انظر طيف جبر C* .

تُعدّ جبر فون نيومان ، المعروفة باسم جبر W* قبل ستينيات القرن العشرين، نوعًا خاصًا من جبر C*. ويُشترط أن تكون مغلقة في طوبولوجيا المؤثر الضعيف ، وهي أضعف من طوبولوجيا المعيار.

تنص نظرية شيرمان -تاكيدا على أن أي جبر C* له جبر W* شامل، بحيث أن أي تشاكل إلى جبر W* يمر من خلاله.