إجراء موقع

في الرياضيات ، يعتبر المقياس الموقّع تعميمًا لمفهوم المقياس (الإيجابي) من خلال السماح لدالة المجموعة بأخذ قيم سالبة ، أي اكتساب إشارة .

يوجد مفهومان مختلفان قليلاً للقياس الموقّع، وذلك بحسب ما إذا كان يُسمح له بأخذ قيم غير محدودة أم لا. عادةً ما يُسمح للقياسات الموقّعة بأخذ قيم حقيقية محدودة فقط ، بينما تسمح بعض الكتب الدراسية بأخذ قيم غير محدودة. ولتجنب الالتباس، سنُطلق على هاتين الحالتين في هذه المقالة اسم "القياسات الموقّعة المحدودة" و"القياسات الموقّعة الموسّعة".

بالنظر إلى مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$(أي مجموعة)${\displaystyle X}$باستخدام جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$(فيها)، المقياس الموقّع الموسّع هو دالة مجموعة$${\displaystyle \mu$$ :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}} بحيث${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$و${\displaystyle \mu }$هي جمعية سيجما - أي أنها تحقق المساواة $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ لأي تسلسل${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$من المجموعات المنفصلة في${\displaystyle \Sigma .}$ يجب أن تتقارب المتسلسلة على اليمين تقاربًا مطلقًا عندما تكون قيمة الطرف الأيسر محدودة. ومن النتائج المترتبة على ذلك أن المقياس الموقّع الموسّع يمكن أن يأخذ${\displaystyle +\infty }$أو${\displaystyle -\infty }$كقيمة، ولكن ليس كليهما. التعبير${\displaystyle \infty -\infty }$غير محدد ^{[ 1 ]} ويجب تجنبه.

يُعرَّف المقياس الموقَّع المحدود (أو المقياس الحقيقي ) بنفس الطريقة، باستثناء أنه لا يُسمح له إلا بأخذ قيم حقيقية. أي أنه لا يمكن أن يأخذ${\displaystyle +\infty }$أو${\displaystyle -\infty .}$

تشكل المقاييس الموقعة المحدودة فضاءً متجهيًا حقيقيًا ، بينما لا تشكله المقاييس الموقعة الموسعة لأنها ليست مغلقة تحت عملية الجمع. من ناحية أخرى، تُعد المقاييس مقاييس موقعة موسعة، ولكنها ليست عمومًا مقاييس موقعة محدودة.

ضع في اعتبارك مقياسًا غير سالب${\displaystyle \nu }$على الفضاء ( X ، Σ) ودالة قابلة للقياس f : X → R بحيث

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

ثم، يُعطى مقياس إشارة محدود بواسطة

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

لكل A في Σ.

لا يأخذ هذا المقياس الموقّع إلا قيمًا محدودة. وللسماح له بأخذ قيمة +∞، يجب استبدال افتراض أن f قابلة للتكامل المطلق بالشرط الأكثر مرونة.

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

حيث f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) هو الجزء السالب من f .

فيما يلي نتيجتان ستؤديان إلى أن المقياس الموجه الممتد هو الفرق بين مقياسين غير سالبين، وأن المقياس الموجه المحدود هو الفرق بين مقياسين غير سالبين محدودين.

تنص نظرية هان للتحليل على أنه بالنظر إلى مقياس موقّع μ ، توجد مجموعتان قابلتان للقياس P و N بحيث:

1. P ∪ N = X و P ∩ N = ∅؛
2. μ ( E ) ≥ 0 لكل E في Σ بحيث E ⊆ P — بعبارة أخرى، P هي مجموعة موجبة ؛
3. μ ( E ) ≤ 0 لكل E في Σ بحيث E ⊆ N — أي أن N هي مجموعة سالبة.

علاوة على ذلك، فإن هذا التفكيك فريد من نوعه حتى إضافة/طرح مجموعات μ - الصفرية من P و N.

لنفترض إذن مقياسين غير سالبين μ ⁺ و μ− ^معرفين بواسطة

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

و

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

لجميع المجموعات القابلة للقياس E ، أي E في Σ.

يمكن التحقق من أن كلاً من μ ⁺ و μ- مقياسان غير سالبين، أحدهما يأخذ قيمًا محدودة فقط، ويُطلق عليهما ^الجزء الموجب والجزء السالب من μ على التوالي. لدينا أن μ = μ ⁺ - μ- ^. يُسمى المقياس | μ | = μ ⁺ + μ- بتغير μ ، وقيمته القصوى الممكنة، || μ || = | μ |( ^X ) ، تُسمى التغير الكلي لـ μ . 

تُسمى هذه النتيجة لنظرية هان للتحليل بتحليل جوردان . وتكون المقاييس μ ⁺ و μ- ^و | μ | مستقلة عن اختيار P و N في نظرية هان للتحليل.

مجموع مقياسين مُوَقَّعين منتهيين هو مقياس مُوَقَّع منتهٍ، وكذلك حاصل ضرب مقياس مُوَقَّع منتهٍ في عدد حقيقي - أي أنهما مُغلقان تحت التراكيب الخطية . ويترتب على ذلك أن مجموعة المقاييس المُوَقَّعة المنتهية على فضاء قابل للقياس ( X , Σ) هي فضاء متجهي حقيقي ؛ وهذا على عكس المقاييس الموجبة، التي تكون مُغلقة فقط تحت التراكيب المخروطية ، وبالتالي تُشكِّل مخروطًا محدبًا وليس فضاءً متجهيًا. علاوة على ذلك، يُعرِّف التباين الكلي معيارًا يصبح فضاء المقاييس المُوَقَّعة المنتهية بالنسبة له فضاء باناخ . يتميز هذا الفضاء ببنية أكثر تعقيدًا، إذ يُمكن إثبات أنه شبكة باناخ كاملة من نوع ديديكيند ، وبذلك يُمكن إثبات أن نظرية رادون-نيكوديم هي حالة خاصة من نظرية فرويدنتال الطيفية .

إذا كان X فضاءً مضغوطًا قابلًا للفصل، فإن فضاء مقاييس باير الموقعة المحدودة هو الفضاء الثنائي لفضاء باناخ الحقيقي لجميع الدوال الحقيقية المستمرة على X ، وذلك وفقًا لنظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

• الإزاحة الزاوية
• مقياس معقد
• القياس الطيفي
• قياس المتجهات
• نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكتاني
• طول القوس الموقّع
• المنطقة المحددة
• المسافة المحددة
• مجلد موقع
• التباين الكلي

• بارتل، روبرت ج. (1966)، عناصر التكامل ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، Zbl 0146.28201 
• بهاسكارا راو، كي بي إس؛ بهاسكارا راو، م. (1983)، نظرية الشحنات: دراسة للمقاييس الجمعية المحدودة ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، لندن: أكاديميك برس ، ISBN 0-12-095780-9، Zbl 0516.28001 
• كون، دونالد ل. (1997) [1980]، نظرية القياس ، بوسطن: دار نشر بيركهاوزر ، ISBN 3-7643-3003-1، Zbl 0436.28001 
• ديستل، جيه إي؛ أوهل، جيه جيه الابن (1977)، مقاييس المتجهات ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد  15، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-8218-1515-6، Zbl 0369.46039 
• دانفورد، نيلسون ؛ شوارتز، جاكوب ت. (1959)، المؤثرات الخطية. الجزء الأول: النظرية العامة. الجزء الثاني: النظرية الطيفية. المؤثرات الذاتية المرافقة في فضاء هيلبرت. الجزء الثالث: المؤثرات الطيفية. ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  6، نيويورك ولندن: دار إنترساينس للنشر ، الصفحات  858+14، ISBN 0-471-60848-3، Zbl 0084.10402 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• دانفورد، نيلسون ؛ شوارتز، جاكوب ت. (1963)، المؤثرات الخطية. الجزء الأول: النظرية العامة. الجزء الثاني: النظرية الطيفية. المؤثرات الذاتية المرافقة في فضاء هيلبرت. الجزء الثالث: المؤثرات الطيفية. ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  7، نيويورك ولندن: دار إنترساينس للنشر ، الصفحات  859-1923، ISBN 0-471-60847-5، Zbl 0128.34803 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• دانفورد، نيلسون ؛ شوارتز، جاكوب ت. (1971)، المؤثرات الخطية. الجزء الأول: النظرية العامة. الجزء الثاني: النظرية الطيفية. المؤثرات الذاتية المرافقة في فضاء هيلبرت. الجزء الثالث: المؤثرات الطيفية. ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  8، نيويورك ولندن: دار إنترساينس للنشر ، الصفحات  1925-2592، ISBN 0-471-60846-7، Zbl 0243.47001 
• زانين، أدريان سي. (1996)، مقدمة لنظرية المشغل في مساحات ريسز ، دار النشر سبرينغر ، ISBN 3-540-61989-5

تتضمن هذه المقالة مواد من مقالات PlanetMath التالية ، المرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike : القياس الموقع، نظرية تفكيك هان، تفكيك جوردان.