الفضاء المحدب تمامًا

في الرياضيات ، يُعرَّف الفضاء المحدب تمامًا بأنه فضاء متجهي معياري ( X ,  ||||| ) تكون  فيه كرة الوحدة المغلقة مجموعة محدبة تمامًا . بعبارة أخرى، الفضاء المحدب تمامًا هو فضاءٌ، إذا أُعطيت أي نقطتين مختلفتين x و y على كرة الوحدة ∂B (أي حدود كرة الوحدة B في X )، فإن القطعة المستقيمة الواصلة بين x و y تتقاطع مع ∂B فقط عند x و y . يقع التحدب التام في مكان ما بين فضاء الضرب الداخلي ( حيث تكون جميع فضاءات الضرب الداخلي محدبة تمامًا) والفضاء المعياري العام من حيث البنية. كما يضمن التحدب التام تفرد أفضل تقريب لعنصر في X (محدب تمامًا) من فضاء جزئي محدب Y ، بشرط وجود مثل هذا التقريب.

إذا كانت الفضاء المعياري X كاملاً ويحقق الخاصية الأقوى قليلاً المتمثلة في كونه محدبًا بشكل منتظم (مما يعني التحدب الصارم)، فإنه يكون أيضًا انعكاسيًا وفقًا لنظرية ميلمان-بيتيس .

الخصائص التالية تعادل التحدب الصارم.

• تكون الفضاءات المتجهة المعيارية ( X ,  ||||  ) محدبة تمامًا إذا وفقط إذا كان x  ≠ y و || x || = || y || = 1 معًا يعني أن || x + y || < 2.               
• تكون الفضاءات المتجهة المعيارية ( X ,  |||||  ) محدبة تمامًا إذا وفقط إذا كان x  ≠ y و || x || = || y || = 1 معًا يعني أن || αx + (1 − α ) y || < 1 لجميع 0 < α < 1.                     
• تكون الفضاءات المتجهة المعيارية ( X ،  ||  ||) محدبة تمامًا إذا وفقط إذا كان x  ≠ 0 و y ≠ 0 و || x + y || = || x || + || y || معًا يعني أن x = cy لبعض الثابت c > 0 ؛                 
• تكون الفضاءات المتجهة المعيارية ( X ,  ||||  ) محدبة تمامًا إذا وفقط إذا كان مقياس التحدب δ لـ ( X ,  ||||  ) يحقق δ (2)  =  1.

• فضاء محدب بشكل منتظم
• معامل وخصائص التحدب

• جوبل، كازيميرز (1970). "تحدب الكرات ونظريات النقطة الثابتة للتطبيقات ذات المربع غير المتوسع". كومبوزيتيو ماثيماتيكا . 22 (3): 269-274 .