الكرة (رياضيات)

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "كرة" الرياضيات - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( مارس 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

في الرياضيات ، الكرة هي شكل صلب محاط بكرة ؛ وتسمى أيضًا كرة صلبة . ^[1] قد تكون كرة مغلقة (بما في ذلك نقاط الحدود التي تشكل الكرة) أو كرة مفتوحة (باستثناءها).

لا يتم تعريف هذه المفاهيم في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد فحسب ، بل وأيضًا للأبعاد الدنيا والعليا، وللفضاءات المترية بشكل عام. تسمى الكرة في n بُعد كرة زائدة أو كرة -n وتحدها كرة زائدة أو ( n −1 ) -كرة . وبالتالي، على سبيل المثال، فإن الكرة في المستوى الإقليدي هي نفس الشيء مثل القرص ، المنطقة المحددة بدائرة . في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، تُعتبر الكرة هي الحجم المحدود بكرة ثنائية الأبعاد . في الفضاء أحادي البعد ، تكون الكرة قطعة مستقيمة .

في سياقات أخرى، مثل الهندسة الإقليدية والاستخدام غير الرسمي، تُستخدم كلمة "كرة" أحيانًا لتعني الكرة . في مجال الطوبولوجيا ، غالبًا ما يشار إلى الكرة ذات الأبعاد المغلقة باسم أو بينما تشير الكرة ذات الأبعاد المفتوحة إلى أو . ${\displaystyle n}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {int} B^{n}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{n}}$

في الفضاء الإقليدي n ، تكون الكرة n المفتوحة ونصف قطرها r ومركزها x هي مجموعة جميع النقاط التي تبعد عن x بمسافة أقل من r . وتكون الكرة n المغلقة ونصف قطرها r هي مجموعة جميع النقاط التي تبعد عن x بمسافة أقل من أو تساوي r .

في الفضاء الإقليدي n ، كل كرة محاطة بكرة زائدية . الكرة هي فاصل محدود عندما n = 1 ، وهي قرص محاط بدائرة عندما n = 2 ، ومحاطة بكرة عندما n = 3 .

الحجم ذو البعد n للكرة الإقليدية ذات نصف القطر r في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ^{هو: [2]} حيث  Γ هي دالة جاما ليونهارد أويلر ( والتي يمكن اعتبارها امتدادًا لدالة العامل إلى الحجج الكسرية). إن استخدام الصيغ الصريحة لقيم معينة لدالة جاما عند الأعداد الصحيحة ونصف الأعداد الصحيحة يعطي صيغًا لحجم الكرة الإقليدية لا تتطلب تقييم دالة جاما. وهي: $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}}$$

في صيغة الأحجام ذات الأبعاد الفردية، يتم تعريف العامل المزدوج (2 k + 1)!! للأعداد الصحيحة الفردية 2 k + 1 على النحو التالي (2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1) .

ليكن ( M , d ) فضاء متريًا ، أي مجموعة M ذات دالة مترية (مسافة) d ، وليكن ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ عددًا حقيقيًا موجبًا. تُعرَّف الكرة المفتوحة (المترية) بنصف قطر r ومركزها نقطة p في M ، والتي يُشار إليها عادةً بـ B _r ( p ) أو B ( p ؛ r ) ، بنفس الطريقة التي تُعرَّف بها الكرة الإقليدية، حيث إنها مجموعة النقاط في M التي تبعد عن p بمسافة أقل من r ، $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.}$$

الكرة المغلقة (المترية)، والتي يشار إليها أحيانًا بـ B _r [ p ] أو B [ p ; r ] ، تُعرف أيضًا بأنها مجموعة النقاط التي تكون المسافة بينها أقل من أو تساوي r بعيدًا عن p ، $${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$$

على وجه الخصوص، تتضمن الكرة (مفتوحة أو مغلقة) دائمًا p نفسها، لأن التعريف يتطلب r > 0. الكرة الوحدوية (مفتوحة أو مغلقة) هي كرة نصف قطرها 1.

لا يلزم أن تكون الكرة في فضاء متري عام مستديرة. على سبيل المثال، الكرة في فضاء إحداثيات حقيقية تحت مسافة تشيبيشيف هي مكعب زائد ، والكرة تحت مسافة سيارة الأجرة هي متعدد السطوح المتقاطع . كما لا يلزم أن تكون الكرة المغلقة مضغوطة . على سبيل المثال، الكرة المغلقة في أي فضاء متجه معياري لا نهائي الأبعاد لا تكون مضغوطة أبدًا. ومع ذلك، ستكون الكرة في فضاء متجه محدبة دائمًا كنتيجة لعدم مساواة المثلث.

تكون مجموعة فرعية من الفضاء المتري محدودة إذا كانت موجودة داخل كرة ما. وتكون المجموعة محدودة تمامًا إذا كانت مغطاة بعدد محدود من الكرات ذات نصف القطر الموجب، مع العلم أن أي نصف قطر موجب.

يمكن أن تعمل الكرات المفتوحة في الفضاء المتري كقاعدة ، مما يمنح هذا الفضاء طوبولوجيا ، حيث تكون مجموعاتها المفتوحة عبارة عن اتحادات ممكنة للكرات المفتوحة. تسمى هذه الطوبولوجيا في الفضاء المتري الطوبولوجيا المستحثة بواسطة المتري d .

دعونا نشير إلى إغلاق الكرة المفتوحة في هذه الطوبولوجيا. في حين أنه من الصحيح دائمًا أنه ليس من الصحيح دائمًا أن على سبيل المثال، في مساحة مترية ذات مقياس منفصل ، لدينا ولكن لأي${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$${\displaystyle B_{r}(p)}$${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}$${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$${\displaystyle B_{1}[p]=X}$${\displaystyle p\in X.}$

أي فضاء متجه معياري V مع معيار هو أيضًا فضاء متري مع المقياس في مثل هذه الفضاءات، يمكن اعتبار كرة عشوائية من النقاط حول نقطة بمسافة أقل من نسخة مقياسية (بواسطة ) ومترجمة (بواسطة ) من كرة الوحدة. مثل هذه الكرات "المركزية" مع يشار إليها بـ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$${\displaystyle B_{r}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{1}(0).}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle B(r).}$

الكرات الإقليدية التي ناقشناها سابقًا هي مثال للكرات في فضاء متجه معياري.

في فضاء ديكارت R ⁿ مع معيار p - L _p ، أي يختار المرء بعضًا ويحدد ثم تُعطى كرة مفتوحة حول الأصل بنصف قطر بواسطة المجموعة بالنسبة إلى n = 2 ، في مستوى ثنائي الأبعاد ، تكون "الكرات" وفقًا لمعيار L ₁ - (يُطلق عليه غالبًا مقياس سيارة الأجرة أو مقياس مانهاتن ) محدودة بمربعات بأقطارها موازية لمحاور الإحداثيات ؛ تلك التي وفقًا لمعيار L _∞ -، والذي يُسمى أيضًا مقياس تشيبيشيف ، لها مربعات بأضلاعها موازية لمحاور الإحداثيات كحدود لها. يولد معيار L ₂ -، المعروف باسم المقياس الإقليدي، الأقراص المعروفة جيدًا داخل الدوائر، وبالنسبة لقيم p الأخرى ، تكون الكرات المقابلة عبارة عن مناطق محدودة بمنحنيات لاميه (قطع ناقص تحتي أو قطع ناقص زائد). ${\displaystyle p\geq 1}$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},}$$${\displaystyle r}$$${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p<r\right\}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

بالنسبة إلى n = 3 ، فإن الكرات L ₁ - موجودة داخل ثماني السطوح مع أقطار الجسم المحاذية للمحاور ، والكرات L _{∞ -} موجودة داخل مكعبات ذات حواف محاذية للمحاور ، وحدود الكرات لـ L _p مع p > 2 عبارة عن قطع ناقص فائقة . p = 2 تولد الشكل الداخلي للمجالات المعتادة.

في كثير من الأحيان يمكن أيضًا النظر في حالة حيث نحدد${\displaystyle p=\infty }$$${\displaystyle \lالرأس x\rالرأس _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}}$$

بشكل عام، بالنظر إلى أي ^{مجموعة فرعية متناظرة مركزيًا ومحدودة ومفتوحة ومحدبة X من R n، يمكننا تعريف معيار على R n} حيث تكون الكرات كلها نسخًا مترجمة وموحدة القياس من X. لاحظ أن هذه النظرية ^لا تنطبق  إذا تم استبدال المجموعة الفرعية "المفتوحة" بمجموعة فرعية "مغلقة"، لأن نقطة الأصل مؤهلة ولكنها لا تحدد معيارًا على  R ⁿ .

يمكن للمرء أن يتحدث عن الكرات في أي فضاء طوبولوجي X ، وليس بالضرورة أن يكون ذلك ناتجًا عن مقياس. الكرة الطوبولوجية ذات الأبعاد n (المفتوحة أو المغلقة) لـ X هي أي مجموعة فرعية من X متماثلة مع كرة إقليدية ذات أبعاد n (مفتوحة أو مغلقة) . الكرات الطوبولوجية ذات الأبعاد n مهمة في الطوبولوجيا التوليفية ، باعتبارها اللبنات الأساسية للمجمعات الخلوية .

أي كرة طوبولوجية مفتوحة n- تكون متماثلة مع الفضاء الديكارتي R ⁿ ومع المكعب الوحدوي المفتوح n- (المكعب الفائق) (0, 1) ⁿ ⊆ R ⁿ . وأي كرة طوبولوجية مغلقة n- تكون متماثلة مع المكعب المغلق n- [0, 1] ⁿ .

تكون الكرة n متماثلة مع الكرة m إذا وفقط إذا كان n = m . يمكن تصنيف التماثلات بين الكرة المفتوحة n B و R ⁿ في فئتين، يمكن تحديدهما بالاتجاهين الطوبولوجيين المحتملين لـ  B.

لا يلزم أن تكون الكرة الطوبولوجية n ناعمة ؛ وإذا كانت ناعمة، فلا يلزم أن تكون تفاضلية الشكل بالنسبة للكرة الإقليدية n .

من الممكن تعريف عدد من المناطق الخاصة للكرة:

• غطاء ، يحده مستوى واحد
• قطاع ، يحده حدود مخروطية ذات قمة في مركز الكرة
• قطعة محدودة بزوج من المستويات المتوازية
• صدفة محاطة بكرتين متحدة المركز بنصف قطرين مختلفين
• إسفين ، يحده مستويان يمران عبر مركز الكرة وسطح الكرة

• سميث، دي جي؛ فامانامورثي، إم كيه (1989). "ما مدى صغر الكرة الوحدوية؟". مجلة الرياضيات . 62 (2): 101-107. doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR  2690391.
• Dowker, JS (1996). "شروط روبن على الكرة الإقليدية". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 13 (4): 585-610. arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode :1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID  119438515.
• جروبر، بيتر م. (1982). "متساويات مساحة الأجسام المحدبة الموجودة في كرة إقليدية". مجلة الرياضيات الإسرائيلية . 42 (4): 277-283. doi :10.1007/BF02761407. S2CID  119483499.