فضاء المتجهات المعياري

في الرياضيات ، يُعرف الفضاء المتجهي المعياري أو الفضاء المعياري بأنه فضاء متجهي ، عادةً ما يكون على الأعداد الحقيقية أو المركبة ، حيث يُعرَّف عليه معيار . ^{[ 1 ]} المعيار هو تعميم للمفهوم البديهي لـ "الطول" في العالم الفيزيائي.${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle K}$، أين${\displaystyle K}$حقل يساوي${\displaystyle \mathbb {R} }$أو إلى${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم معيار على${\displaystyle V}$هي خريطة${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$، ويرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$، مع استيفاء البديهيات الأربع التالية:

1. عدم السلبية: لكل${\displaystyle x\in V}$،${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$.
2. التحديد الإيجابي: لكل${\displaystyle x\in V}$،${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$هو المتجه الصفري.
3. التجانس المطلق: لكل${\displaystyle \lambda \in K}$و${\displaystyle x\in V}$،$${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. متباينة المثلث : لكل${\displaystyle x\in V}$و${\displaystyle y\in V}$،$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

لو${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي حقيقي أو مركب كما سبق، و${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$هو أمر طبيعي في${\displaystyle V}$ثم الزوج المرتب${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$يُطلق عليه اسم فضاء متجهي معياري. إذا كان واضحًا من السياق أي معيار يُقصد، فمن الشائع الإشارة إلى الفضاء المتجهي المعياري ببساطة بـ${\displaystyle V}$.

يُنتج المعيار مسافةً تُسمى المقياس المُستحثّ (للمعيار) ، وذلك وفقًا للصيغة التالية: $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$ مما يجعل أي فضاء متجهي معياري فضاءً متريًا وفضاءً متجهيًا طوبولوجيًا . إذا كان هذا الفضاء المتري كاملًا ، فإن الفضاء المعياري يكون فضاء باناخ . يمكن "تمديد" أي فضاء متجهي معياري "بشكل فريد" إلى فضاء باناخ، مما يجعل الفضاءات المعيارية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بفضاءات باناخ. كل فضاء باناخ هو فضاء معياري، ولكن العكس غير صحيح. على سبيل المثال، يمكن معايرة مجموعة المتتاليات المنتهية من الأعداد الحقيقية باستخدام المعيار الإقليدي ، لكنها ليست كاملة لهذا المعيار.

فضاء الضرب الداخلي هو فضاء متجهي معياري، معياره هو الجذر التربيعي للضرب الداخلي لمتجه في نفسه. المعيار الإقليدي لفضاء متجهي إقليدي هو حالة خاصة تسمح بتعريف المسافة الإقليدية بالصيغة التالية: $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

تُعد دراسة الفضاءات المعيارية وفضاءات باناخ جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي ، وهو فرع رئيسي من فروع الرياضيات.

الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء متجهي مزود بمعيار .الفضاء المتجهي شبه المعياري هو فضاء متجهي مزود بمعيارشبه معياري.

أحد الأشكال المفيدة لمتباينة المثلث هو $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ لأي متجهات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y.}$

وهذا يوضح أيضاً أن معيار المتجه هو دالة متصلة ( بشكل منتظم ) .

تعتمد الخاصية 3 على اختيار المعيار${\displaystyle |\alpha |}$في حقل الكميات القياسية. عندما يكون حقل الكميات القياسية${\displaystyle \mathbb {R} }$(أو بشكل أعم مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {C} }$)، عادةً ما تُعتبر هذه القيمة هي القيمة المطلقة العادية ، ولكن توجد خيارات أخرى ممكنة. على سبيل المثال، بالنسبة لفضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle |\alpha |}$أن يكون${\displaystyle p}$القيمة المطلقة للعدد -adic .

لو${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$هو فضاء متجهي معياري، المعيار${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$يُنشئ مقياسًا (مفهومًا للمسافة ) وبالتالي طوبولوجيا على${\displaystyle V.}$يُعرَّف هذا المقياس بطريقة طبيعية: المسافة بين متجهين${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$يُعطى بواسطة${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$هذه البنية الطوبولوجية هي تحديداً أضعف بنية طوبولوجية مما يجعلها${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$متصلة ومتوافقة مع البنية الخطية لـ${\displaystyle V}$بالمعنى التالي:

1. جمع المتجهات${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$وهي متصلة بشكل مشترك بالنسبة لهذه الطوبولوجيا. وهذا يتبع مباشرة من متباينة المثلث .
2. الضرب القياسي${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$أين${\displaystyle \mathbb {K} }$هو الحقل القياسي الأساسي لـ${\displaystyle V,}$وهي متصلة بشكل مشترك. وينتج هذا عن متباينة المثلث وتجانس المعيار.

وبالمثل، بالنسبة لأي فضاء متجه شبه معياري، يمكننا تعريف المسافة بين متجهين${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$مثل${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$يحوّل هذا الفضاء شبه المعياري إلى فضاء شبه متري (لاحظ أن هذا أضعف من المقياس) ويسمح بتعريف مفاهيم مثل الاستمرارية والتقارب . بعبارة أخرى، كل فضاء متجهي شبه معياري هو فضاء متجهي طوبولوجي ، وبالتالي يحمل بنية طوبولوجية مستحثة بواسطة المعيار شبه المعياري.

تُعد الفضاءات المعيارية الكاملة ، والمعروفة باسم فضاءات باناخ ، ذات أهمية خاصة . كل فضاء متجهي معياري${\displaystyle V}$يقع هذا الفضاء كفضاء فرعي كثيف داخل فضاء باناخ؛ ويتم تعريف فضاء باناخ هذا بشكل فريد من خلال${\displaystyle V}$ويُطلق عليه اسم إتمام${\displaystyle V.}$

يُقال إن معيارين على نفس الفضاء المتجهي متكافئان إذا كانا يُعرّفان نفس الطوبولوجيا . في الفضاء المتجهي ذي الأبعاد المحدودة (وليس في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد غير المحدودة)، تكون جميع المعايير متكافئة (مع أن الفضاءات المترية الناتجة لا يشترط أن تكون متطابقة) ^{[ 2 ].} وبما أن أي فضاء إقليدي كامل، فإنه يمكننا بالتالي استنتاج أن جميع الفضاءات المتجهة المعيارية ذات الأبعاد المحدودة هي فضاءات باناخ.

فضاء متجهي معياري${\displaystyle V}$تكون الكرة الوحدة متراصة محليًا إذا وفقط إذا كانت${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$مضغوطة ، وهذا هو الحال إذا وفقط إذا${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي محدود الأبعاد؛ وهذه نتيجة لفرضية ريز . (في الواقع، هناك نتيجة أعمّ: الفضاء المتجهي الطوبولوجي يكون متراصًا محليًا إذا وفقط إذا كان محدود الأبعاد. النقطة الأساسية هنا هي أننا لا نفترض أن الطوبولوجيا مستمدة من معيار.)

تتمتع طوبولوجيا الفضاء المتجهي شبه المعياري بالعديد من الخصائص الجيدة. بالنظر إلى نظام الجوار${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$حول الصفر، يمكننا بناء جميع أنظمة الجوار الأخرى كما $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ مع $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

علاوة على ذلك، توجد قاعدة جوار للأصل تتكون من مجموعات ماصة ومحدبة . ولأن هذه الخاصية مفيدة للغاية في التحليل الوظيفي ، تُدرس تعميمات فضاءات المتجهات المعيارية التي تتمتع بهذه الخاصية تحت مسمى الفضاءات المحدبة محليًا .

معيار (أو شبه معيار )${\displaystyle \|\cdot \|}$على فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$الذي - التي${\displaystyle \|\cdot \|}$يحفز على${\displaystyle X}$أكثر خشونة من${\displaystyle \tau }$(معنى،${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كانت هناك كرة مفتوحة${\displaystyle B}$في${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$(مثل ربما)${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$على سبيل المثال) مفتوح في${\displaystyle (X,\tau )}$(بمعنى آخر، بحيث${\displaystyle B\in \tau }$).

فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$يُطلق عليه اسم قابل للتطبيع إذا كان هناك معيار${\displaystyle \|\cdot \|}$على${\displaystyle X}$بحيث يكون المقياس المتعارف عليه${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$يؤدي إلى تكوين الطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X.}$ النظرية التالية تعود إلى كولموغوروف : ^{[ 3 ]}

معيار كولموغوروف للتطبيع : يكون فضاء المتجهات الطوبولوجي هاوسدورف قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذا وُجدتجوار محدب ومحدود وفقًا لفون نيومان لـ${\displaystyle 0\in X.}$

يكون ناتج عائلة من الفضاءات المعيارية معياريًا إذا وفقط إذا كان عدد محدود فقط من هذه الفضاءات غير تافه (أي،${\displaystyle \neq \{0\}}$^{[ 3 ]} علاوة على ذلك ، فإن خارج قسمة فضاء قابل للتطبيع${\displaystyle X}$بواسطة فضاء متجهي مغلق${\displaystyle C}$قابل للتطبيع، وإذا بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle X}$تُحدد طوبولوجيا النظام بواسطة معيار${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ثم الخريطة${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$مقدم من${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$هو معيار محدد جيدًا${\displaystyle X/C}$وهذا يؤدي إلى طوبولوجيا القسمة على${\displaystyle X/C.}$^{[ 4 ]}

بالإضافة إلى،${\displaystyle X}$تكون ذات أبعاد منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$قابل للتطبيع (هنا)${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$يشير${\displaystyle X^{\prime }}$(مزودة بطوبولوجيا ضعيفة* ).

الطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$مساحة فريشيه${\displaystyle C^{\infty }(K),}$كما هو مُعرَّف في المقالة المتعلقة بفضاءات دوال الاختبار والتوزيعات ، يتم تعريفها بواسطة عائلة قابلة للعد من المعايير، ولكنها ليست فضاءً معياريًا لأنه لا يوجد أي معيار.${\displaystyle \|\cdot \|}$على${\displaystyle C^{\infty }(K)}$بحيث تكون الطوبولوجيا التي يُحدثها هذا المعيار مساوية لـ${\displaystyle \tau .}$

حتى لو كان للفضاء المتجهي الطوبولوجي القابل للقياس طوبولوجيا مُعرَّفة بواسطة مجموعة من المعايير، فقد يظل مع ذلك غير قابل للقياس المعياري (أي أن طوبولوجياه لا يمكن تعريفها بواسطة أي معيار واحد ). ومن أمثلة هذا النوع من الفضاءات فضاء فريشيه.${\displaystyle C^{\infty }(K),}$والتي يمكن إيجاد تعريفها في المقالة المتعلقة بفضاءات دوال الاختبار والتوزيعات ، وذلك بسبب بنيتها الطوبولوجية.${\displaystyle \tau }$يُعرَّف هذا الفضاء بمجموعة قابلة للعد من المعايير، ولكنه ليس فضاءً معياريًا لأنه لا يوجد فيه أي معيار.${\displaystyle \|\cdot \|}$على${\displaystyle C^{\infty }(K)}$بحيث تكون الطوبولوجيا التي يُحدثها هذا المعيار مساوية لـ${\displaystyle \tau .}$ في الواقع، طوبولوجيا الفضاء المحدب محليًا${\displaystyle X}$يمكن تعريفها بواسطة مجموعة من المعايير على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان هناك معيار متصل واحد على الأقل على${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

أهم التطبيقات بين فضاءين متجهيين معياريين هي التطبيقات الخطية المتصلة . تشكل الفضاءات المتجهة المعيارية، إلى جانب هذه التطبيقات، فئةً .

المعيار دالة متصلة على فضاء المتجهات الخاص به. جميع التحويلات الخطية بين فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة هي أيضًا متصلة.

التحويل المتساوي القياس بين فضاءين متجهيين معياريين هو تحويل خطي${\displaystyle f}$الذي يحافظ على القاعدة (بمعنى${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$لجميع المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$تكون القياسات المتساوية متصلة وحقنية دائمًا . القياس المتساوي الشامل بين فضاءات المتجهات المعيارية${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$يُطلق عليه اسم التشاكل المتساوي القياس ، و${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$تُسمى هذه الفضاءات متماثلة القياس . الفضاءات المتجهة المعيارية المتماثلة القياس متطابقة لجميع الأغراض العملية.

عند الحديث عن فضاءات المتجهات المعيارية، فإننا نوسع مفهوم الفضاء الثنائي ليشمل المعيار.${\displaystyle V^{\prime }}$فضاء متجه معياري${\displaystyle V}$هو فضاء جميع التحويلات الخطية المتصلة من${\displaystyle V}$إلى الحقل الأساسي (الأعداد المركبة أو الأعداد الحقيقية) - تُسمى هذه التحويلات الخطية "الدوال". معيار الدالة${\displaystyle \varphi }$يُعرَّف بأنه الحد الأعلى لـ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$أين${\displaystyle \mathbf {v} }$نطاقات على جميع متجهات الوحدة (أي متجهات المعيار)${\displaystyle 1}$) في${\displaystyle V.}$وهذا يتحول${\displaystyle V^{\prime }}$في فضاء متجهي معياري. ومن النظريات المهمة المتعلقة بالدوال الخطية المتصلة على الفضاءات المتجهة المعيارية نظرية هان-باناخ .

يتضمن تعريف العديد من الفضاءات المعيارية (وخاصة فضاءات باناخ ) تعريف شبه معيار على فضاء متجهي، ثم يُعرَّف الفضاء المعياري على أنه فضاء القسمة على الفضاء الجزئي لعناصر شبه المعيار الصفري. على سبيل المثال، مع${\displaystyle L^{p}}$المساحات ، الدالة المحددة بواسطة $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$ هي شبه معيار على الفضاء المتجهي لجميع الدوال التي يكون تكامل ليبيغ على الجانب الأيمن منها مُعرَّفًا ومنتهيًا. مع ذلك، فإن شبه المعيار يساوي صفرًا لأي دالة مدعومة على مجموعة قياس ليبيغ يساوي صفرًا. تُشكِّل هذه الدوال فضاءً جزئيًا نقوم بفصله، مما يجعلها مكافئة للدالة الصفرية.

منح${\displaystyle n}$مساحات شبه نمطية${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$مع المعايير شبه الطبيعية${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$نرمز إلى فضاء الضرب بـ $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ حيث يُعرَّف جمع المتجهات على النحو التالي: $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ والضرب القياسي مُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

قم بتعريف دالة جديدة${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$بواسطة $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ وهو شبه معيار في${\displaystyle X.}$الوظيفة${\displaystyle q}$يكون الوضع طبيعياً إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle q_{i}}$هي معايير.

وبشكل أعم، لكل حقيقي${\displaystyle p\geq 1}$الخريطة${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ هو شبه طبيعي. لكل${\displaystyle p}$وهذا يُعرّف نفس الفضاء الطوبولوجي.

تُظهر حجة بسيطة باستخدام الجبر الخطي الابتدائي أن الفضاءات شبه المعيارية ذات الأبعاد المحدودة هي تلك التي تنشأ كحاصل ضرب فضاء معياري وفضاء ذي معيار شبه تافه. ونتيجة لذلك، فإن العديد من الأمثلة والتطبيقات الأكثر إثارة للاهتمام للفضاءات شبه المعيارية تظهر في فضاءات متجهة لا نهائية الأبعاد.

• فضاء باناخ ، فضاءات متجهة معيارية كاملة بالنسبة للمقياس المستحث بواسطة المعيار
• باناخ-مازور كومباكتوم – مفهوم في التحليل الوظيفي 
• مشعب فينسلر ، حيث يتم تحديد طول كل متجه مماس بواسطة معيار
• فضاء الضرب الداخلي ، فضاءات متجهة معيارية حيث يُعطى المعيار بواسطة الضرب الداخلي
• معيار كولموغوروف للتطبيع – توصيف الفضاءات القابلة للتطبيع 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا - فضاء متجهي ذو طوبولوجيا محددة بواسطة مجموعات مفتوحة محدبة
• الفضاء (الرياضيات) - مجموعة رياضية ذات بنية إضافية
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب 

• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . الرياضيات لايتفادن. [الكتب المدرسية الرياضية]. بي جي تيوبنر، شتوتغارت. رقم ISBN 3-519-02224-9MR 0632257 .​ 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد.  1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل 0005.20901 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2014-01-11 . تم الاسترجاع 2020-07-11 . 
• روليفيتش، ستيفان (1987)، التحليل الوظيفي ونظرية التحكم: الأنظمة الخطية ، الرياضيات وتطبيقاتها (سلسلة أوروبا الشرقية)، المجلد  29 (ترجمة من البولندية: إيفا بيدنارتشوك،  محررة)، دوردريخت؛ وارسو: دار نشر دي. ريدل؛ PWN - الناشرون العلميون البولنديون، الصفحات  524+16، doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 ، ISBN 90-277-2186-6، MR 0920371 ، OCLC 13064804  
• شيفر، إتش إتش (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، بصمة سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 

• الوسائط المتعلقة بالمساحات المعيارية على ويكيميديا ​​كومنز