الشبكة الفرعية (الرياضيات)

في علم الطوبولوجيا والمجالات الرياضية ذات الصلة، تُعدّ الشبكة الفرعية تعميمًا لمفهوم المتتالية الجزئية ليشمل الشبكات . ويُقابل مفهوم "المتتالية الجزئية" في الشبكات مفهوم "الشبكة الفرعية". لا يُعدّ التعريف واضحًا تمامًا، ولكنه مصممٌ للسماح بتعميم أكبر عدد ممكن من النظريات المتعلقة بالمتتاليات الجزئية على الشبكات.

توجد ثلاثة تعريفات غير متكافئة لمصطلح "الشبكة الفرعية". قدّم جون إل. كيلي أول تعريف للشبكة الفرعية عام 1955 ^{[ 1 ]} ، ثم قدّم ستيفن ويلارد تعريفه الخاص (غير المتكافئ) لتعريف كيلي عام 1970. ^{[ 1 ]} تُعدّ الشبكات الفرعية بمفهوم ويلارد والشبكات الفرعية بمفهوم كيلي أكثر التعريفات شيوعًا لمصطلح "الشبكة الفرعية" ^{[ 1 ]،} لكن كليهما لا يُكافئ مفهوم "المرشح التابع"، وهو نظير "التسلسل الفرعي" للمرشحات ( فهما ليسا متكافئين بمعنى وجود مرشحات تابعة على${\displaystyle X=\mathbb {N} }$والتي لا يمكن وصف علاقة المرشح/المرشح التابع لها بدلالة علاقة الشبكة/الشبكة الفرعية المقابلة). وقد قُدِّم تعريف ثالث لـ "الشبكة الفرعية" (لا يُعادل التعريفات التي قدمها كيلي أو ويلارد) يُعادل مفهوم "المرشح التابع" بشكل مستقل من قِبَل سمايلي (1957)، وآرنيس وأندينيس (1972)، وموردشوار (1983)، وربما آخرين، على الرغم من أنه لا يُستخدم كثيرًا. ^{[ 1 ]}

تتناول هذه المقالة التعريف الذي وضعه ويلارد (يتم وصف التعريفات الأخرى في المقالة Filters in topology#Non–equivalence of subnets and subordinate filters ).

توجد عدة تعريفات مختلفة وغير متكافئة لمصطلح "الشبكة الفرعية"، وستستخدم هذه المقالة التعريف الذي قدمه ستيفن ويلارد عام 1970، ^{[ 1 ]} وهو كما يلي: إذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$و${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$الشبكات في مجموعة${\displaystyle X}$من المجموعات الموجهة${\displaystyle A}$و${\displaystyle I,}$على التوالي، ثم${\displaystyle s_{\bullet }}$يقال إنها شبكة فرعية من${\displaystyle x_{\bullet }}$( بمعنى ويلارد أو أشبكة ويلارد الفرعية ^{[ 1 ]} ) إذا وُجدتدالة نهائيةرتيبة$${\displaystyle h:I\to A}$$ بحيث $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ لجميع }}i\in I.}$$ وظيفة${\displaystyle h:I\to A}$تكون الدالة رتيبة ، وحافظة للترتيب ، ومتجانسة الترتيب إذا كان كلما${\displaystyle i\leq j}$ثم${\displaystyle h(i)\leq h(j)}$ويُطلق عليه اسم نهائي إذا كانت صورته${\displaystyle h(I)}$هو نهائي مشترك في${\displaystyle A.}$ المجموعة${\displaystyle h(I)}$المشاركة في النهائيات${\displaystyle A}$يعني ذلك أنه لكل${\displaystyle a\in A,}$يوجد بعض${\displaystyle b\in h(I)}$بحيث${\displaystyle b\geq a;}$أي لكل${\displaystyle a\in A}$يوجد${\displaystyle i\in I}$بحيث${\displaystyle h(i)\geq a.}$^{[ ملاحظة 1 ]}

منذ الشبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$هي الوظيفة${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$والشبكة${\displaystyle s_{\bullet }}$هي الوظيفة${\displaystyle s_{\bullet }:I\to X,}$الشرط المحدد${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I},}$يمكن كتابتها بشكل أكثر إيجازًا ووضوحًا على النحو التالي:${\displaystyle s_{\bullet }=x_{h(\bullet )}}$أو${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h,}$أين${\displaystyle \,\circ \,}$يشير إلى تركيب الدوال و${\displaystyle x_{h(\bullet )}:=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}}$هي مجرد رمز للدالة${\displaystyle x_{\bullet }\circ h:I\to X.}$

من المهم الإشارة إلى أن الشبكة الفرعية ليست مجرد تقييد للشبكة.${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$إلى مجموعة فرعية موجهة من مجالها${\displaystyle A.}$ على النقيض من ذلك، وبحسب التعريف، فإنمتتالية فرعية من متتالية معينة${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$هي متتالية تتكون من المتتالية المعطاة عن طريق حذف بعض العناصر دون تغيير المواضع النسبية للعناصر المتبقية. بعبارة أخرى، متتالية${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ويُقال إنها سلسلة فرعية من${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$إذا وُجدت متتالية متزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle h_{1}<h_{2}<h_{3}<\cdots }$بحيث${\displaystyle s_{n}=x_{h_{n}}}$لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$(أي، بحيث${\displaystyle \left(s_{1},s_{2},\ldots \right)=\left(x_{h_{1}},x_{h_{2}},\ldots \right)}$). التسلسل${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(h_{1},h_{2},\ldots \right)}$يمكن تحديدها بشكل أساسي بالوظيفة${\displaystyle h_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$محدد بواسطة${\displaystyle n\mapsto h_{n}.}$وبالتالي، فإن التسلسل${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$هو تسلسل فرعي من${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$إذا وفقط إذا وُجدت دالة متزايدة تمامًا${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h.}$

المتتاليات الفرعية هي شبكات فرعية

كل تسلسل فرعي هو شبكة فرعية لأنه إذا${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$هو تسلسل فرعي من${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ثم الخريطة${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$محدد بواسطة${\displaystyle n\mapsto h_{n}}$هي دالة تحافظ على الترتيب، وصورتها نهائية مشتركة في مجالها المقابل، وتحقق الشرط التالي:${\displaystyle x_{h_{n}}=x_{h(n)}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

التسلسل والشبكة الفرعية، ولكن ليس التسلسل الفرعي.

التسلسل​${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ليست سلسلة فرعية من${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$على الرغم من أنها شبكة فرعية لأن الخريطة${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$محدد بواسطة${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$هي خريطة تحافظ على الترتيب وصورتها هي${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ويرضي${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$للجميع${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[ ملاحظة 2 ]}

بينما تُعتبر المتتالية شبكة، فإن لها شبكات فرعية ليست متتاليات فرعية. ويكمن الفرق الرئيسي في أن الشبكات الفرعية قد تستخدم النقطة نفسها في الشبكة عدة مرات، وأن مجموعة فهرسة الشبكة الفرعية قد تحتوي على عدد أكبر بكثير من العناصر . وباستخدام التعريف الأكثر عمومية الذي لا يشترط فيه الرتابة، تُعتبر المتتالية شبكة فرعية لمتتالية معينة، إذا وفقط إذا أمكن الحصول عليها من متتالية فرعية ما عن طريق تكرار حدودها وإعادة ترتيبها. ^{[ 2 ]}

شبكة فرعية من تسلسل ليس تسلسلاً

الشبكة الفرعية من متتالية ليست بالضرورة متتالية. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$يتم التوجيه وفقًا للترتيب المعتاد${\displaystyle \,\leq \,}$وحدد${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$عن طريق السماح${\displaystyle h(r)=\lceil r\rceil }$كن سقفًا لـ${\displaystyle r.}$ثم${\displaystyle h:(I,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$هي دالة تحافظ على الترتيب (لأنها دالة غير متناقصة) صورتها${\displaystyle h(I)=\mathbb {N} }$هي مجموعة جزئية نهائية مشتركة من مجالها المقابل. ليكن${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ليكن أي تسلسل (مثل تسلسل ثابت، على سبيل المثال) وليكن${\displaystyle s_{r}:=x_{h(r)}}$لكل${\displaystyle r\in I}$(بمعنى آخر، دع${\displaystyle s_{\bullet }:=x_{\bullet }\circ h}$هذه الشبكة${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$لا يمثل تسلسلاً لأن نطاقه${\displaystyle I}$هي مجموعة غير قابلة للعد . ومع ذلك،${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$هي شبكة فرعية من التسلسل${\displaystyle x_{\bullet }}$لأن (بحسب التعريف)${\displaystyle s_{r}=x_{h(r)}}$يحفظ لكل${\displaystyle r\in I.}$هكذا${\displaystyle s_{\bullet }}$هي شبكة فرعية من${\displaystyle x_{\bullet }}$هذا ليس تسلسلاً.

علاوة على ذلك، التسلسل${\displaystyle x_{\bullet }}$وهي أيضًا شبكة فرعية من${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$منذ خريطة الإدراج${\displaystyle \iota$ :\mathbb {N} \to I} (الذي يرسل${\displaystyle n\mapsto n}$) هي خريطة تحافظ على الترتيب وصورتها${\displaystyle \iota (\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$هي مجموعة فرعية نهائية مشتركة من مجالها المشترك و${\displaystyle x_{n}=s_{\iota (n)}}$ينطبق على الجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$هكذا${\displaystyle x_{\bullet }}$و${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$هي (في الوقت نفسه) شبكات فرعية لبعضها البعض.

الشبكات الفرعية الناتجة عن المجموعات الفرعية

يفترض${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$هي مجموعة غير منتهية و${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$هي متتالية. ثم${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$هي شبكة على${\displaystyle (I,\leq )}$وهي أيضاً شبكة فرعية من${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$(يأخذ${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$لتكون خريطة الإدماج${\displaystyle i\mapsto i}$). هذه الشبكة الفرعية${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ويؤدي بدوره إلى سلسلة فرعية${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$من خلال التعريف${\displaystyle h_{n}}$كما هو الحال${\displaystyle n^{\text{th}}}$أصغر قيمة في${\displaystyle I}$(أي، دع${\displaystyle h_{1}:=\inf I}$ودع${\displaystyle h_{n}:=\inf\{i\in I:i>h_{n-1}\}}$لكل عدد صحيح${\displaystyle n>1}$وبهذه الطريقة، كل مجموعة جزئية لانهائية من${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$يُنتج ذلك شبكة فرعية نموذجية يمكن كتابتها كمتتالية فرعية. ومع ذلك، وكما هو موضح أدناه، ليست كل شبكة فرعية من متتالية متتالية فرعية.

يُعمم هذا التعريف بعض النظريات الرئيسية حول المتتاليات الجزئية:

• شبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا كانت كل شبكة فرعية من${\displaystyle x_{\bullet }}$يتقارب إلى${\displaystyle x.}$
• شبكة${\displaystyle x_{\bullet }}$يحتوي على نقطة تجميع${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا كان لديه شبكة فرعية${\displaystyle y_{\bullet }}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle y}$
• فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون الشبكة مضغوطة إذا وفقط إذا كانت كل شبكة في${\displaystyle X}$يحتوي على شبكة فرعية متقاربة (انظر الشبكة للحصول على برهان).

أخذ${\displaystyle h}$أن تكون خريطة الهوية في تعريف "الشبكة الفرعية" وتتطلب${\displaystyle B}$أن تكون مجموعة فرعية نهائية مشتركة من${\displaystyle A}$يؤدي ذلك إلى مفهوم الشبكة الفرعية النهائية المشتركة ، والتي تبين أنها غير كافية لأنه، على سبيل المثال، تفشل النظرية الثانية المذكورة أعلاه بالنسبة للوحة تيكونوف إذا اقتصرنا على الشبكات الفرعية النهائية المشتركة.

• تصفية مجموعة – عائلة من المجموعات الفرعية التي تمثل مجموعات "كبيرة". 
• المرشحات في الطوبولوجيا#الشبكات الفرعية

• إنجلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3885380064.
• كيلي، جون ل. (1991). الطوبولوجيا العامة . سبرينغر. ISBN 3540901256.
• روند ، فولكر (2005). طعم الطوبولوجيا . سبرينغر. رقم ISBN 978-0387-25790-7.
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .