رقم خارق للطبيعة

في الرياضيات ، تُعدّ الأعداد فوق الطبيعية ، والتي تُسمى أحيانًا بالأعداد الطبيعية المعممة أو أعداد شتاينيتز ، تعميمًا للأعداد الطبيعية . وقد استخدمها إرنست شتاينيتز ^{[ 1 ] : 249-251} في عام 1910 كجزء من عمله في نظرية الحقول .

عدد خارق للطبيعة${\displaystyle \omega }$هو منتج رسمي :

$${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$$

أين${\displaystyle p}$يتم تطبيقها على جميع الأعداد الأولية ، وكل منها${\displaystyle n_{p}}$إما أن يكون العدد صفرًا، أو عددًا طبيعيًا، أو ما لا نهاية . ويمكن اعتبار ذلك تحليلًا للعدد غير الطبيعي إلى عوامله الأولية . في الحالة الخاصة التي يكون فيها عدد القيم محدودًا فقط${\displaystyle n_{p}}$غير صفرية وبدون فهرس${\displaystyle n_{p}}$يكون${\displaystyle \infty }$، فنحصل على الأعداد الطبيعية الموجبة؛ على سبيل المثال،${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}$يمكن تمثيلها على النحو التالي $${\displaystyle 2^{2}3^{1}5^{1}7^{0}11^{0}13^{0}\dots }$$ كما توجد العديد من الأرقام الخارقة للطبيعة التي لا يوجد لها نظير طبيعي، مثل $${\displaystyle 2^{1}3^{1}5^{1}7^{1}11^{1}13^{1}\dots }$$ و $${\displaystyle 2^{1}3^{\infty }5^{0}7^{0}11^{0}13^{0}\dots }$$

أحيانًا يكون الترميز${\displaystyle v_{p}(\omega )}$يتم استخدامها بدلاً من${\displaystyle n_{p}}$.${\displaystyle v_{p}(\omega )}$يمكن اعتبارها التقييم p-adic لـ${\displaystyle \omega }$ويتفق ذلك مع التقييم القياسي p-adic على الأعداد الطبيعية.

لا توجد طريقة طبيعية لجمع الأعداد الخارقة للطبيعة، ولكن يمكن ضربها، مع${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$وبالمثل، يمتد مفهوم قابلية التقسيم إلى ما وراء الطبيعة مع${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$لو${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$للجميع${\displaystyle p}$يمكن تعميم مفهوم المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر للأعداد الخارقة للطبيعة، وذلك بتعريف

$${\displaystyle \displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$$

و

$${\displaystyle \displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$$.

مع هذه التعريفات، فإن القاسم المشترك الأكبر أو المضاعف المشترك الأصغر لعدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية (أو الأعداد الخارقة للطبيعة) هو عدد خارق للطبيعة.

تُستخدم الأعداد فوق الطبيعية لتعريف رتب ومؤشرات الزمر والزمر الجزئية المنتهية ، وفي هذه الحالة، تنطبق العديد من نظريات نظرية الزمر المنتهية تمامًا. كما تُستخدم لترميز الامتدادات الجبرية للحقل المنتهي . ^{[ 2 ]}

تظهر الأعداد الخارقة للطبيعة أيضًا في تصنيف الجبر الفائق الموحد .

• عدد صحيح منتهٍ

• براولي، جويل ف.؛ شنيبن، جورج إي. (1989). الامتدادات الجبرية اللانهائية للحقول المنتهية . الرياضيات المعاصرة. المجلد  95. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 23-26 . ISBN  0-8218-5101-2. Zbl 0674.12009 . 
• إفرات، إيدو (2006). التقييمات، والترتيبات، ونظرية ميلنور K. دراسات وبحوث رياضية. المجلد  124. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ص  125. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 . 
• فرايد، مايكل د . جاردن، موشيه (2008). الحساب الميداني . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. المجلد.  11 (  الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . ص.  520. ردمك 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 

• بلانيت ماث: رقم خارق للطبيعة