التمديد الجبري

في الرياضيات ، يُعرَّف الامتداد الجبري بأنه امتداد حقل L / K بحيث يكون كل عنصر من عناصر الحقل الأكبر L جبريًا على الحقل الأصغر K ؛ أي أن كل عنصر من عناصر L هو جذر لكثير حدود غير صفري بمعاملات في K. [ ^{1 ] [ 2 ] أما} امتداد الحقل غير الجبري فيُسمى امتدادًا متساميًا ، ويجب أن يحتوي على عناصر متسامية ، أي عناصر غير جبرية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

الامتدادات الجبرية المحدودة للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$تُسمى مجموعة الأعداد النسبية بحقول الأعداد الجبرية ، وهي الموضوعات الرئيسية لدراسة نظرية الأعداد الجبرية . ومن الأمثلة الأخرى على الامتداد الجبري الشائع الامتداد${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$قسمة الأعداد الحقيقية على الأعداد المركبة .

جميع الامتدادات المتسامية ذات درجة لانهائية . وهذا بدوره يعني أن جميع الامتدادات المنتهية جبرية. ^{[ 5 ]} إلا أن العكس ليس صحيحًا: فهناك امتدادات لانهائية جبرية. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، حقل جميع الأعداد الجبرية هو امتداد جبري لانهائي للأعداد النسبية. ^{[ 7 ]}

ليكن E حقلاً امتدادياً لـ K ، وليكن a ∈ E. يُشار عادةً إلى أصغر حقل جزئي من E يحتوي على K و a بالرمز التالي:${\displaystyle K(a).}$إذا كانت a جبرية على K ، فيمكن التعبير عن عناصر K ( a ) على شكل كثيرات حدود في a بمعاملات في K ؛ أي،${\displaystyle K(a)=K[a]}$، أصغر حلقة تحتوي على K و a . في هذه الحالة،${\displaystyle K(a)}$هي امتداد محدود لـ K وجميع عناصرها جبرية على K. على وجه الخصوص،${\displaystyle K(a)}$هو فضاء متجهي K ذو أساس${\displaystyle \{1,a,...,a^{d-1}\}}$حيث d هي درجة متعددة الحدود الدنيا لـ a . ^{[ 8 ]} لا تنطبق هذه الخصائص إذا لم تكن a جبرية. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],}$وكلاهما فضاءات متجهة لا نهائية الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 9 ]}

لا يمتلك الحقل المغلق جبريًا F أي امتدادات جبرية حقيقية، أي لا يمتلك أي امتداد جبري E بحيث يكون F < E. [ ^{10 ] ومن} الأمثلة على ذلك حقل الأعداد المركبة. لكل حقل امتداد جبري مغلق جبريًا (يُسمى إغلاقه الجبري )، ولكن إثبات ذلك يتطلب عمومًا شكلًا من أشكال بديهية الاختيار . ^{[ 11 ]}

يكون الامتداد L / K جبريًا إذا وفقط إذا كان كل جبر جزئي K من L حقلًا .

تتحقق الخصائص الثلاث التالية: ^{[ 12 ]}

1. إذا كان E امتدادًا جبريًا لـ F وكان F امتدادًا جبريًا لـ K فإن E هو امتداد جبري لـ K.
2. إذا كان E و F امتدادين جبريين لـ K في حقل مشترك C ، فإن المركب EF هو امتداد جبري لـ K.
3. إذا كان E امتدادًا جبريًا لـ F وكان E > K > F فإن E هو امتداد جبري لـ K.

يمكن تعميم هذه النتائج النهائية باستخدام الاستقراء المتسامي:

هذه الحقيقة، إلى جانب ليمّة زورن (المطبقة على مجموعة مرتبة جزئياً مختارة بشكل مناسب )، تثبت وجود الإغلاقات الجبرية .

تعمم نظرية النماذج مفهوم الامتداد الجبري ليشمل النظريات المختلفة: يُطلق على تضمين M في N اسم امتداد جبري إذا كان لكل x في N توجد صيغة p ذات معلمات في M ، بحيث تكون p ( x ) صحيحة والمجموعة

${\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}$

هي مجموعة منتهية. يتضح أن تطبيق هذا التعريف على نظرية الحقول يُعطي التعريف المعتاد للامتداد الجبري. يمكن تعريف زمرة غالوا لـ N على M مرة أخرى على أنها زمرة التشاكلات الذاتية ، ويتضح أن معظم نظرية زمر غالوا يمكن تطويرها للحالة العامة.

بالنظر إلى حقل k وحقل K يحتوي على k ، فإن المرء يعرف الإغلاق الجبري النسبي لـ k في K بأنه الحقل الفرعي من K الذي يتكون من جميع عناصر K الجبرية على k ، أي جميع عناصر K التي هي جذر لبعض كثيرات الحدود غير الصفرية ذات المعاملات في k .

• عنصر متكامل
• نظرية لورث
• امتداد غالوا
• ملحق قابل للفصل
• تمديد طبيعي

• فرالي ، جون ب. (2014)، دورة أولى في الجبر التجريدي ، بيرسون، ISBN 978-1-292-02496-7
• الأماكن القريبة : جوباريني، نادية؛ جوباريني، ناديجدا ميخائيلوفنا؛ كيريشينكو، فلاديمير ف. (2004)، الجبر والحلقات والوحدات ، المجلد.  1، سبرينغر، ISBN 1-4020-2690-0
• لانغ، سيرج (1993)، "المجلد 1: التوسعات الجبرية"، الجبر (  الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، ص  223 وما بعدها، ISBN 978-0-201-55540-0، Zbl 0848.13001 
• مالك، د.ب.؛ موردسون، جون ن.؛ سين، م.ك. (1997)، أساسيات الجبر المجرد ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-040035-0
• مكارثي، بول ج. (1991) [طبعة منقحة من الطبعة الثانية، 1976]، التوسعات الجبرية للحقول ، نيويورك: منشورات دوفر، ISBN 0-486-66651-4، Zbl 0768.12001 
• رومان، ستيفن (1995)، نظرية المجال ، GTM 158، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 9780387944081
• روتمان، جوزيف ج. (2002)، الجبر الحديث المتقدم ، برنتيس هول، رقم ISBN 9780130878687