متعددة حدود سوينرتون-داير

في الجبر ، تُعدّ كثيرات حدود سوينرتون-داير عائلة من كثيرات الحدود، قدّمها بيتر سوينرتون-داير ، وتُستخدم كأمثلة على الحالات التي يكون فيها زمن تشغيل خوارزميات تحليل كثيرات الحدود في أسوأ الأحوال. تتميز هذه كثيرات الحدود بخاصية قابليتها للاختزال بتردد كل عدد أولي، بينما تكون غير قابلة للاختزال على الأعداد النسبية. وهي مثال مضاد شائع في نظرية الأعداد .

بالنظر إلى مجموعة منتهية${\displaystyle P}$من الأعداد الأولية ، متعددة حدود سوينرتون-داير المرتبطة بـ${\displaystyle P}$هي كثيرة الحدود: $${\displaystyle f_{P}(x)=\prod \left(x+\sum _{p\in P}(\pm ){\sqrt {p}}\right)}$$ حيث يمتد المنتج على جميع${\displaystyle 2^{|P|}}$خيارات الإشارة في المجموع المحاط. متعددة الحدود${\displaystyle f_{P}(x)}$حاصل على درجة علمية${\displaystyle 2^{|P|}}$ومعاملات عددية صحيحة، تتناوب في الإشارة. إذا${\displaystyle |P|>1}$، ثم${\displaystyle f_{P}(x)}$قابل للاختزال modulo${\displaystyle p}$لجميع الأعداد الأولية${\displaystyle p}$، إلى عوامل خطية وتربيعية، ولكنها غير قابلة للاختزال على${\displaystyle \mathbb {Q} }$مجموعة غالوا​${\displaystyle f_{P}(x)}$يكون${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{|P|}}$.

أولى كثيرات حدود سوينرتون-داير هي: $${\displaystyle f_{\{2\}}(x)=x^{2}-2=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$$$${\displaystyle f_{\{2,3\}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}$$$${\displaystyle f_{\{2,3,5\}}(x)=x^{8}-40x^{6}+352x^{4}-960x^{2}+576.}$$

• فون تسور جاثين، يواكيم؛ غيرهارد ، يورغن (أبريل 2013). جبر الكمبيوتر الحديث (الطبعة الثالثة  ). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 9781107039032.
• فاردي، آي (1991)، الترفيه الحسابي في ماثيماتيكا ، أديسون-ويسلي، ص 225-226 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعددة حدود سوينرتون-داير" . عالم الرياضيات .
• (التسلسل A153731 في OEIS )