مجموعة غالوا

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 124 صور
الموسوعة الحرة
شبكة من المجموعات الفرعية والحقول الفرعية توضح مجموعات غالوا المقابلة لها.
على اليسار، مخطط شبكي للحقول التي توسع الأعداد النسبية؛ وعلى اليمين، مجموعات غالوا المقابلة لها.

في نظرية غالوا ، وهي فرع من الجبر المجرد ، تُعدّ زمرة غالوا لنوع معين من امتدادات الحقول زمرة تناظر تُحدد كيفية امتدادها للحقل الأساسي. كل عنصر من عناصر زمرة غالوا هو تحويل لامتداد الحقل يُبقي كل عنصر من عناصر الحقل الأساسي ثابتًا.

يُتيح هذا الربط بين الحقول والمجموعات، الذي تُحدده النظرية الأساسية لنظرية غالوا ، استخدام أدوات نظرية المجموعات في مسائل نظرية الحقول، مثل وصف حلول كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة . ويُطلق على دراسة امتدادات الحقول وعلاقتها بكثيرات الحدود التي تُنتجها عبر مجموعات غالوا اسم نظرية غالوا ، نسبةً إلى إيفاريست غالوا الذي اكتشفها لأول مرة.

وصف غير رسمي

الحقل هو مجموعة، مثل الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }أو الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }، والتي تُعرَّف عليها العمليات الأربع : الجمع والطرح والضرب والقسمة ، ولها خصائص قياسية معينة . ويمكن توسيع الحقول لتشمل حقولًا أكبر بنفس العمليات، مثل كيفيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يمكن توسيعه ليشملR{\displaystyle \mathbb {R} }وR{\displaystyle \mathbb {R} }ويمكن توسيع ذلك ليشمل الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }قد تنشأ هذه الامتدادات عندما لا يوجد حل لمعادلة معينة ضمن الحقل الأصغر (الحقل الأساسي) ولكن يوجد حل في الامتداد: على سبيل المثال،x2=2{\displaystyle \mathbb {x^{2}=2} }ليس له حل فيسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }لكنها تحتوي على حلين في امتدادهاR{\displaystyle \mathbb {R} }.

يمكن تبسيط مشكلة تحديد وتصنيف امتدادات حقل ما باستخدام نظرية الزمر. يُضيف كل امتداد للحقل بنيةً إضافيةً "غير مرئية" إلى الحقل الأساسي، وتصف زمرة غالوا هذه البنية. ويتم ذلك من خلال النظر في التحويلات التي تُغير الامتداد دون تغيير الحقل الأساسي. على سبيل المثال، تحويل الاقتران المركب ، الذي يُسقطأ+بأنا↦أ-بأنا{\displaystyle a+bi\mapsto a-bi}تُبقي هذه المجموعة جميع الأعداد الحقيقية ثابتة، ولكنها عمومًا لا تُبقي الأعداد المركبة ثابتة. تُعرف هذه المجموعة باسم "مجموعة غالوا".ج{\displaystyle \mathbb {C} }زيادةR{\displaystyle \mathbb {R} }، مكتوبةغال(ج/R){\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbb {C} /\mathbb {R} )}، هي المجموعة الدورية من الرتبة 2 (أو ما يعادلها، الأعداد الصحيحة modulo 2 )، مع عنصرها الوحيد غير المحايد الذي يمثل هذا التحويل للاقتران المركب.

تعريف

لنفترض أنهـ{\displaystyle E}هو امتداد للمجالF{\displaystyle F}(مكتوب على النحو التالي)هـ/F{\displaystyle E/F}واقرأ " E فوق F " . وهو تماثل ذاتي لـهـ/F{\displaystyle E/F}يُعرَّف بأنه تشاكل ذاتي لـهـ{\displaystyle E}هذا يُصلحF{\displaystyle F}من حيث النقاط. بعبارة أخرى، تماثل ذاتي لـهـ/F{\displaystyle E/F}هو تماثلα:هـ→هـ{\displaystyle \alpha :E\to E}بحيثα(x)=x{\displaystyle \alpha (x)=x}لكلx∈F{\displaystyle x\in F}مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لـهـ/F{\displaystyle E/F}تُشكّل هذه المجموعة زمرةً باستخدام عملية تركيب الدوال . ويُرمز لهذه الزمرة أحيانًا بالرمز التالي:مؤلف⁡(هـ/F).{\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}

لوهـ/F{\displaystyle E/F}إذا كان امتدادًا لغالوا ،مؤلف⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}تُسمى مجموعة غالواهـ/F{\displaystyle E/F}ويُشار إليه عادةً بـغال⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}[ 1 ]​

لوهـ/F{\displaystyle E/F}إذا لم يكن امتدادًا لغالوا، فإن مجموعة غالوا منهـ/F{\displaystyle E/F}يُعرَّف أحيانًا بأنهمؤلف⁡(ك/F){\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}، أينك{\displaystyle K}هل إغلاق غالواهـ{\displaystyle E}.

مجموعة غالوا لكثير الحدود

يُستمد تعريف آخر لمجموعة غالوا من مجموعة غالوا لكثير الحدود غير القابل للاختزالو∈F[x]{\displaystyle f\in F[x]}إذا كان هناك حقلك/F{\displaystyle K/F}بحيثو{\displaystyle f}العوامل كحاصل ضرب كثيرات حدود خطية متميزة

و(x)=(x-α1)⋯(x-αك)∈ك[x]{\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}

في الملعبك{\displaystyle K}ثم مجموعة غالوا لكثير الحدودو{\displaystyle f}تُعرَّف بأنها مجموعة غالوا منك/F{\displaystyle K/F}أينك{\displaystyle K}وهو ضئيل مقارنةً بجميع هذه المجالات.

بنية مجموعات غالوا

النظرية الأساسية لنظرية غالوا

إحدى أهم نظريات البنية في نظرية غالوا مستمدة من النظرية الأساسية لنظرية غالوا . وتنص هذه النظرية على أنه بالنظر إلى امتداد غالوا محدود،ك/ك{\displaystyle K/k}يوجد تقابل بين مجموعة الحقول الفرعيةك⊂هـ⊂ك{\displaystyle k\subset E\subset K}والمجموعات الفرعيةح⊂جي.{\displaystyle H\subset G.}ثم،هـ{\displaystyle E}يتم تحديدها بواسطة مجموعة الثوابت لـك{\displaystyle K}تحت إشرافح{\displaystyle H}، لذا

هـ=كح={أ∈ك:∀ز∈ح، زأ=أ}{\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:\forall g\in H,\ ga=a\}}

علاوة على ذلك، إذاح{\displaystyle H}إذا كانت مجموعة فرعية طبيعيةجي/ح≅غال⁡(هـ/ك){\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}وعلى العكس من ذلك، إذاهـ/ك{\displaystyle E/k}إذا كان امتدادًا طبيعيًا للحقل ، فإن المجموعة الفرعية المرتبطة به فيغال⁡(ك/ك){\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}هي مجموعة طبيعية.

بنية الشبكة

يفترضك1،ك2{\displaystyle K_{1},K_{2}}هي امتدادات غالوا لـك{\displaystyle k}مع مجموعات غالواجي1،جي2.{\displaystyle G_{1},G_{2}.}المجالك1ك2{\displaystyle K_{1}K_{2}}مع مجموعة غالواجي=غال⁡(ك1ك2/ك){\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}يتلقى حقنةجي→جي1×جي2{\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}وهو تماثل كلماك1∩ك2=ك{\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}[ 2 ]​

التنصيب

وكنتيجة لذلك، يمكن استقراء هذا الأمر عددًا محدودًا من المرات. بالنظر إلى امتدادات غالواك1،...،كن/ك{\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}أينكأنا+1∩(ك1⋯كأنا)=ك،{\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}ثم يوجد تماثل بين مجموعات غالوا المقابلة:

غال⁡(ك1⋯كن/ك)≅غال⁡(ك1/ك)×⋯×غال⁡(كن/ك).{\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).}

أمثلة

في الأمثلة التاليةF{\displaystyle F}هو حقل، وج،R،سؤال{\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }تمثل هذه الحقول الأعداد المركبة والحقيقية والنسبية على التوالي. ويشير الرمز F ( a ) إلى امتداد الحقل الناتج عن إضافة العنصر a إلى الحقل F.

الأدوات الحسابية

عدد عناصر مجموعة غالوا ودرجة امتداد الحقل

إحدى الافتراضات الأساسية اللازمة لتحديد مجموعة غالوا [ 3 ] لامتداد حقل منتهٍ بشكل كامل هي التالية: بالنظر إلى متعددة حدودو(x)∈F[x]{\displaystyle f(x)\in F[x]}، يتركهـ/F{\displaystyle E/F}ليكن امتداد حقل الانقسام الخاص به. عندئذٍ، تكون رتبة زمرة غالوا مساوية لدرجة امتداد الحقل؛ أي،

|غال⁡(هـ/F)|=[هـ:F]{\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}

معيار أيزنشتاين

تُعد معيار أيزنشتاين أداةً مفيدةً لتحديد زمرة غالوا لكثير الحدود . إذا كان كثير الحدودو∈F[x]{\displaystyle f\in F[x]}العوامل إلى كثيرات الحدود غير القابلة للاختزالو=و1⋯وك{\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}مجموعة غالواو{\displaystyle f}يمكن تحديدها باستخدام مجموعات غالوا لكل منهاوأنا{\displaystyle f_{i}}منذ مجموعة غالواو{\displaystyle f}يحتوي على كل مجموعة من مجموعات غالواوأنا.{\displaystyle f_{i}.}

المجموعة التافهة

غال⁡(F/F){\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}هي المجموعة التافهة التي تحتوي على عنصر واحد، وهو التشاكل الذاتي المحايد.

مثال آخر على مجموعة غالوا التي تُعتبر تافهة هومؤلف⁡(R/سؤال).{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}في الواقع، يمكن إثبات أن أي تشاكل ذاتي لـR{\displaystyle \mathbb {R} }يجب أن يحافظ على ترتيب الأعداد الحقيقية، وبالتالي يجب أن يكون هو العنصر المحايد.

ضع في اعتبارك المجالك=سؤال(23).{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}المجموعةمؤلف⁡(ك/سؤال){\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}يحتوي فقط على التشاكل الذاتي المحايد. وذلك لأنك{\displaystyle K}لا يُعدّ امتدادًا عاديًا ، لأن الجذرين التكعيبيين الآخرين لـ2{\displaystyle 2}،

خبرة(23πأنا)23،خبرة(43πأنا)23،{\displaystyle {\exp }{\bigl (}{\tfrac {2}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {4}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},}

مفقودة من الامتداد - بمعنى آخر، K ليس حقل تقسيم .

الزمر الأبيلية المنتهية

مجموعة غالواغال⁡(ج/R){\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}يحتوي على عنصرين، وهما التشاكل الذاتي المحايد والتشاكل الذاتي للاقتران المركب . [ 4 ]

الامتدادات التربيعية

امتداد المجال من الدرجة الثانيةسؤال(2)/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }تمتلك مجموعة غالواغال⁡(سؤال(2)/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}بعنصرين، وهما التماثل الذاتي والتماثل الذاتيσ{\displaystyle \sigma }أي البورصات2{\displaystyle {\sqrt {2}}}و-2{\displaystyle -{\sqrt {2}}}هذا المثال قابل للتعميم بالنسبة للأعداد الأوليةص∈شمال.{\displaystyle p\in \mathbb {N} .}

ناتج امتدادات تربيعية

باستخدام بنية الشبكة لمجموعات غالوا، للأعداد الأولية المختلفةص1،...،صك{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}مجموعة غالواسؤال(ص1،...،صك)/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }يكون

غال⁡(سؤال(ص1،...،صك)/سؤال)≅غال⁡(سؤال(ص1)/سؤال)×⋯×غال⁡(سؤال(صك)/سؤال)≅(Z/2Z)ك{\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}

امتدادات سيكلوتومية

هناك فئة أخرى مفيدة من الأمثلة تأتي من حقول التفكيك لكثيرات الحدود الدائرية . هذه كثيرات حدودΦن{\displaystyle \Phi _{n}}يُعرَّف بأنه

Φن(x)=∏1≤ك≤نالقاسم المشترك الأكبر(ك،ن)=1(x-هـ2أناكπ/ن){\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{2ik\pi /n}\right)}

درجته العلمية هيϕ(ن){\displaystyle \phi (n)}دالة أويلر عندن{\displaystyle n}ثم، مجال التقسيم فوقسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكونسؤال(ζن){\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}وله تماثلات ذاتيةσأ{\displaystyle \sigma _{a}}إرسالζن↦ζنأ{\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}ل1≤أ<ن{\displaystyle 1\leq a<n}ممتاز نسبياً إلىن{\displaystyle n}بما أن درجة الحقل تساوي درجة متعددة الحدود، فإن هذه التشاكلات الذاتية تولد زمرة غالوا. [ 5 ] إذان=ص1أ1⋯صكأك،{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}ثم

غال⁡(سؤال(ζن)/سؤال)≅∏أأناغال⁡(سؤال(ζصأناأأنا)/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}

لون{\displaystyle n}هو رئيس الوزراءص{\displaystyle p}ومن النتائج المترتبة على ذلك ما يلي:

غال⁡(سؤال(ζص)/سؤال)≅Z/(ص-1)Z{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }

في الواقع، يمكن إيجاد أي مجموعة أبيلية منتهية كمجموعة غالوا لبعض الحقول الفرعية لامتداد حقل دائري بواسطة نظرية كرونكر-ويبر .

الحقول المنتهية

تأتي فئة أخرى مفيدة من أمثلة زمر غالوا ذات الزمر الأبيلية المنتهية من الحقول المنتهية. إذا كان q قوة عدد أولي ، وإذاF=Fq{\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}وهـ=Fqن{\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}تشير إلى حقول غالوا من الرتبةq{\displaystyle q}وqن{\displaystyle q^{n}}على التوالي، ثمغال⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}هي دورية من الرتبة n ومولدة بواسطة تشاكل فروبينيوس .

أمثلة من الدرجة الرابعة

امتداد الحقلسؤال(2،3 )/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}{\big /}\mathbb {Q} }يُعد مثالاً على الدرجة العلمية4{\displaystyle 4}امتداد الحقل. [ 6 ] يحتوي هذا على تماثلين ذاتيينσ،τ{\displaystyle \sigma ,\tau }أينσ(2 )=-2{\displaystyle \sigma {\bigl (}{\sqrt {2}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {2}}}وτ(3 )=-3.{\displaystyle \tau {\bigl (}{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {3}}.}بما أن هذين المولدين يحددان مجموعة من الرتبة4{\displaystyle 4}[ 3 ]​​​

يُعطى مثال آخر من مجال التقسيمهـ/سؤال{\displaystyle E/\mathbb {Q} }من متعدد الحدود

و(x)=x4+x3+x2+x+1{\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}

ملاحظة لأن(x-1)و(x)=x5-1،{\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}جذورو(x){\displaystyle f(x)}نكونخبرة⁡(25كπأنا).{\displaystyle \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}k\pi i{\bigr )}.}توجد عمليات تحويل ذاتي

{σℓ:هـ→هـσ2:خبرة⁡(25πأنا)↦خبرة⁡(25πأنا)ℓ{\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{\ell }:E\to E\\\sigma _{2}:\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}\mapsto \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}^{\ell }\end{cases}}}

توليد مجموعة من الرتب4{\displaystyle 4}. منذσ2{\displaystyle \sigma _{2}}تُولّد هذه المجموعة، وتكون مجموعة غالوا متماثلة معZ/4Z{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }.

المجموعات غير الأبيلية المنتهية

فكر الآنل=سؤال(23،ω)،{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}أينω{\displaystyle \omega }هو جذر تكعيبي أولي للوحدة . المجموعةغال⁡(ل/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}متماثل مع S3 ، المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 6 ، و L هو في الواقع حقل الانقسام لـx3-2{\displaystyle x^{3}-2}زيادةسؤال.{\displaystyle \mathbb {Q} .}

مجموعة الكواتيرنيون

يمكن إيجاد مجموعة الكواتيرنيون كمجموعة غالوا لامتداد حقل منسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }على سبيل المثال، امتداد الحقل

سؤال(2،3،(2+2)(3+3)){\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}

يحتوي على مجموعة غالوا الموصوفة. [ 7 ]

مجموعة متناظرة من الرتبة الأولية

لوو{\displaystyle f}هو متعدد حدود غير قابل للاختزال من الدرجة الأوليةص{\displaystyle p}إذا كانت المعاملات نسبية ولها جذرين غير حقيقيين فقط، فإن زمرة غالوا لـو{\displaystyle f}هي المجموعة المتناظرة الكاملةSص.{\displaystyle S_{p}.}[ 2 ]

على سبيل المثال،و(x)=x5-4x+2∈سؤال[x]{\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}لا يمكن اختزالها من معيار أيزنشتاين. رسم بياني لـو{\displaystyle f}باستخدام برامج الرسم البياني أو الورق، يتضح أن لها ثلاثة جذور حقيقية، وبالتالي جذرين مركبين، مما يدل على أن زمرة غالوا الخاصة بها هيS5{\displaystyle S_{5}}.

مقارنة مجموعات غالوا لامتدادات الحقول العالمية

بافتراض امتداد حقل عالميك/ك{\displaystyle K/k}(مثلسؤال(35،ζ5)/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }) وفئات التكافؤ للتقييمات w{\displaystyle w}علىك{\displaystyle K}(مثلص{\displaystyle p}التقييم -adic ) وv{\displaystyle v}علىك{\displaystyle k}بحيث تُعطي عمليات إكمالها امتدادًا لحقل غالوا

كw/كv{\displaystyle K_{w}/k_{v}}

في الحقول المحلية ، يوجد تأثير مستحث لمجموعة غالواجي=غال⁡(ك/ك){\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}على مجموعة فئات التكافؤ للتقييمات بحيث تكون عمليات إكمال الحقول متوافقة. هذا يعني إذاs∈جي{\displaystyle s\in G}ثم يحدث تماثل مستحث للحقول المحلية

sw:كw→كsw{\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}

بما أننا قد افترضنا أنw{\displaystyle w}تقع فوقv{\displaystyle v}(أي أن هناك امتدادًا لحقل غالوا)كw/كv{\displaystyle K_{w}/k_{v}}), تشاكل الحقلsw{\displaystyle s_{w}}هو في الواقع تماثل لـكv{\displaystyle k_{v}}الجبر - إذا أخذنا مجموعة التناظر الجزئية لـجي{\displaystyle G}لفئة التقييمw{\displaystyle w}

جيw={s∈جي:sw=w}{\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}

ثم يوجد إسقاط شامل من زمرة غالوا العالمية إلى زمرة غالوا المحلية بحيث يكون هناك تماثل بين زمرة غالوا المحلية وزمرة التناظر. وهذا يعني، بشكل تخطيطي،

غال⁡(ك/v)↠غال⁡(كw/كv)↓↓جي↠جيw{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}

حيث تمثل الأسهم الرأسية التشاكلات. [ 8 ] وهذا يوفر تقنية لإنشاء مجموعات غالوا للحقول المحلية باستخدام مجموعات غالوا العالمية.

المجموعات اللانهائية

مثال أساسي على امتداد حقل يحتوي على مجموعة لانهائية من التشاكلات الذاتية هومؤلف⁡(ج/سؤال){\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}لأنه يحتوي على كل امتداد للحقل الجبريهـ/سؤال{\displaystyle E/\mathbb {Q} }على سبيل المثال، امتدادات الحقولسؤال(أ)/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }لعنصر خالٍ من المربعاتأ∈سؤال{\displaystyle a\in \mathbb {Q} }لكل منها درجة فريدة2{\displaystyle 2}التماثل الذاتي، مما يؤدي إلى تماثل ذاتي فيمؤلف⁡(ج/سؤال).{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}

تُعد مجموعة غالوا المطلقة واحدة من أكثر فئات مجموعات غالوا اللانهائية دراسة ، وهي مجموعة لانهائية ومحدودة تُعرف بأنها النهاية العكسية لجميع امتدادات غالوا المحدودة.هـ/F{\displaystyle E/F}لحقل ثابت. يُرمز إلى النهاية العكسية بـ

غال⁡(F¯/F):=ليم←هـ/F قابل للفصل المحدود⁡غال⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}،

أينF¯{\displaystyle {\overline {F}}}هو الإغلاق القابل للفصل للحقلF{\displaystyle F}لاحظ أن هذه المجموعة هي مجموعة طوبولوجية . [ 9 ] تتضمن بعض الأمثلة الأساسية ما يلي:غال⁡(سؤال¯/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}و

غال⁡(F¯q/Fq)≅Z^≅∏صZص{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}[ 10 ] [ 11 ]​

مثال آخر سهل الحساب يأتي من امتداد الحقلسؤال(2،3،5،...)/سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }تحتوي على الجذر التربيعي لكل عدد أولي موجب. ولها زمرة غالوا.

غال⁡(سؤال(2،3،5،...)/سؤال)≅∏صZ/2{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}،

والذي يمكن استنتاجه من النهاية المحدودة

⋯→غال⁡(سؤال(2،3،5)/سؤال)→غال⁡(سؤال(2،3)/سؤال)→غال⁡(سؤال(2)/سؤال){\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}

وباستخدام حساب مجموعات غالوا.

ملكيات

تكمن أهمية كون الامتداد من نوع Galois في أنه يطيع النظرية الأساسية لنظرية Galois : المجموعات الفرعية المغلقة (بالنسبة لطوبولوجيا Krull ) لمجموعة Galois تتوافق مع الحقول الوسيطة لامتداد الحقل.

لوهـ/F{\displaystyle E/F}إذا كان امتدادًا لغالوا،غال⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}يمكن إعطاؤها طوبولوجيا ، تسمى طوبولوجيا كرول، والتي تجعلها مجموعة منتهية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يشير بعض المؤلفين إلىمؤلف⁡(هـ/F){\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}باعتبارها مجموعة غالوا للامتدادات العشوائيةهـ/F{\displaystyle E/F}واستخدم الترميز المقابل، على سبيل المثال جاكوبسون 2009 .
  2. 1 2 لانغ، سيرج. الجبر (  الطبعة الثالثة المنقحة). ص  263، 273.
  3. 1 2 "الجبر المجرد" (ملف PDF) . الصفحات 372-377 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 18-12-2011. 
  4. ↑ كوك، روجر ل. (2008)، الجبر الكلاسيكي: طبيعته وأصوله واستخداماته ، جون وايلي وأولاده، ص 138، ISBN  9780470277973.
  5. ↑ دوميت؛ فوت. الجبر المجرد . ص 596، 14.5 امتدادات حلقية. 
  6. ↑ منذسؤال(2،3 )=سؤال⊕سؤال⋅2⊕سؤال⋅3⊕سؤال⋅6{\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}كـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }الفضاء المتجهي.
  7. ↑ ميلن. نظرية المجال . ص 46. 
  8. ↑ "مقارنة مجموعات غالوا العالمية والمحلية لامتداد حقول الأعداد" . موقع تبادل المعلومات الرياضية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2020 .
  9. ↑ "9.22 نظرية غالوا اللانهائية" . مشروع ستاكس .
  10. ↑ ميلن. "نظرية المجال" (ملف PDF) . ص 98. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 27-08-2008. 
  11. ↑ "نظرية غالوا اللانهائية" (ملف PDF) . صفحة 14. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 6 أبريل 2020. 

مراجع