متعددة الحدود غير القابلة للاختزال

في الرياضيات ، تُعرف كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال ، باختصار، بأنها كثيرة حدود لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين . وتعتمد خاصية عدم الاختزال على طبيعة المعاملات المقبولة للعوامل المحتملة، أي الحلقة التي يُفترض أن تنتمي إليها معاملات كثيرة الحدود وعواملها المحتملة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود x² - 2 ^هي كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة ، ولكن بما أن كل عدد صحيح هو أيضًا عدد حقيقي ، فهي أيضًا كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. وتكون غير قابلة للاختزال إذا اعتُبرت كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة، ولكنها تُحلل إلى عوامل حقيقية.${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)}$إذا اعتبرنا متعددة حدود ذات معاملات حقيقية، نقول إن متعددة الحدود x² - 2 غير قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الصحيحة، ولكنها قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الحقيقية ^.

يمكن دراسة عدم اختزال كثيرات الحدود لكثيرات الحدود ذات المعاملات في مجال تكاملي ، وهناك تعريفان شائعان. في أغلب الأحيان، يُقال إن كثيرة الحدود على مجال تكاملي R غير قابلة للاختزال إذا لم تكن حاصل ضرب كثيرتي حدود لهما معاملات في R ، وليستا عنصرين محايدين في R. وبصورة مكافئة، وفقًا لهذا التعريف، فإن كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال هي عنصر غير قابل للاختزال في حلقة كثيرات الحدود على R. إذا كان R حقلًا، فإن تعريفَي عدم الاختزال متكافئان. أما بالنسبة للتعريف الثاني، فإن كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال إذا لم يكن بالإمكان تحليلها إلى كثيرتي حدود بمعاملات في المجال نفسه، وكلاهما من الدرجة الموجبة. وبصورة مكافئة، فإن كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال إذا كانت غير قابلة للاختزال على حقل كسور المجال التكاملي. على سبيل المثال، كثيرة الحدود${\displaystyle 2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]}$لا يمكن اختزالها وفقًا للتعريف الثاني، وليس وفقًا للتعريف الأول. من ناحية أخرى،${\displaystyle x^{2}-2}$غير قابل للاختزال في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$بالنسبة للتعريفين، في حين أنه قابل للاختزال في${\displaystyle \mathbb {R} [x].}$

كثير الحدود غير القابل للاختزال على أي حقل يحتوي على المعاملات هو كثير حدود غير قابل للاختزال المطلق . وبحسب النظرية الأساسية للجبر ، يكون كثير الحدود أحادي المتغير غير قابل للاختزال المطلق إذا وفقط إذا كانت درجته تساوي واحدًا. من جهة أخرى، مع وجود عدة متغيرات غير محددة ، توجد كثيرات حدود غير قابلة للاختزال المطلق من أي درجة، مثل:${\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,}$لأي عدد صحيح موجب n .

يُقال أحيانًا أن كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال هي كثيرة حدود قابلة للاختزال . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تظهر كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال بشكل طبيعي في دراسة تحليل كثيرات الحدود وامتدادات الحقول الجبرية .

من المفيد مقارنة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال بالأعداد الأولية : فالأعداد الأولية (مع الأعداد السالبة المقابلة لها من نفس القيمة المطلقة) هي الأعداد الصحيحة غير القابلة للاختزال . وهي تُظهر العديد من الخصائص العامة لمفهوم "عدم الاختزال" التي تنطبق أيضًا على كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال، مثل التحليل الفريد إلى عوامل أولية أو عوامل غير قابلة للاختزال. عندما تكون حلقة المعاملات حقلًا أو مجال تحليل فريد آخر ، تُسمى كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال أيضًا كثيرة حدود أولية ، لأنها تُولّد مثاليًا أوليًا .

إذا كان F حقلاً، فإن كثير الحدود غير الثابت يكون غير قابل للاختزال على F إذا كانت معاملاته تنتمي إلى F ولا يمكن تحليله إلى حاصل ضرب كثيري حدود غير ثابتين بمعاملات في F.

يُقال أحيانًا إن كثيرة الحدود ذات المعاملات الصحيحة، أو بشكل أعم، ذات المعاملات في مجال تحليل فريد R ، غير قابلة للاختزال (أو غير قابلة للاختزال على R ) إذا كانت عنصرًا غير قابل للاختزال في حلقة كثيرات الحدود ، أي أنها غير قابلة للعكس ، وليست صفرًا، ولا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب كثيرتي حدود غير قابلتين للعكس بمعاملات في R. يُعمم هذا التعريف التعريف المُعطى لحالة المعاملات في حقل، لأنه على حقل ما، فإن كثيرات الحدود غير الثابتة هي تحديدًا كثيرات الحدود غير القابلة للعكس وغير الصفرية.

يُستخدم تعريف آخر شائع، مفاده أن متعددة الحدود غير قابلة للاختزال على R إذا كانت غير قابلة للاختزال على حقل الكسور في R (حقل الأعداد النسبية ، إذا كان R هو حقل الأعداد الصحيحة). هذا التعريف الثاني غير مستخدم في هذه المقالة. وتعتمد تكافؤ التعريفين على R.

توضح كثيرات الحدود الست التالية بعض الخصائص الأساسية لكثيرات الحدود القابلة للاختزال وغير القابلة للاختزال:

$\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}\end{aligned}}}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة ، فإنّ كثيرات الحدود الثلاث الأولى قابلة للاختزال (الثالثة قابلة للاختزال لأنّ العامل 3 غير قابل للعكس في الأعداد الصحيحة)؛ أما الأخيرتان فهما غير قابلتين للاختزال. (والرابعة، بالطبع، ليست كثيرة حدود بالنسبة للأعداد الصحيحة).

بالنسبة للأعداد النسبية ، فإن أول اثنين من كثيرات الحدود والرابعة قابلة للاختزال، لكن كثيرات الحدود الثلاثة الأخرى غير قابلة للاختزال (باعتبارها كثيرة حدود على الأعداد النسبية، فإن 3 هي وحدة ، وبالتالي، لا يتم احتسابها كعامل).

في مجموعة الأعداد الحقيقية ، تكون كثيرات الحدود الخمس الأولى قابلة للاختزال، ولكن${\displaystyle p_{6}(x)}$لا يمكن اختزاله.

في مجموعة الأعداد المركبة ، تكون جميع كثيرات الحدود الست قابلة للاختزال.

في حقل الأعداد المركبة ، وبشكل أعم، في حقل مغلق جبريًا ، تكون كثيرة الحدود أحادية المتغير غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كانت درجتها واحدًا. تُعرف هذه الحقيقة باسم النظرية الأساسية للجبر في حالة الأعداد المركبة، وبشكل عام، باسم شرط الإغلاق الجبري.

ويترتب على ذلك أن كل متعددة حدود أحادية المتغير غير ثابتة يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي:

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

أين${\displaystyle n}$هي الدرجة،${\displaystyle a}$هو المعامل الرئيسي و${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$هي أصفار متعددة الحدود (ليست بالضرورة متميزة، وليس بالضرورة أن يكون لها تعبيرات جبرية صريحة ).

توجد كثيرات حدود متعددة المتغيرات غير قابلة للاختزال من كل درجة على الأعداد المركبة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

والذي يحدد منحنى فيرما ، وهو غير قابل للاختزال لكل قيمة موجبة n .

في حقل الأعداد الحقيقية ، تكون درجة متعددة الحدود أحادية المتغير غير القابلة للاختزال إما واحدًا أو اثنين. وبشكل أدق، فإن متعددات الحدود غير القابلة للاختزال هي متعددات الحدود من الدرجة الأولى ومتعددات الحدود التربيعية.${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$التي لها تمييز سلبي${\displaystyle b^{2}-4ac.}$ويترتب على ذلك أن كل متعددة حدود أحادية المتغير غير ثابتة يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب متعددات حدود من الدرجة الثانية على الأكثر. على سبيل المثال،${\displaystyle x^{4}+1}$عوامل على الأعداد الحقيقية كـ${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$ولا يمكن تحليلها إلى عوامل أخرى، لأن كلا العاملين لهما تمييز سلبي:${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

يمكن تحليل كل متعددة حدود على حقل F إلى حاصل ضرب ثابت غير صفري وعدد محدود من متعددات الحدود غير القابلة للاختزال (على F ). هذا التحليل فريد حتى رتبة العوامل وضرب هذه العوامل بثوابت غير صفرية حاصل ضربها يساوي 1.

على مجال تحليل فريد، تصحّ النظرية نفسها، ولكن يُصاغ مفهومها بدقة أكبر باستخدام مفهوم كثير الحدود الأولي. كثير الحدود الأولي هو كثير حدود على مجال تحليل فريد، بحيث يكون 1 قاسمًا مشتركًا أكبر لمعاملاته.

ليكن F مجال تحليل وحيد. كثير الحدود غير الثابت وغير القابل للاختزال على F هو كثير حدود أولي. كثير الحدود الأولي على F غير قابل للاختزال على F إذا وفقط إذا كان غير قابل للاختزال على حقل كسور F. يمكن تحليل كل كثير حدود على F إلى حاصل ضرب ثابت غير صفري وعدد محدود من كثيرات الحدود الأولية غير الثابتة وغير القابلة للاختزال. يمكن تحليل الثابت غير الصفري نفسه إلى حاصل ضرب عنصر من عناصر F وعدد محدود من العناصر غير القابلة للاختزال في F. كلا التحليلين فريدان حتى رتبة العوامل وضرب العوامل في عنصر من عناصر F.

هذه هي النظرية التي تحفز أن تعريف كثير الحدود غير القابل للاختزال على مجال تحليل فريد يفترض غالبًا أن كثير الحدود غير ثابت.

تستخدم جميع الخوارزميات التي يتم تنفيذها حاليًا لتحليل كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة وعلى الأعداد النسبية هذه النتيجة (انظر تحليل كثيرات الحدود ).

عدم قابلية اختزال متعددة الحدود على الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يرتبط ذلك بما يحدث في جميع أنحاء الملعب${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ل${\displaystyle p}$العناصر (لعدد أولي)${\displaystyle p}$). على وجه الخصوص، إذا كانت دالة متعددة الحدود أحادية المتغير f على${\displaystyle \mathbb {Z} }$لا يمكن اختزاله على${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$لبعض الأول${\displaystyle p}$إذا لم يقسم هذا المقدار المعامل الرئيسي لـ f (معامل أعلى قوة للمتغير)، فإن f يكون غير قابل للاختزال على${\displaystyle \mathbb {Z} }$(أي أنه ليس ناتج ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين بمعاملات صحيحة). معيار أيزنشتاين هو شكل مختلف من هذه الخاصية حيث عدم الاختزال على${\displaystyle p^{2}}$وهو مشارك أيضاً.

لكن العكس ليس صحيحًا: توجد كثيرات حدود ذات درجة كبيرة كيفما كانت، وهي غير قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الصحيحة وقابلة للاختزال على كل حقل منتهٍ. ^{[ 3 ]} مثال بسيط على هذه الكثيرة الحدود هو${\displaystyle x^{4}+1.}$

إن العلاقة بين عدم الاختزال على الأعداد الصحيحة وعدم الاختزال modulo p أعمق من النتيجة السابقة: حتى الآن، تستخدم جميع الخوارزميات المنفذة للتحليل وعدم الاختزال على الأعداد الصحيحة وعلى الأعداد النسبية التحليل على الحقول المنتهية كإجراء فرعي .

عدد كثيرات الحدود الأحادية غير القابلة للاختزال من الدرجة n على حقل${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$بالنسبة لـ q، يتم إعطاء قوة أولية بواسطة دالة عد القلادة لمورو : ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle M(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

حيث μ هي دالة موبيوس . بالنسبة لـ q = 2 ، تُستخدم هذه كثيرات الحدود بشكل شائع لتوليد متواليات ثنائية شبه عشوائية .

بمعنى ما، فإن جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الصفرية أو الواحدة تقريبًا غير قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الصحيحة. وبشكل أدق، إذا افترضنا صيغة من فرضية ريمان لدوال زيتا ديديكيند ، فإن احتمال عدم قابلية كثير الحدود ذي المعاملات العشوائية في المجموعة {0، 1} للاختزال على مجموعة الأعداد الصحيحة يؤول إلى الواحد مع ازدياد درجته. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

لا تعني خاصية التحليل الفريد لكثيرات الحدود إمكانية حساب تحليل كثيرة حدود معينة دائمًا. بل قد لا يُثبت عدم اختزال كثيرة الحدود دائمًا بالحساب: فهناك حقول لا يمكن أن توجد عليها خوارزمية لتحديد عدم اختزال كثيرات الحدود العشوائية. ^{[ 8 ]}

تُعرف خوارزميات تحليل كثيرات الحدود وتحديد عدم قابليتها للاختزال، ويتم تطبيقها في أنظمة الجبر الحاسوبي لكثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والحقول المنتهية ، وامتدادات الحقول المولدة نهائيًا لهذه الحقول. وتعتمد جميع هذه الخوارزميات على خوارزميات تحليل كثيرات الحدود على الحقول المنتهية .

ترتبط مفاهيم كثير الحدود غير القابل للاختزال وامتداد الحقل الجبري ارتباطًا وثيقًا، على النحو التالي.

ليكن x عنصرًا من امتداد L لحقل K. يُقال إن هذا العنصر جبري إذا كان جذرًا لكثير حدود غير صفري بمعاملات تنتمي إلى K. من بين كثيرات الحدود التي يكون x جذرًا لها، يوجد واحد فقط أحادي المعامل ومن أدنى درجة، يُسمى كثير الحدود الأدنى لـ x . كثير الحدود الأدنى لعنصر جبري x من L غير قابل للاختزال، وهو كثير الحدود الأحادي الوحيد غير القابل للاختزال الذي يكون x جذرًا له. يقسم كثير الحدود الأدنى لـ x كل كثير حدود يكون x جذرًا له (وهذه هي نظرية أبيل لعدم الاختزال ).

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle P(X)\in K[X]}$ليكن متعدد الحدود أحادي المتغير على حقل K ،${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$لتكن حلقة القسمة لحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle K[X]}$بواسطة المثالي المُوَلَّد بواسطة P. إذن، L حقل إذا وفقط إذا كان P غير قابل للاختزال على K. في هذه الحالة، إذا كانت x هي صورة X في L ، فإن متعددة الحدود الدنيا لـ x هي خارج قسمة P على معاملها الرئيسي .

ومن الأمثلة على ما سبق التعريف القياسي للأعداد المركبة على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

إذا كان لكثير الحدود P عامل غير قابل للاختزال Q على K ، من درجة أكبر من واحد، فيمكن تطبيق عملية بناء الامتداد الجبري السابقة على Q ، للحصول على امتداد يكون فيه لـ P جذر واحد على الأقل أكثر مما هو عليه في K. بتكرار هذه العملية، نحصل في النهاية على حقل تتحلل فيه P إلى عوامل خطية. يُسمى هذا الحقل، الفريد حتى تماثل الحقول ، حقل التفكيك لـ P.

إذا كانت R مجالًا تكامليًا ، يُسمى العنصر f من R الذي ليس صفرًا ولا عنصرًا محايدًا غير قابل للاختزال إذا لم يكن هناك عنصران غير محايدين g و h بحيث f = gh . يمكن إثبات أن كل عنصر أولي غير قابل للاختزال؛ ^{[ 9 ]} والعكس ليس صحيحًا بشكل عام، ولكنه صحيح في مجالات التحليل الفريد . حلقة كثيرات الحدود F [ x ] على حقل F (أو أي مجال تحليل فريد) هي أيضًا مجال تحليل فريد. استقرائيًا، هذا يعني أن حلقة كثيرات الحدود في n متغيرات (على حلقة R ) هي مجال تحليل فريد إذا كان الأمر نفسه صحيحًا بالنسبة لـ R.

• معضلة جاوس (متعددة الحدود)
• نظرية الجذر النسبي ، وهي طريقة لتحديد ما إذا كان لكثير الحدود عامل خطي بمعاملات نسبية
• معيار أيزنشتاين
• معيار بيرون لعدم الاختزال
• نظرية هيلبرت لعدم الاختزال
• معيار عدم الاختزال لكوهن
• المكون غير القابل للاختزال للفضاء الطوبولوجي
• تحليل كثيرات الحدود على الحقول المنتهية
• الدالة الرباعية §  الدوال الرباعية القابلة للاختزال
• الدالة التكعيبية §  التحليل إلى عوامل
• Casus irreducibilis ، المعادلة التكعيبية غير القابلة للاختزال ذات الجذور الحقيقية الثلاثة
• المعادلة التربيعية §  التحليل إلى عوامل تربيعية

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ يغطي هذا الكتاب الكلاسيكي معظم محتوى هذه المقالة.
• غاليان، جوزيف (2012)، الجبر المجرد المعاصر (  الطبعة الثامنة)، سينجايج ليرنينج، رقم ISBN 978-1285402734
• ليدل، رودولف. Niederreiter، Harald (1997)، الحقول المحدودة (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-39231-0، ص 91 .
• ماك لين، سوندرز ؛ بيركوف، غاريت (1999)، الجبر (  الطبعة الثالثة)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 9780821816462
• مينيز، ألفريد جيه ؛ فان أورشوت، بول سي ؛ فانستون، سكوت أ. (1997)، دليل التشفير التطبيقي ، مطبعة سي آر سي ، رقم ISBN 978-0-8493-8523-0، ص 154 .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد الحدود غير القابل للاختزال" . عالم الرياضيات .
• كثير الحدود غير القابل للاختزال في PlanetMath .
• معلومات عن كثيرات الحدود الأولية وغير القابلة للاختزال ، خادم الكائنات (التوافقي).