هوية وينشتاين-أرونزاين

في الرياضيات ، تنص متطابقة وينشتاين-أرونزاجن على أنه إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت المصفوفتان بحجم m × n و n × m على التوالي (إحداهما أو كلتاهما قد تكون لانهائية)، فإن${\displaystyle AB}$(وبالتالي، أيضاً)${\displaystyle BA}$) من فئة التتبع ،

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

أين${\displaystyle I_{k}}$هي مصفوفة الوحدة من الرتبة k × k .

ترتبط هذه المسألة ارتباطًا وثيقًا بنظرية محدد المصفوفة وتعميمها. وهي نظير محدد متطابقة وودبري للمصفوفات بالنسبة لمعكوسات المصفوفات .

يمكن إثبات المتطابقة على النحو التالي. ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle M}$لتكن مصفوفة تتكون من أربعة كتل${\displaystyle I_{m}}$،${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$و${\displaystyle I_{n}}$:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

بما أن المصفوفة I _{_m} قابلة للعكس ، فإن صيغة محدد مصفوفة الكتلة تعطي

${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}A)=\det(I_{n}-BA).}$

بما أن _{المصفوفة In} قابلة للعكس، فإن صيغة محدد مصفوفة الكتلة تعطي

${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-AI_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}-AB).}$

هكذا

${\displaystyle \det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB).}$

الاستبدال${\displaystyle -A}$ل${\displaystyle A}$ثم يحدد هوية وينشتاين-أرونزاين.

يترك${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$يمكن استخدام هذه المتطابقة لإظهار العبارة الأكثر عمومية التي

${\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{mn}\det(BA-\lambda I_{n}).}$

ويترتب على ذلك أن القيم الذاتية غير الصفرية لـ${\displaystyle AB}$و${\displaystyle BA}$هما متماثلان.

تُعد هذه الهوية مفيدة في تطوير مقدر بايز للتوزيعات الغاوسية متعددة المتغيرات .

تجد هذه المتطابقة أيضاً تطبيقات في نظرية المصفوفات العشوائية من خلال ربط محددات المصفوفات الكبيرة بمحددات المصفوفات الأصغر. ^{[ 2 ]}