مصفوفة كتلية

يمكن تقسيم المصفوفة بعدة طرق. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، المصفوفة${\displaystyle A}$يُقال إنها مقسمة حسب الأعمدة إذا كُتبت على النحو التالي:

$${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n}),}$$

أين${\displaystyle a_{j}}$هو${\displaystyle j}$العمود رقم 1 من${\displaystyle A}$[ ^{9 ]} يمكن أيضًا تقسيم المصفوفة حسب ^الصفوف :

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}},}$$

أين${\displaystyle a_{i}^{T}}$هو${\displaystyle i}$الصف رقم - من${\displaystyle A}$[ ^{9 ]​}

في كثير من الأحيان، ^{[ 9 ]} نصادف التقسيم 2×2

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}},}$$

وخاصة في الشكل الذي${\displaystyle A_{11}}$هو قيمة عددية: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}.}$$

يترك

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$$

أين${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$( هذه المصفوفة)${\displaystyle A}$سيتم إعادة استخدامها في ^قسمي الجمع  والضرب . ⁾ ثم يكون منقولها [  ^{9 ]} [ ^{10 ]}

$${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}},}$$

وينطبق الأمر نفسه مع استبدال المنقول بالمنقل المرافق. ^{[ 9 ]}

يترك

$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}},}$$

أين${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ودع${\displaystyle A}$لتكن المصفوفة المعرفة في §  النقل . (هذه المصفوفة${\displaystyle B}$سيتم إعادة استخدامها في قسم  الضرب . ثم إذا${\displaystyle p=r}$،${\displaystyle q=s}$،${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$، و${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$ثم ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}.}$$

من الممكن استخدام ضرب المصفوفات المجزأة إلى كتل، والذي يتضمن فقط عمليات جبرية على المصفوفات الفرعية للعوامل. ومع ذلك، فإن تقسيم العوامل ليس عشوائيًا، ويتطلب " تقسيمات متوافقة " ^{[ 12 ]} بين مصفوفتين.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بحيث يتم تعريف جميع نواتج المصفوفات الفرعية التي سيتم استخدامها. ^{[ 13 ]}

مصفوفتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يقال إنها مقسمة بشكل متطابق للمنتج${\displaystyle AB}$، متى${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم تقسيمها إلى مصفوفات فرعية، وإذا كان الضرب${\displaystyle AB}$يتم تنفيذ ذلك بمعاملة المصفوفات الفرعية كما لو كانت كميات قياسية، ولكن مع الحفاظ على الترتيب، وعندما يتم تعريف جميع نواتج ومجموعات المصفوفات الفرعية المعنية.

يترك${\displaystyle A}$لتكن المصفوفة المعرفة في §  نقل ، ولتكن${\displaystyle B}$لتكن المصفوفة المعرفة في §  الجمع . عندئذٍ يكون حاصل ضرب المصفوفات

$${\displaystyle C=AB}$$

يمكن تنفيذ ذلك على مراحل، مما ينتج عنه${\displaystyle C}$كـ${\displaystyle (p\times s)}$المصفوفة. المصفوفات في المصفوفة الناتجة${\displaystyle C}$يتم حسابها عن طريق الضرب: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$$

أو باستخدام ترميز أينشتاين الذي يجمع ضمنيًا على المؤشرات المتكررة:

$${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$$

تصوير${\displaystyle C}$^{لدينا [ 9 ]} كمصفوفة

$${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}.}$$

إذا تم تقسيم مصفوفة إلى أربعة أجزاء، فيمكن عكسها جزءًا جزءًا كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

حيث A و D عبارة عن كتلتين مربعتين بأحجام عشوائية، و B و C متوافقتان معهما للتقسيم. علاوة على ذلك، يجب أن تكون A ومكمل شور لـ A في P : P / A = D − CA ⁻¹ B قابلة للعكس. ^{[ 15 ]}

وبالمثل، عن طريق تبديل الكتل: ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

هنا، يجب أن يكون D ومكمل شور لـ D في P : P / D = A − BD ⁻¹ C قابلين للعكس.

إذا كان كل من A و D قابلين للعكس، فإن:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I\end{bmatrix}}.}$$

بحسب متطابقة وينشتاين-أرونزاين ، تكون إحدى المصفوفتين في المصفوفة القطرية قابلة للعكس تمامًا عندما تكون الأخرى كذلك. كما يُمكّن عكس المصفوفة القطرية من الاستفادة من كفاءة خوارزميات ضرب المصفوفات السريعة ، مما يسمح بإجراء عملية العكس في وقت${\displaystyle O({n^{\omega }})}$ل${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$^{[ 17 ] ، القسم 11، الصفحات 413-414}.

صيغة تحديد قيمة a${\displaystyle 2\times 2}$يستمرّ التطابق المذكور أعلاه، في ظلّ افتراضات إضافية مناسبة، بالنسبة لمصفوفة تتألف من أربع مصفوفات فرعية.${\displaystyle A,B,C,D}$مع${\displaystyle A}$و${\displaystyle D}$المربع. أسهل صيغة من هذا القبيل، والتي يمكن إثباتها باستخدام صيغة لايبنيز أو التحليل الذي يتضمن مكمل شور ، هي ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$$

باستخدام هذه الصيغة، يمكننا استنتاج أن كثيرات الحدود المميزة لـ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$و${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$هي نفسها وتساوي حاصل ضرب كثيرات الحدود المميزة لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle D}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$أو${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$إذا كانت قابلة للتقطير ، فإن${\displaystyle A}$و${\displaystyle D}$يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية أيضًا. والعكس غير صحيح؛ ما عليك سوى التحقق.${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$.

لو${\displaystyle A}$إذا كان قابلاً للعكس ، فإن المرء لديه ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$$

وإذا${\displaystyle D}$إذا كانت قابلة للعكس، فإن المرء لديه ^{[ 20 ] [ 16 ]}

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$$

إذا كانت الكتل عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الحجم، فإن الصيغ الأخرى تنطبق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$التنقل (أي،${\displaystyle CD=DC}$ثم ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$$ تنطبق عبارات مماثلة عندما${\displaystyle AB=BA}$،${\displaystyle AC=CA}$أو​${\displaystyle BD=DB}$أي إذا${\displaystyle AC=CA}$، ثم $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-CB).}$$ لاحظ التغيير في ترتيب${\displaystyle C}$و${\displaystyle B}$(لدينا${\displaystyle CB}$بدلاً من${\displaystyle BC}$وبالمثل، إذا${\displaystyle BD=DB}$، ثم${\displaystyle AD}$يجب استبدالها بـ${\displaystyle DA}$(أي نحصل)${\displaystyle \det(DA-BC)}$) وإذا${\displaystyle AB=BA}$إذن كان ينبغي علينا أن${\displaystyle \det(DA-CB)}$ملاحظة: بالنسبة للنتيجتين الأخيرتين، يجب عليك استخدام خاصية التبديل للحلقة الأساسية، ولكن ليس بالنسبة للنتيجتين الأوليين.

تم تعميم هذه الصيغة لتشمل المصفوفات المكونة من أكثر من${\displaystyle 2\times 2}$^{[ 22 ]}​

ل${\displaystyle A=D}$و${\displaystyle B=C}$، الصيغة التالية صحيحة (حتى لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(لا تتنقل) ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$$

المصفوفة ثلاثية الأقطار الكتلية هي نوع خاص من المصفوفات الكتلية، وهي تشبه المصفوفة القطرية الكتلية، أي المصفوفة المربعة ، حيث تحتوي على مصفوفات مربعة (كتل) في القطر السفلي والقطر الرئيسي والقطر العلوي، بينما تكون جميع الكتل الأخرى أصفارًا. وهي في الأساس مصفوفة ثلاثية الأقطار، ولكنها تحتوي على مصفوفات فرعية بدلًا من القيم العددية.${\displaystyle A}$له الشكل

$${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{bmatrix}}}$$

أين${\displaystyle {A}_{k}}$،${\displaystyle {B}_{k}}$و${\displaystyle {C}_{k}}$هي مصفوفات فرعية مربعة للقطر السفلي والرئيسي والعلوي على التوالي. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

تُصادف المصفوفات ثلاثية الأقطار الكتلية بكثرة في الحلول العددية للمسائل الهندسية (مثل ديناميكا الموائع الحسابية ). تتوفر طرق عددية مُحسَّنة لتحليل LU ^{[ 29 ]} ، وبالتالي خوارزميات حل فعالة لأنظمة المعادلات التي تحتوي على مصفوفة ثلاثية الأقطار كتلية كمصفوفة معاملات. يمكن أيضًا تطبيق خوارزمية توماس ، المستخدمة لحل أنظمة المعادلات التي تتضمن مصفوفة ثلاثية الأقطار بكفاءة ، باستخدام عمليات المصفوفات على المصفوفات ثلاثية الأقطار الكتلية (انظر أيضًا تحليل LU الكتلي ).

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$تكون مصفوفة مثلثية علوية (أو مثلثية علوية كتلية ^{[ 30 ]} ) إذا كانت هناك أعداد صحيحة موجبة${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$بحيث${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}$و $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ حيث المصفوفة${\displaystyle A_{ij}}$يكون${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$للجميع${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$[ ^{26 ] [ 30 ]} وبالمثل ^،${\displaystyle A}$يكون الجزء السفلي مثلثيًا إذا $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ أين${\displaystyle A_{ij}}$يكون${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$للجميع${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$[ ^{26 ]​}

مصفوفة توبليتز الكتلية هي مصفوفة كتلية خاصة أخرى، تحتوي على كتل تتكرر على طول أقطار المصفوفة، كما هو الحال في مصفوفة توبليتز التي تحتوي على عناصر تتكرر على طول القطر.

مصفوفة${\displaystyle A}$هل يُعتبر توبليتز كتلة ؟${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$للجميع${\displaystyle k-i=l-j}$، إنه،

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}$$

أين${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$[ ^{26 ]​}

مصفوفة${\displaystyle A}$هل كتلة هانكل إذا${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$للجميع${\displaystyle i+j=k+l}$، إنه،

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}$$

أين${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$[ ^{26 ]​}