فئة التتبع

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، يُعرف المؤثر من فئة الأثر بأنه مؤثر خطي يمكن تعريف أثر له ، بحيث يكون هذا الأثر عددًا محدودًا لا يعتمد على الأساس المستخدم لحسابه. يُعمم هذا الأثر لمؤثرات فئة الأثر أثر المصفوفات المدروس في الجبر الخطي . جميع مؤثرات فئة الأثر هي مؤثرات متراصة .

في ميكانيكا الكم ، يتم وصف الحالات الكمومية بواسطة مصفوفات الكثافة ، وهي عبارة عن عوامل معينة من فئة الأثر. [ 1 ]

تُعد عوامل فئة الأثر هي نفسها عوامل النواة بشكل أساسي ، على الرغم من أن العديد من المؤلفين يحتفظون بمصطلح "عامل فئة الأثر" للحالة الخاصة لعوامل النواة على فضاءات هيلبرت ويستخدمون مصطلح "عامل النواة" في فضاءات المتجهات الطوبولوجية الأكثر عمومية (مثل فضاءات باناخ ).

تعريف

يتركح{\displaystyle H}أن يكون فضاء هيلبرت قابلاً للفصل ،{هـك}ك=1∞{\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}أساس متعامد وأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}مؤثر خطي موجب ومحدود علىح{\displaystyle H}أثر​​أ{\displaystyle A}يُرمز إليه بـTr⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}وتم تعريفها على النحو التالي [ 2 ] [ 3 ]

Tr⁡(أ)=∑ك=1∞⟨أهـك،هـك⟩،{\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}

بغض النظر عن اختيار الأساس المتعامد. مؤثر خطي محدود (ليس بالضرورة موجبًا).تي:ح→ح{\displaystyle T:H\rightarrow H} يُطلق عليه اسم فئة التتبع إذا وفقط إذا

Tr⁡(|تي|)<∞،{\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}

أين|تي|:=تي*تي{\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}[ 4 ] يرمز إلى الجذر التربيعي الهيرميتي شبه المحدد الموجب .

يُعرَّف معيار الأثر لمؤثر من فئة الأثر T على النحو التالي:‖تي‖1:=Tr⁡(|تي|).{\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).} يمكن إثبات أن معيار التتبع هو معيار على فضاء جميع عوامل فئة التتبعب1(ح){\displaystyle B_{1}(H)}وذلكب1(ح){\displaystyle B_{1}(H)}، مع معيار الأثر، يصبح فضاء باناخ .

متىح{\displaystyle H}إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فإن كل عامل (موجب) ينتمي إلى فئة الأثر.أ{\displaystyle A}يتطابق هذا التعريف مع تعريف أثر المصفوفة . إذاح{\displaystyle H}إذا كان الأمر معقدًا، فـأ{\displaystyle A}يكون دائماً ذاتي الترافق (أيأ=أ*=|أ|{\displaystyle A=A^{*}=|A|}) مع أن العكس ليس صحيحاً بالضرورة. [ 5 ]

الصيغ المتكافئة

بفرض وجود مؤثر خطي محدودتي:ح→ح{\displaystyle T:H\to H}كل عبارة من العبارات التالية تعادلتي{\displaystyle T}التواجد في فئة التتبع:

  • Tr⁡(|تي|)=∑ك⟨|تي|هـك،هـك⟩{\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }محدود لكل أساس متعامد(هـك)ك{\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}من H. [ 2 ]​
  • T هو مشغل نووي . [ 6 ] [ 7 ]
    توجد متتابعتان متعامدتان(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}و(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيح{\displaystyle H}والأعداد الحقيقية الموجبة(λأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيℓ1{\displaystyle \ell ^{1}}بحيث∑أنا=1∞λأنا<∞{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }و
    x↦تي(x)=∑أنا=1∞λأنا⟨x،xأنا⟩yأنا،∀x∈ح،{\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}
    أين(λأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي القيم المفردة لـ T (أو، بشكل مكافئ، القيم الذاتية لـ|تي|{\displaystyle |T|})، مع تكرار كل قيمة بعدد مرات تكرارها. [ 8 ]
  • T هو عامل تشغيل مضغوط معTr⁡(|تي|)<∞.{\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}
    إذا كانت T فئة التتبع، فإن [ 9 ]
    ‖تي‖1=رشفة{|Tr⁡(جتي)|:‖ج‖≤1 و ج:ح→ح هو مشغل صغير الحجم }.{\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ و }}C:H\to H{\text{ مؤثر مضغوط }}\right\}.}
  • T هو مؤثر تكاملي . [ 10 ]
  • T يساوي تركيب مؤثرين من مؤثرات هيلبرت-شميدت . [ 11 ]
  • |تي|{\textstyle {\sqrt {|T|}}}هو عامل هيلبرت-شميدت. [ 11 ]

أمثلة

نظرية الطيف

يتركتي{\displaystyle T}ليكن مؤثرًا ذاتيًا مترافقًا محدودًا على فضاء هيلبرت. عندئذٍتي2{\displaystyle T^{2}}تكون فئة التتبع إذا وفقط إذاتي{\displaystyle T}له طيف نقطي نقي مع قيم ذاتية{λأنا(تي)}أنا=1∞{\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}بحيث [ 12 ]

Tr⁡(تي2)=∑أنا=1∞λأنا(تي2)<∞.{\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}

نظرية ميرسر

تُقدّم نظرية ميرسر مثالاً آخر على عامل فئة التتبع. أي، لنفترضك{\displaystyle K}هي نواة متصلة متناظرة موجبة التحديد علىل2([أ،ب]){\displaystyle L^{2}([a,b])}، كما هو مُعرَّف

ك(s،ت)=∑ج=1∞λجهـج(s)هـج(ت){\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}

ثم عامل التكامل المرتبط بهيلبرت-شميدتتيك{\displaystyle T_{K}}هي فئة التتبع، أي

Tr⁡(تيك)=∫أبك(ت،ت)دت=∑أناλأنا.{\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}

المؤثرات ذات الرتبة المحدودة

كل مؤثر ذي رتبة منتهية هو مؤثر من فئة الأثر. علاوة على ذلك، فإن فضاء جميع المؤثرات ذات الرتبة المنتهية هو فضاء جزئي كثيف منب1(ح){\displaystyle B_{1}(H)}(عند تزويدها بمعيار الأثر). [ 9 ]

مع أيx،y∈ح،{\displaystyle x,y\in H,}تعريف المعاملx⊗y:ح→ح{\displaystyle x\otimes y:H\to H}بواسطة(x⊗y)(z):=⟨z،y⟩x.{\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.} ثمx⊗y{\displaystyle x\otimes y}هو مؤثر خطي متصل من الرتبة 1 وبالتالي فهو من فئة الأثر؛ علاوة على ذلك، لأي مؤثر خطي محدود A على H (وإلى H )،Tr⁡(أ(x⊗y))=⟨أx،y⟩.{\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}[ 9 ]

ملكيات

  1. لوأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}إذا كان مؤثرًا ذاتيًا غير سالب ، فإنأ{\displaystyle A}يكون من فئة التتبع إذا وفقط إذاTr⁡أ<∞.{\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}لذلك، فإن المؤثر ذاتي الترافقأ{\displaystyle A}يكون من فئة التتبع إذا وفقط إذا كان الجزء الموجبأ+{\displaystyle A^{+}}والجزء السالبأ-{\displaystyle A^{-}}كلاهما من فئة الأثر. (يتم الحصول على الأجزاء الموجبة والسالبة للمؤثر الذاتي المرافق بواسطة حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المستمر .)
  2. الأثر هو دالة خطية على فضاء المؤثرات من فئة الأثر، أيTr⁡(أأ+بب)=أTr⁡(أ)+بTr⁡(ب).{\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).} الخريطة الثنائية الخطية⟨أ،ب⟩=Tr⁡(أ*ب){\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}هو حاصل ضرب داخلي على فئة الأثر؛ ويُسمى المعيار المقابل معيار هيلبرت-شميدت . وتُسمى عمليات إكمال عوامل فئة الأثر في معيار هيلبرت-شميدت عوامل هيلبرت-شميدت.
  3. Tr:ب1(ح)→ج{\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }دالة خطية موجبة بحيث إذاتي{\displaystyle T}هو عامل من فئة التتبع يحققتي≥0 و Tr⁡تي=0،{\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}ثمتي=0.{\displaystyle T=0.}[ 11 ]
  4. لوتي:ح→ح{\displaystyle T:H\to H}إذا كان من فئة التتبع، فهو كذلكتي*{\displaystyle T^{*}}و‖تي‖1=‖تي*‖1.{\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}[ 11 ]
  5. لوأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}محدود، وتي:ح→ح{\displaystyle T:H\to H}إذا كان من فئة التتبع، فـأتي{\displaystyle AT}وتيأ{\displaystyle TA}وهي أيضًا من فئة التتبع (أي أن فضاء عوامل فئة التتبع على H هو مثالي ثنائي الجانب في جبر العوامل الخطية المحدودة على H )، و [ 11 ] [ 13 ]‖أتي‖1=Tr⁡(|أتي|)≤‖أ‖‖تي‖1،‖تيأ‖1=Tr⁡(|تيأ|)≤‖أ‖‖تي‖1.{\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.} علاوة على ذلك، في ظل نفس الفرضية، [ 11 ]Tr⁡(أتي)=Tr⁡(تيأ){\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}و|Tr⁡(أتي)|≤‖أ‖‖تي‖.{\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.} ويصدق الادعاء الأخير أيضاً في ظل الفرضية الأضعف القائلة بأن A و T هما هيلبرت-شميدت.
  6. لو(هـك)ك{\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}و(وك)ك{\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}هما قاعدتان متعامدتان للمصفوفة H ، وإذا كانت T من فئة الأثر، فإن∑ك|⟨تيهـك،وك⟩|≤‖تي‖1.{\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}[ 9 ]
  7. إذا كانت A من فئة التتبع، فيمكن تعريف محدد فريدهولم لـأنا+أ{\displaystyle I+A}:المحقق(أنا+أ):=∏ن≥1[1+λن(أ)]،{\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}أين{λن(أ)}ن{\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}هو طيفأ.{\displaystyle A.}شرط فئة التتبع علىأ{\displaystyle A}يضمن أن يكون الناتج اللانهائي محدودًا: في الواقع،المحقق(أنا+أ)≤هـ‖أ‖1.{\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.} وهذا يعني أيضاً أنالمحقق(أنا+أ)≠0{\displaystyle \det(I+A)\neq 0}إذا وفقط إذا(أنا+أ){\displaystyle (I+A)}قابلة للعكس.
  8. لوأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}هل هي فئة الأثر لأي أساس متعامد معياري(هـك)ك{\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}لح،{\displaystyle H,}مجموع الحدود الموجبة∑ك|⟨أهـك،هـك⟩|{\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}محدود. [ 11 ]
  9. لوأ=ب*ج{\displaystyle A=B^{*}C}بالنسبة لبعض مشغلي هيلبرت-شميدتب{\displaystyle B}وج{\displaystyle C}ثم لأي متجه عموديهـ∈ح،{\displaystyle e\in H,}|⟨أهـ،هـ⟩|≤12(‖بهـ‖2+‖جهـ‖2){\textstyle |\langle Ae,e\rangle |\leq {\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}يحمل. [ 11 ]

نظرية ليدسكي

يتركأ{\displaystyle A}ليكن عاملًا من فئة التتبع في فضاء هيلبرت قابل للفصلح،{\displaystyle H,}ودع{λن(أ)}ن=1شمال≤∞{\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}لتكن القيم الذاتية لـأ.{\displaystyle A.}لنفترض أنλن(أ){\displaystyle \lambda _{n}(A)}يتم تعدادها مع مراعاة التعددية الجبرية (أي، إذا كانت التعددية الجبرية لـλ{\displaystyle \lambda }يكونك،{\displaystyle k,}ثمλ{\displaystyle \lambda }يتكررك{\displaystyle k}مرات في القائمةλ1(أ)،λ2(أ)،...{\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }تنص نظرية ليدسكي (المسماة على اسم فيكتور بوريسوفيتش ليدسكي ) على أن Tr⁡(أ)=∑ن=1شمالλن(أ){\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}

لاحظ أن المتسلسلة على اليمين تتقارب تقاربًا مطلقًا بسبب متباينة فايل.∑ن=1شمال|λن(أ)|≤∑م=1مsم(أ){\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)} بين القيم الذاتية{λن(أ)}ن=1شمال{\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}والقيم المفردة{sم(أ)}م=1م{\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}المشغل الصغيرأ.{\displaystyle A.}[ 14 ] انظر أيضًانظرية غروتينديك للأثر.

العلاقة بين الفئات الشائعة من المؤثرات

يمكن اعتبار فئات معينة من المؤثرات المحدودة بمثابة نظائر غير تبادلية لفضاءات المتتاليات الكلاسيكية ، مع اعتبار مؤثرات فئة الأثر بمثابة النظائر غير التبادلية لفضاء المتتاليات.ℓ1(شمال).{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}

في الواقع، من الممكن تطبيق نظرية الطيف لإثبات أن كل مؤثر من فئة الأثر الطبيعي على فضاء هيلبرت قابل للفصل يمكن تحقيقه بطريقة معينة كـℓ1{\displaystyle \ell ^{1}}متتالية بالنسبة لاختيار معين لزوج من قواعد هيلبرت. وبالمثل، فإن المؤثرات المحدودة هي نسخ غير تبادلية منℓ∞(شمال)،{\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}المشغلون المدمجون منج0{\displaystyle c_{0}}(المتتاليات المتقاربة إلى 0)، تتوافق معاملات هيلبرت-شميدت معℓ2(شمال)،{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}ومؤثرات الرتبة المحدودة إلىج٠٠{\displaystyle c_{00}}(المتتاليات التي تحتوي على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية). إلى حد ما، تشبه العلاقات بين هذه الفئات من المؤثرات العلاقات بين نظائرها التبادلية.

تذكر أن كل مشغل صغير الحجمتي{\displaystyle T}تأخذ فضاءات هيلبرت الشكل القانوني التالي: توجد قواعد متعامدة.(uأنا)أنا{\displaystyle (u_{i})_{i}}و(vأنا)أنا{\displaystyle (v_{i})_{i}}وتسلسل(αأنا)أنا{\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}من الأعداد غير السالبة معαأنا→0{\displaystyle \alpha _{i}\to 0}بحيث تيx=∑أناαأنا⟨x،vأنا⟩uأنا للجميع x∈ح.{\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.} بجعل التعليقات الاستدلالية المذكورة أعلاه أكثر دقة، لدينا ما يلي:تي{\displaystyle T}تكون السلسلة من نوع trace إذا وفقط إذا∑أناαأنا{\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}متقاربة،تي{\displaystyle T}تكون هيلبرت-شميدت إذا وفقط إذا∑أناαأنا2{\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}متقاربة، وتي{\displaystyle T}تكون المتتالية منتهية الرتبة إذا وفقط إذا كانت(αأنا)أنا{\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}يحتوي على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية. وهذا يسمح بربط هذه الفئات من المؤثرات. العبارات التالية صحيحة، وجميعها عبارات مناسبة عندماح{\displaystyle H}له أبعاد لا نهائية:{ رتبة محدودة }⊆{ فئة التتبع }⊆{ هيلبرت-شميدت }⊆{ صغير الحجم }.{\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}

يتم إعطاء معيار التتبع لمعاملات فئة التتبع‖تي‖1=Tr⁡[(تي*تي)1/2]=∑أناαأنا.{\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}المعيار المقابل للجداء الداخلي لهيلبرت-شميدت هو ‖تي‖2=[Tr⁡(تي*تي)]1/2=(∑أناαأنا2)1/2.{\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}كذلك، فإن معيار المشغل المعتاد هو‖تي‖=رشفةأنا(αأنا).{\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}باستخدام المتباينات الكلاسيكية المتعلقة بالمتتاليات، ‖تي‖≤‖تي‖2≤‖تي‖1{\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}} للمناسبةتي.{\displaystyle T.}

من الواضح أيضًا أن المؤثرات ذات الرتبة المحدودة كثيفة في كل من فئة الأثر وهيلبرت-شميدت في معاييرها الخاصة.

فئة التتبع كثنائية للمؤثرات المدمجة

الفضاء المزدوج لـج0{\displaystyle c_{0}}يكونℓ1(شمال).{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}وبالمثل، لدينا أن ثنائي المؤثرات المدمجة، الذي يُرمز إليه بـك(ح)*،{\displaystyle K(H)^{*},}هي عوامل فئة التتبع، ويرمز لها بـب1.{\displaystyle B_{1}.}إن الحجة التي سنوجزها الآن تُذكّرنا بتلك الخاصة بفضاءات التسلسل المقابلة. ليكنو∈ك(ح)*،{\displaystyle f\in K(H)^{*},}نحددو{\displaystyle f}مع المشغلتيو{\displaystyle T_{f}}محدد بواسطة ⟨تيوx،y⟩=و(Sx،y)،{\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),} أينSx،y{\displaystyle S_{x,y}}هو عامل الرتبة الأولى المعطى بواسطة Sx،y(ح)=⟨ح،y⟩x.{\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}

تنجح هذه العملية لأن المؤثرات ذات الرتبة المحدودة كثيفة المعيار فيك(ح).{\displaystyle K(H).}في حالة أنتيو{\displaystyle T_{f}}هو عامل موجب، لأي أساس متعامدuأنا،{\displaystyle u_{i},}يمتلك المرء ∑أنا⟨تيوuأنا،uأنا⟩=و(أنا)≤‖و‖،{\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,} أينأنا{\displaystyle I}هو عامل الهوية: أنا=∑أنا⟨⋅،uأنا⟩uأنا.{\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}

لكن هذا يعني أنتيو{\displaystyle T_{f}}هي فئة التتبع. إن اللجوء إلى التفكيك القطبي يوسع هذا ليشمل الحالة العامة، حيثتيو{\displaystyle T_{f}}ليس بالضرورة أن تكون إيجابية.

تُظهر حجة التحديد باستخدام عوامل التشغيل ذات الرتبة المحدودة أن‖تيو‖1=‖و‖.{\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}هكذاك(ح)*{\displaystyle K(H)^{*}}متماثل قياسًا معب1.{\displaystyle B_{1}.}

باعتباره ثنائيًا للمؤثرات المحدودة

تذكر أن ثنائيةℓ1(شمال){\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}يكونℓ∞(شمال).{\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}في هذا السياق، ثنائي عوامل فئة التتبعب1{\displaystyle B_{1}}هي المؤثرات المحدودةب(ح).{\displaystyle B(H).}وبشكل أدق، المجموعةب1{\displaystyle B_{1}}هو مثال ذو وجهين فيب(ح).{\displaystyle B(H).}لذلك، بالنظر إلى أي عاملتي∈ب(ح)،{\displaystyle T\in B(H),}يمكننا تعريف دالة خطية متصلةφتي{\displaystyle \varphi _{T}}علىب1{\displaystyle B_{1}}بواسطةφتي(أ)=Tr⁡(أتي).{\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}هذا التوافق بين المؤثرات الخطية المحدودة والعناصرφتي{\displaystyle \varphi _{T}}من الفضاء المزدوج لـب1{\displaystyle B_{1}}هو تماثل متساوي القياس . ويترتب على ذلك أنب(ح){\displaystyle B(H)}هو الفضاء المزدوج لـب1.{\displaystyle B_{1}.}يمكن استخدام هذا لتحديد طوبولوجيا * الضعيفة علىب(ح).{\displaystyle B(H).}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ ميتلشتات 2009 ، ص 389-390.
  2. 1 2 كونواي 2000 ، ص 86.
  3. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 206.
  4. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 196.
  5. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 195.
  6. ↑ تريفز 2006 ، ص 494.
  7. ↑ كونواي 2000 ، ص 89.
  8. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 203-204، 209.
  9. 1 2 3 4 كونواي 1990 ، ص 268.
  10. ^ تريف 2006 ، ص 502-508.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 كونواي 1990 ، ص 267.
  12. ↑ سيمون 2010 ، ص 21.
  13. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 218.
  14. ↑ سيمون، ب. (2005) المثاليات الأثرية وتطبيقاتها ، الطبعة الثانية، الجمعية الرياضية الأمريكية.

فهرس

  • كونواي، جون ب. (2000). دورة في نظرية المؤثرات . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-2065-0.
  • كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 . 
  • ديكسميير، J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . غوتييه فيلارز.
  • ميتلشتات، بيتر (2009). "الحالة المختلطة". موسوعة الفيزياء الكمية . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 389-390 . doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_120 . ISBN  978-3-540-70622-9.
  • ريد، م .؛ سيمون، ب. (1980). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة: المجلد 1: التحليل الوظيفي . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-585050-6.
  • شيفر، هيلموت هـ. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  3. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • سايمون، باري (2010). نظرية سيجو وتفرعاتها: النظرية الطيفية لاضطرابات L² لكثيرات الحدود المتعامدة . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-14704-8.
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .