نموذج التبديل

في نظرية المجموعات الرياضية ، يُعدّ نموذج التبديل نموذجًا لنظرية المجموعات مع الذرات (ZFA) يُبنى باستخدام مجموعة من تبديلات الذرات. أما النموذج المتناظر فهو مشابه، إلا أنه نموذج لنظرية ZF (بدون ذرات) ويُبنى باستخدام مجموعة من تبديلات مجموعة جزئية مرتبة قسرية . ومن تطبيقاته إثبات استقلالية بديهية الاختيار عن البديهيات الأخرى لنظرية ZFA أو ZF. وقد قدّم فرانكل ( 1922 ) نماذج التبديل ، وطوّرها موستوفسكي ( 1938 ) . أما النماذج المتناظرة فقد قدّمها بول كوهين .  

لنفترض أن A هي مجموعة من الذرات، و G هي مجموعة من تباديل A. المرشح الطبيعي لـ G هو مجموعة F من المجموعات الجزئية لـ G بحيث

• G في فا
• تقاطع عنصرين من F ينتمي إلى F
• أي مجموعة جزئية تحتوي على عنصر من F تنتمي إلى F
• أي عنصر مرافق لعنصر من عناصر المجموعة F ينتمي إلى المجموعة F
• المجموعة الجزئية التي تثبت أي عنصر من A تنتمي إلى F.

إذا كان V نموذجًا لـ ZFA حيث A هي مجموعة الذرات، فإن عنصرًا من V يُسمى متناظرًا إذا كانت المجموعة الجزئية التي تثبته تنتمي إلى F ، ويُسمى متناظرًا وراثيًا إذا كان هو وجميع عناصر إغلاقه المتعدي متناظرة. يتكون نموذج التبديل من جميع العناصر المتناظرة وراثيًا، وهو نموذج لـ ZFA.

يمكن إنشاء مرشح على مجموعة من خلال مثال ثابت على الجبر البولياني للمجموعات الجزئية من A التي تحتوي على جميع عناصر A. هنا، المثال هو مجموعة I من المجموعات الجزئية من A مغلقة تحت تأثير الاتحادات والمجموعات الجزئية المنتهية، ويُسمى ثابتًا إذا كان ثابتًا تحت تأثير المجموعة G. لكل عنصر S من المثال، يمكن اختيار المجموعة الجزئية من G التي تتكون من جميع العناصر التي تثبت كل عنصر S. تُولّد هذه المجموعات الجزئية مرشحًا طبيعيًا لـ G.

• Fraenkel، A. (1922)، “Der Begriff “definit” und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms”، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 253– 257، JFM 48.0199.02 
• Mostowski، Andrzej (1938)، “Über den Begriff einer Endlichen Menge”، Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie، Classe III ، 31 ( 8): 13–20