الانقسام الاصطناعي

رسم متحرك يوضح استخدام القسمة التركيبية لإيجاد ناتج قسمة $2x^{4}+3x^{2}+5x+1$ بواسطة $x-2$ لاحظ أنه لا يوجد مصطلح في $x^{3}$ لذا فإن العمود الرابع من اليمين يحتوي على صفر.

{\displaystyle 2x^{4}+3x^{2}+5x+1} — رسم متحرك يوضح استخدام القسمة التركيبية لإيجاد ناتج قسمة $2x^{4}+3x^{2}+5x+1$ بواسطة $x-2$ لاحظ أنه لا يوجد مصطلح في $x^{3}$ لذا فإن العمود الرابع من اليمين يحتوي على صفر.

في الجبر ، القسمة التركيبية هي طريقة لإجراء القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود يدويًا ، مع كتابة أقل وحسابات أقل من القسمة المطولة .

يتم تدريسها في الغالب للقسمة على كثيرات الحدود الخطية أحادية الحد (المعروفة باسم قاعدة روفيني )، ولكن يمكن تعميم الطريقة لتشمل القسمة على أي كثير حدود .

تتميز القسمة التركيبية بأنها تتيح إجراء العمليات الحسابية دون الحاجة إلى كتابة المتغيرات، وتتطلب عددًا أقل من العمليات الحسابية، وتشغل مساحة أقل بكثير على الورق مقارنةً بالقسمة المطولة. كما أن عمليات الطرح في القسمة المطولة تُحوّل إلى عمليات جمع عن طريق تغيير الإشارات في البداية، مما يساعد على تجنب أخطاء الإشارة.

الانقسامات التركيبية المنتظمة

المثال الأول هو القسمة التركيبية بمقام خطي أحادي فقط $xa$ .

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}

يمكن كتابة البسط على النحو التالي $p(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42$ .

صفر المقام $g(x)$ يكون $3$ .

معاملات $p(x)$ يتم ترتيبها على النحو التالي، مع اعتبار الصفر هو $g(x)$ على اليسار:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}

يتم "إسقاط" المعامل الأول بعد الشريط إلى الصف الأخير.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}

يتم ضرب الرقم المحذوف بالرقم الموجود قبل الشريط ووضعه في العمود التالي .

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {grey}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {brown}3&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}

يتم إجراء عملية الجمع في العمود التالي.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&\color {green}3&&\\\hline 1&\color {green}-9&&\\\end{array}}\end{array}}

تُكرر الخطوتان السابقتان، ويتم الحصول على ما يلي:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}

هنا، يمثل الحد الأخير −123 الباقي بينما تمثل الحدود المتبقية معاملات ناتج القسمة.

تُكتب الحدود بدرجات متزايدة من اليمين إلى اليسار بدءًا من الدرجة صفر لكل من الباقي والناتج.

{\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}

وبالتالي فإن ناتج القسمة والباقي هما:

{\begin{aligned}q(x)&=x^{2}-9x-27\\r(x)&=-123\end{aligned}}

لذا:

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}.

تقييم كثيرات الحدود باستخدام نظرية الباقي

يُعدّ الشكل المذكور أعلاه للقسمة التركيبية مفيدًا في سياق نظرية باقي كثيرات الحدود لتقييم كثيرات الحدود أحادية المتغير . باختصار، تكمن قيمة $p(x)$ في $a$ يساوي باقي قسمة $p(x)$ بواسطة $x-a$ .

تكمن ميزة حساب القيمة بهذه الطريقة في أنها تتطلب ما يزيد قليلاً عن نصف عدد خطوات الضرب المطلوبة في التقييم البسيط. وهناك استراتيجية تقييم بديلة تُعرف باسم طريقة هورنر .

الانقسام الاصطناعي الموسع

تُعمَّم هذه الطريقة لتشمل القسمة على أي كثيرة حدود أحادية مع تعديل طفيف فقط، مع مراعاة التغييرات الموضحة بالخط العريض . لاحظ أنه على الرغم من أنه قد لا يظهر في المثال التالي، إلا أنه يجب كتابة المقسوم عليه بمعاملات مفصلة. (مثل: $2x^{3}+0x^{2}-4x+8$ ) باستخدام نفس الخطوات السابقة، قم بإجراء القسمة التالية:

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}

نهتم فقط بالمعاملات. اكتب معاملات كثيرة الحدود المراد قسمتها في الأعلى.

{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\end{array}}

انفي معاملات المقسوم عليه.

{\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}

اكتب كل معامل باستثناء المعامل الأول على اليسار في خط قطري متجه للأعلى واليمين (انظر الرسم التخطيطي التالي).

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}

لاحظ تغيير الإشارة من 1 إلى -1 ومن -3 إلى 3. "احذف" المعامل الأول بعد الخط إلى الصف الأخير.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

اضرب الرقم المسقط في القطر قبل الشريط وضع الإدخالات الناتجة بشكل قطري إلى اليمين من الإدخال المسقط.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

قم بإجراء عملية جمع في العمود التالي.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&-13&&\\\end{array}}\end{array}}

كرر الخطوتين السابقتين حتى تتجاوز المدخلات الموجودة في الأعلى بالقطر التالي .

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}

ثم ببساطة اجمع أي أعمدة متبقية.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}

عدّ الحدود الموجودة على يسار الخط العمودي. بما أن هناك حدين، فإن الباقي من الدرجة الأولى، وهما الحدّان الموجودان في أقصى اليمين أسفل الخط العمودي. ضع علامة على الفصل بخط عمودي .

{\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}

تُكتب الحدود بدرجات متزايدة من اليمين إلى اليسار بدءًا من الدرجة صفر لكل من الباقي والنتيجة.

{\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}

نتيجة قسمتنا هي:

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}

للقواسم غير الأحادية

مع قليل من التحفيز، يمكن تعميم التقنية الموسعة بشكل أكبر لتشمل أي متعدد حدود، وليس فقط متعددات الحدود أحادية الحد . والطريقة المعتادة للقيام بذلك هي قسمة المقسوم عليه $g(x)$ بمعاملها الرئيسي (لنسميه a ):

h(x)={\frac {g(x)}{a}}

ثم باستخدام القسمة التركيبية مع $h(x)$ كقاسم، ثم قسمة الناتج على للحصول على ناتج القسمة الأصلي (يبقى الباقي كما هو). لكن هذا غالبًا ما ينتج عنه كسور غير منتظمة يتم التخلص منها لاحقًا، وبالتالي فهو أكثر عرضة للخطأ. من الممكن القيام بذلك دون اختزال معاملات الكسر أولًا. $g(x)$ .

كما يمكن ملاحظته من خلال إجراء القسمة المطولة أولاً باستخدام قاسم غير أحادي، فإن معاملات $f(x)$ يتم قسمتها على المعامل الرئيسي لـ $g(x)$ بعد "الإسقاط"، وقبل الضرب.

لنوضح ذلك من خلال إجراء القسمة التالية:

{\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}

يتم استخدام جدول معدل قليلاً:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}

لاحظ الصف الإضافي في الأسفل. يُستخدم هذا الصف لكتابة القيم التي تم الحصول عليها بقسمة القيم "المُستبعدة" على المعامل الرئيسي لـ $g(x)$ (في هذه الحالة، يُشار إليه بـ /3 ؛ لاحظ أنه على عكس بقية معاملات $g(x)$ (لا تتغير إشارة هذا الرقم).

ثم، المعامل الأول لـ $f(x)$ يتم إسقاطها كالمعتاد:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}

ثم يتم تقسيم القيمة المحذوفة على 3 ووضعها في الصف أدناه:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}

بعد ذلك، تُستخدم القيمة الجديدة (المقسمة) لملء الصفوف العلوية بمضاعفات العددين 2 و1، كما هو الحال في الأسلوب الموسع:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}

ثم يتم حذف الرقم 5، مع إضافة الرقم 4 الذي يليه بشكل إلزامي، ويتم تقسيم الناتج مرة أخرى:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}

ثم يتم استخدام الرقم 3 لملء الصفوف العلوية:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}

عند هذه النقطة، إذا حاولنا، بعد الحصول على المجموع الثالث، استخدامه لملء الصفوف العلوية، فسنسقط من الجانب الأيمن، وبالتالي فإن المجموع الثالث هو المعامل الأول للباقي، كما هو الحال في القسمة التركيبية العادية. لكن قيم الباقي لا تُقسم على المعامل الرئيسي للمقسوم عليه.

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}

الآن يمكننا قراءة معاملات الناتج. كما هو الحال في القسمة التركيبية الموسعة، فإن القيمتين الأخيرتين (2 هي درجة المقسوم عليه) هما معاملات الباقي، والقيم المتبقية هي معاملات ناتج القسمة:

{\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}

والنتيجة هي

{\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}

قسم التركيبات الموسع المضغوط

مع ذلك، يصبح التنسيق القطري أعلاه أقل كفاءة في استخدام المساحة عندما تتجاوز درجة المقسوم عليه نصف درجة المقسوم. انظر إلى القسمة التالية:

{\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}

من السهل أن نرى أن لدينا حرية كاملة لكتابة كل منتج في أي صف طالما أنه في العمود الصحيح، لذلك يمكن ضغط الخوارزمية بواسطة استراتيجية جشعة ، كما هو موضح في القسمة أدناه:

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}

يصف ما يلي كيفية تنفيذ الخوارزمية؛ تتضمن هذه الخوارزمية خطوات لتقسيم القواسم غير الأحادية:

اكتب معاملات المقسوم على شريط.
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}$
بتجاهل المعامل الأول (الرئيسي) للمقسوم عليه، قم بإبطال إشارة كل معامل وضعه على الجانب الأيسر من الشريط.
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}$
انطلاقًا من عدد المعاملات الموجودة على يسار الشريط، احسب عدد معاملات المقسوم أعلى الشريط، بدءًا من العمود الأيمن. ثم ضع شريطًا رأسيًا إلى يسار ذلك العمود، وكذلك في الصف الذي يليه. يُشير هذا الشريط الرأسي إلى الفصل بين ناتج القسمة والباقي.
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline &&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
قم بإسقاط المعامل الأول للمقسوم أسفل الخط.
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
- اقسم العدد الذي تم حذفه/جمعه سابقًا على المعامل الرئيسي للمقسوم عليه وضعه في الصف السفلي (لا يلزم القيام بذلك إذا كان المعامل الرئيسي هو 1). في هذه الحالة $q_{3}={\dfrac {a_{7}}{b_{4}}}$ ، حيث المؤشر $3=7-4$ تم اختيارها عن طريق طرح دليل المقسوم عليه من المقسوم.
- اضرب العدد المحذوف/المجموع سابقًا (أو العدد المحذوف/المجموع بعد القسمة) في كل معامل من معاملات المقسوم عليه المنفي على اليسار (بدءًا من أقصى اليسار)؛ وتجاوز هذه الخطوة إذا كان العدد المحذوف/المجموع يساوي صفرًا. ضع كل ناتج ضرب في أعلى الأعمدة التالية.
  ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
قم بإجراء عملية جمع عمودية على العمود التالي. في هذه الحالة، $q_{2}'=q_{3}b_{3}+a_{6}$ .
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
كرر الخطوتين السابقتين. توقف عند تنفيذ الخطوتين السابقتين على الرقم الذي يسبق الخط العمودي مباشرةً.
1. يترك $q_{2}={\dfrac {q_{2}'}{b_{4}}}$ .
  ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&&&&&\\q_{3}&q_{2}&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
2. يترك $q_{1}={\dfrac {q_{1}'}{b_{4}}}$ .
  ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
3. يترك $q_{0}={\dfrac {q_{0}'}{b_{4}}}$ .
  ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
قم بإجراء عمليات الجمع المتبقية عمودياً على الأعمدة اللاحقة (مع حساب الباقي).
${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
النتائج السفلية أسفل الخط الأفقي هي معاملات كثيرات الحدود (الناتج والباقي)، حيث تقع معاملات الناتج على يسار الخط العمودي الفاصل، ومعاملات الباقي على يمينه. تُفسَّر هذه المعاملات على أنها ذات درجات متزايدة من اليمين إلى اليسار، بدءًا من الدرجة صفر لكل من الناتج والباقي. ومن ثم، نستنتج من هذه النتائج ما يلي:
${\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}=q_{3}x^{3}+q_{2}x^{2}+q_{1}x+q_{0}+{\dfrac {r_{3}x^{3}+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}$

تطبيق بايثون

تُنفذ الشفرة البرمجية التالية عملية القسمة التركيبية الموسعة في بايثون لكثيرات الحدود أحادية المتغير العشوائية:

def expanded_synthetic_division ( divided , divisor ): """قسمة سريعة لكثيرات الحدود باستخدام القسمة التركيبية الموسعة.  تعمل أيضًا مع كثيرات الحدود غير الأحادية. المقسوم والمقسوم عليه كلاهما كثيرات حدود، وهما هنا مجرد قوائم من المعاملات.  على سبيل المثال: x² + 3x + 5 يُكتب على الصورة [1, 3, 5]  . out = list ( dividend ) # نسخ المقسوم normalizer = divisor [ 0 ] for i in range ( len ( dividend ) - len ( divisor ) + 1 ): # في القسمة العامة لكثيرات الحدود (عندما تكون كثيرات الحدود غير أحادية)، # نحتاج إلى توحيد القسمة بقسمة المعامل على المعامل الأول للمقسوم عليه out [ i ] /= normalizercoef = out [ i ] إذا كان coef != 0 : # لا فائدة من الضرب إذا كان coef يساوي 0 # في القسمة التركيبية، نتجاهل دائمًا المعامل الأول للمقسوم عليه، # لأنه يُستخدم فقط لتطبيع معاملات المقسوم for j in range ( 1 , len ( divisor )): out [ i + j ] + = -divisor [ j ] * coef# يحتوي الناتج على كل من ناتج القسمة والباقي، # الباقي هو حجم المقسوم عليه (الباقي # له بالضرورة نفس درجة المقسوم عليه لأنه # ما لم نتمكن من قسمته على المقسوم)، لذلك نحسب الفهرس # حيث يوجد هذا الفصل، ونعيد ناتج القسمة والباقي. separator = 1 - len ( divisor ) return out [: separator ], out [ separator :] # إرجاع ناتج القسمة والباقي.

انظر أيضاً

مراجع

مراجع عامة

فان، ليانغهو (يونيو 2003). "تعميم للقسمة التركيبية ونظرية عامة لقسمة كثيرات الحدود" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات المتنوعة . 30 (1): 30-37 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 7 سبتمبر 2015.
لي، تشو (يناير 2009). "القسمة المختصرة لكثيرات الحدود" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 40 (1): 44-46 . doi : 10.4169/193113409X469721 (غير نشط في 1 يوليو 2025). JSTOR 27646720. مؤرشف ( ملف PDF) من الأصل في 9 يوليو 2020. {{cite journal}}: صيانة CS1: تم تعطيل DOI اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )

روابط خارجية

غودمان، لين ؛ ستوفر، كريستوفر ووايسشتاين ، إريك دبليو. "القسمة التركيبية" . عالم الرياضيات .
ستوفر، كريستوفر . "قاعدة روفيني" . عالم الرياضيات .

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	24 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗