نظرية حول الدوال الرسمية

في الهندسة الجبرية ، تنص نظرية الدوال الصورية على ما يلي: ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle f:X\to S}$ليكن تشاكلاً صحيحاً للمخططات النويثرية مع حزمة متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على X. ليكن${\displaystyle S_{0}}$ليكن مخططًا فرعيًا مغلقًا من S معرفًا بواسطة${\displaystyle {\mathcal {I}}}$و${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$إتمام الإجراءات الرسمية فيما يتعلق بـ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$و${\displaystyle S_{0}}$ثم لكل${\displaystyle p\geq 0}$الخريطة المتعارف عليها (المتصلة):

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}}$

هو تماثل (طوبولوجي)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-الوحدات، حيث

• المصطلح الأيسر هو$//$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{k+1})}$
• الخريطة الأساسية هي تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق الانتقال إلى النهاية.

تُستخدم هذه النظرية لاستنتاج بعض النظريات المهمة الأخرى: تحليل شتاين، وصيغة من نظرية زاريسكي الرئيسية التي تنص على أن التشاكل الثنائي النسبي الصحيح في صنف طبيعي هو تشاكل. ومن النتائج الأخرى (بالرموز المذكورة أعلاه):

النتيجة : ^{[ 2 ]} لأي${\displaystyle s\in S}$من الناحية الطوبولوجية،

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

حيث يكون الإكمال على اليسار فيما يتعلق بـ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{s}}$.

النتيجة : ^{[ 3 ]} ليكن r بحيث${\displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r}$للجميع${\displaystyle s\in S}$. ثم

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.}$

كورولاي : ^{[ 4 ]} لكل${\displaystyle s\in S}$يوجد جوار مفتوح U لـ s بحيث

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).}$

النتيجة : ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}}$، ثم${\displaystyle f^{-1}(s)}$متصل للجميع${\displaystyle s\in S}$.

تؤدي هذه النظرية أيضًا إلى نظرية وجود غروتينديك ، والتي تعطي تكافؤًا بين فئة الحزم المتماسكة على مخطط وفئة الحزم المتماسكة على إكمالها الرسمي (على وجه الخصوص، فإنها تؤدي إلى قابلية الجبر).

أخيرًا، من الممكن إضعاف الفرضية الواردة في النظرية؛ انظر إليوسي. وفقًا لإلوسي (صفحة ٢٠٤)، فإن البرهان الوارد في EGA III يعود إلى سير. أما البرهان الأصلي (الذي يعود إلى غروتينديك) فلم يُنشر قط.

لنفترض أن الإعداد كما هو موضح في المقدمة. في البرهان، يُستخدم التعريف البديل التالي للخريطة الأساسية.

يترك${\displaystyle i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S}$لنفترض أن هذه هي الخرائط الأساسية. ثم لدينا خريطة تغيير الأساس لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-الوحدات

${\displaystyle i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})}$.

أين${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$يتم تحفيزه بواسطة${\displaystyle f:X\to S}$. منذ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كان متماسكًا، يمكننا تحديد${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$مع${\displaystyle {\widehat {\mathcal {F}}}}$. منذ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$وهي متماسكة أيضاً (لأن f دالة صحيحة)، وبإجراء نفس عملية التحديد، يصبح ما سبق كالتالي:

${\displaystyle (R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}}$.

استخدام${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$أين${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$و${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$، ويحصل المرء أيضًا (بعد الانتقال إلى الحد):

${\displaystyle R^{q}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}\to \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{n}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$كما في السابق. يمكن التحقق من أن تركيب الخريطتين هو نفس الخريطة في المقدمة. (انظر EGA III-1، القسم 4)

• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1961). "Elements de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 11 . دوى : 10.1007/bf02684274 . السيد 0217085 . 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 

• Illusie, Luc . "مواضيع في الهندسة الجبرية" (PDF) .