تحويلات تيتز

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في نظرية الزمر ، تُستخدم تحويلات تيتز لتحويل تمثيل معين لزمرة إلى تمثيل آخر، غالباً ما يكون أبسط، لنفس الزمرة . سُميت هذه التحويلات نسبةً إلى هاينريش تيتز الذي قدمها في ورقة بحثية عام 1908. [ 1 ]

يُعرَّف التمثيل بدلالة المولدات والعلاقات ؛ وبصورة رسمية ، يُعرَّف التمثيل بأنه زوج من مجموعة مولدات مُسماة، ومجموعة من الكلمات في المجموعة الحرة على المولدات التي تُعتبر العلاقات. تتكون تحويلات تيتز من خطوات أولية، كل منها على حدة تُحوِّل التمثيل بشكل واضح إلى تمثيل لمجموعة متماثلة . قد تعمل هذه الخطوات الأولية على المولدات أو العلاقات، وهي أربعة أنواع.

إضافة علاقة

إذا أمكن اشتقاق علاقة من العلاقات الموجودة، فيمكن إضافتها إلى التمثيل دون تغيير المجموعة. ليكن G = 〈x | x³ = 1〉 تمثيلًا منتهيًا للمجموعة الدورية من الرتبة 3. بضرب x³ = 1 في كلا الطرفين في x³ ، نحصل على x⁶ = x³ = 1، وبالتالي فإن x⁶ = 1 مشتقة من x³ = 1. ومن ثم، فإن G = 〈x | x³ = 1, x⁶ = 1〉 هو تمثيل آخر لنفس المجموعة.

إزالة علاقة

إذا أمكن استنتاج علاقة في تمثيل بياني من علاقات أخرى، فيمكن حذفها من التمثيل دون التأثير على المجموعة. في G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉، يمكن استنتاج العلاقة x 6 = 1 من x 3 = 1، لذا يمكن حذفها بأمان. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه إذا حُذفت x 3 = 1 من التمثيل، فإن المجموعة G = 〈x | x 6 = 1 〉 تُعرّف المجموعة الدورية من الرتبة 6، ولا تُعرّف المجموعة نفسها. يجب توخي الحذر لإثبات أن أي علاقات تُحذف هي نتائج للعلاقات الأخرى.

إضافة مولد

بفرض وجود تمثيل بياني، يمكن إضافة مولد جديد يُعبَّر عنه بكلمة في المولدات الأصلية. بالبدء بـ G = 〈x | x 3 = 1 〉 ووضع y = x 2 〉 ، فإن التمثيل البياني الجديد G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 يُعرّف المجموعة نفسها.

إزالة مولد كهربائي

إذا أمكن تكوين علاقة يكون فيها أحد المولدات كلمةً في المولدات الأخرى، فيمكن حذف ذلك المولد. وللقيام بذلك، من الضروري استبدال جميع حالات المولد المحذوف بكلمته المكافئة. يمكن استبدال تمثيل المجموعة الأبيلية الأولية من الرتبة 4، G = 〈 x, y, z | x = yz, y² = 1, z² = 1, x = x - 1〉، بالتمثيل G = 〈y , z | y² = 1, z² = 1 , ( yz ) = ( yz ) - 1〉 عن طريق حذف x .

أمثلة

ليكن G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 تمثيلاً للمجموعة المتناظرة من الدرجة الثالثة. يُمثل المولد x التبديل (1,2,3) ويُمثل y التبديل (2,3). من خلال تحويلات تيتز، يُمكن تحويل هذا التمثيل إلى G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉، حيث يُمثل z التبديل (1,2).

G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉(يبدأ)
G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉القاعدة 3 - أضف المولد z
ز = 〈س ، ص ، ض | س 3 = 1، ص 2 = 1، ( س ص ) 2 = 1، س = زي〉القاعدتان 1 و2 — أضف x = z و y − 1 = zy واحذف z = xy
ز = 〈ذ ، ض | ( ض ) 3 = 1، ص 2 = 1، ض 2 = 1 〉القاعدة 4 - إزالة المولد x

نظرية تيتز

تنص نظرية تيتز على أنه يمكن الحصول على أي عرضين محدودين لنفس المجموعة من خلال سلسلة محدودة من تحويلات تيتز.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ تيتز ، هاينريش (1908). "Über die topologischen Invarianten mehr Dimensional Mannigfaltigkeiten". Monatshefte für Mathematik und Physik (19): 1– 118.