حقل متجه يعتمد على الزمن

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ حقل المتجهات المتغير مع الزمن بنيةً في حساب المتجهات تُعمّم مفهوم حقول المتجهات . ويمكن تصوره كحقل متجهات يتحرك مع مرور الزمن. ففي كل لحظة زمنية، يُربط متجه بكل نقطة في الفضاء الإقليدي أو في فضاء متعدد الشعب .

تعريف

حقل متجه يعتمد على الزمن على مشعب M هو دالة من مجموعة جزئية مفتوحةΩ⊂R×م{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} \times M}علىتيم{\displaystyle TM}

X:Ω⊂R×م⟶تيم(ت،x)⟼X(ت،x)=Xت(x)∈تيxم{\displaystyle {\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}}

بحيث يكون لكل(ت،x)∈Ω{\displaystyle (t,x)\in \Omega }،Xت(x){\displaystyle X_{t}(x)}هو عنصر منتيxم{\displaystyle T_{x}M}.

لكلت∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} }بحيث تكون المجموعة

Ωت={x∈م|(ت،x)∈Ω}⊂م{\displaystyle \Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M}

غير فارغ ،Xت{\displaystyle X_{t}}هو حقل متجه بالمعنى المعتاد معرف على المجموعة المفتوحةΩت⊂م{\displaystyle \Omega _{t}\subset M}.

المعادلة التفاضلية المرتبطة

بفرض وجود حقل متجهي X يعتمد على الزمن على مشعب M ، يمكننا ربط المعادلة التفاضلية التالية به :

دxدت=X(ت،x){\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(t,x)}

وهو ما يسمى غير مستقل بحكم التعريف.

منحنى التكامل

المنحنى التكاملي للمعادلة أعلاه (ويسمى أيضًا المنحنى التكاملي لـ X ) هو دالة

α:أنا⊂R⟶م{\displaystyle \alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M}

بحيث∀ت0∈أنا{\displaystyle \forall t_{0}\in I}،(ت0،α(ت0)){\displaystyle (t_{0},\alpha (t_{0}))}هو عنصر من عناصر مجال تعريف X و

دαدت|ت=ت0=X(ت0،α(ت0)){\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))}.

التكافؤ مع حقول المتجهات المستقلة عن الزمن

حقل متجه يعتمد على الزمنX{\displaystyle X}علىم{\displaystyle M}يمكن اعتبارها حقل متجهX~{\displaystyle {\tilde {X}}}علىR×م،{\displaystyle \mathbb {R} \times M,}أينX~(ت،ص)∈تي(ت،ص)(R×م){\displaystyle {\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}لا يعتمد علىت.{\displaystyle t.}

وعلى العكس من ذلك، يرتبط بحقل متجه يعتمد على الزمنX{\displaystyle X}علىم{\displaystyle M}وهو مستقل عن الزمنX~{\displaystyle {\tilde {X}}}

R×م∋(ت،ص)↦∂∂ت|ت+X(ص)∈تي(ت،ص)(R×م){\displaystyle \mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}

علىR×م.{\displaystyle \mathbb {R} \times M.}في الإحداثيات،

X~(ت،x)=(1،X(ت،x)).{\displaystyle {\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).}

نظام المعادلات التفاضلية المستقلة لـX~{\displaystyle {\tilde {X}}}وهو ما يعادل ما هو عليه الحال بالنسبة للأنظمة غير المستقلة لـX،{\displaystyle X,}وxت↔(ت،xت){\displaystyle x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})}هي تقابل بين مجموعات المنحنيات التكاملية لـX{\displaystyle X}وX~،{\displaystyle {\tilde {X}},}على التوالى.

تدفق

إن تدفق حقل متجهي X يعتمد على الزمن هو الخريطة التفاضلية الوحيدة

F:د(X)⊂R×Ω⟶م{\displaystyle F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M}

بحيث يكون لكل(ت0،x)∈Ω{\displaystyle (t_{0},x)\in \Omega }،

ت⟶F(ت،ت0،x){\displaystyle t\longrightarrow F(t,t_{0},x)}

هو المنحنى التكامليα{\displaystyle \alpha }من X الذي يحققα(ت0)=x{\displaystyle \alpha (t_{0})=x}.

ملكيات

نحن نحددFت،s{\displaystyle F_{t,s}}مثلFت،s(ص)=F(ت،s،ص){\displaystyle F_{t,s}(p)=F(t,s,p)}

  1. لو(ت1،ت0،ص)∈د(X){\displaystyle (t_{1},t_{0},p)\in D(X)}و(ت2،ت1،Fت1،ت0(ص))∈د(X){\displaystyle (t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))\in D(X)}ثمFت2،ت1∘Fت1،ت0(ص)=Fت2،ت0(ص){\displaystyle F_{t_{2},t_{1}}\circ F_{t_{1},t_{0}}(p)=F_{t_{2},t_{0}}(p)}
  2. ∀ت،s{\displaystyle \forall t,s}،Fت،s{\displaystyle F_{t,s}}هو تماثل تفاضلي مع معكوسFs،ت{\displaystyle F_{s,t}}.

التطبيقات

ليكن X و Y حقلين متجهين سلسين يعتمدان على الزمن وF{\displaystyle F}تدفق X. يمكن إثبات المتطابقة التالية:

ددت|ت=ت1(Fت،ت0*Yت)ص=(Fت1،ت0*([Xت1،Yت1]+ددت|ت=ت1Yت))ص\displaystyle \frac{d}{dt} \left. \frac{}{} \right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p} = \left(F_{t_{1},t_{0}}^{*} \left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}] + \frac{d}{dt} \left. \frac{}{} \right|_{t=t_{1}}Y_{t} \right) \right)_{p}

كذلك، يمكننا تعريف حقول الموترات المعتمدة على الزمن بطريقة مماثلة، وإثبات هذه المتطابقة المشابهة، بافتراض أنη{\displaystyle \eta }هو حقل موتر سلس يعتمد على الزمن:

ددت|ت=ت1(Fت،ت0*ηت)ص=(Fت1،ت0*(لXت1ηت1+ددت|ت=ت1ηت))ص\displaystyle \frac{d}{dt} \left. \frac{}{} \right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta_{t})_{p} = \left(F_{t_{1},t_{0}}^{*} \left( \mathcal{L}}_{X_{t_{1}}}\eta_{t_{1}} + \frac{d}{dt} \left. \frac{}{} \right|_{t=t_{1}}\eta_{t} \right) \right)_{p}

هذه المتطابقة الأخيرة مفيدة لإثبات نظرية داربو .

مراجع

  • لي، جون م.، مقدمة في المشعبات الملساء ، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك (2003) ISBN 0-387-95495-3كتاب دراسي على مستوى الدراسات العليا حول المشعبات الملساء.