Truncated mean

A truncated mean or trimmed mean is a statistical measure of central tendency, much like the mean and median. It involves the calculation of the mean after discarding given parts of a probability distribution or sample at the high and low end, and typically discarding an equal amount of both. This number of points to be discarded is usually given as a percentage of the total number of points, but may also be given as a fixed number of points.

For most statistical applications, 5 to 25 percent of the ends are discarded. For example, given a set of 8 points, trimming by 12.5% would discard the minimum and maximum value in the sample: the smallest and largest values, and would compute the mean of the remaining 6 points. The 25% trimmed mean (when the lowest 25% and the highest 25% are discarded) is known as the interquartile mean.

The median can be regarded as a fully truncated mean and is most robust. As with other trimmed estimators, the main advantage of the trimmed mean is robustness and higher efficiency for mixed distributions and heavy-tailed distribution (like the Cauchy distribution), at the cost of lower efficiency for some other less heavily tailed distributions (such as the normal distribution). For intermediate distributions the differences between the efficiency of the mean and the median are not very big, e.g. for the student-t distribution with 2 degrees of freedom the variances for mean and median are nearly equal.

In some regions of Central Europe it is also known as a Windsor mean, but this name should not be confused with the Winsorized mean: in the latter, the observations that the trimmed mean would discard are instead replaced by the largest/smallest of the remaining values.

Discarding only the maximum and minimum is known as the modified mean, particularly in management statistics.^[1] This is also known as the Olympic average (for example in US agriculture, like the Average Crop Revenue Election), due to its use in Olympic events, such as the ISU Judging System in figure skating, to make the score robust to a single outlier judge.^[2]

عندما لا تُعطي نسبة النقاط المراد استبعادها عددًا صحيحًا، يُمكن تحديد المتوسط ​​المُقتطع عن طريق الاستيفاء، وعادةً ما يكون استيفاءً خطيًا، بين أقرب عددين صحيحين. على سبيل المثال، إذا أردت حساب المتوسط ​​المُقتطع بنسبة 15% لعينة تحتوي على 10 مدخلات، فإن هذا يعني حرفيًا استبعاد نقطة واحدة من كل طرف (وهو ما يُعادل المتوسط ​​المُقتطع بنسبة 10%). أما في حالة الاستيفاء، فيتم حساب المتوسط ​​المُقتطع بنسبة 10% (باستبعاد نقطة واحدة من كل طرف) والمتوسط ​​المُقتطع بنسبة 20% (باستبعاد نقطتين من كل طرف)، ثم الاستيفاء، وفي هذه الحالة يتم حساب متوسط ​​هاتين القيمتين. وبالمثل، عند استيفاء المتوسط ​​المُقتطع بنسبة 12%، يتم حساب المتوسط ​​المرجح : حيث يُرجّح المتوسط ​​المُقتطع بنسبة 10% بـ 0.8 والمتوسط ​​المُقتطع بنسبة 20% بـ 0.2.

يُعدّ المتوسط ​​المقتطع أداة تقدير مفيدة لأنه أقل تأثراً بالقيم المتطرفة من المتوسط، ومع ذلك يُعطي تقديراً معقولاً للنزعة المركزية أو المتوسط ​​في العديد من النماذج الإحصائية. ولذلك يُشار إليه بأنه أداة تقدير قوية . فعلى سبيل المثال، عند استخدامه في التحكيم الأولمبي، يمنع اقتطاع الحدين الأقصى والأدنى أي حكم من رفع أو خفض النتيجة الإجمالية بمنح درجة عالية أو منخفضة بشكل استثنائي.

إحدى الحالات التي قد يكون فيها استخدام المتوسط ​​المقتطع مفيدًا هي عند تقدير معلمة الموقع لتوزيع كوشي ، وهو توزيع احتمالي على شكل جرس ذو ذيول أضخم بكثير من التوزيع الطبيعي . يمكن إثبات أن المتوسط ​​المقتطع لإحصاءات ترتيب العينة بنسبة 24% الوسطى (أي اقتطاع العينة بنسبة 38% من كل طرف) يُنتج تقديرًا لمعلمة موقع المجتمع أكثر كفاءة من استخدام وسيط العينة أو متوسط ​​العينة الكامل. ^{[ 3 ] [ 4 ]} مع ذلك، ونظرًا لذيول توزيع كوشي السميكة، تنخفض كفاءة المُقدِّر كلما زاد حجم العينة المستخدمة في التقدير. ^{[ 3 ] [ 4 ]} تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لتوزيع كوشي، لا يُمثل المتوسط ​​المقتطع ولا متوسط ​​العينة الكامل ولا وسيط العينة مُقدِّرًا لأقصى احتمال ، كما أن أيًا منها ليس بكفاءة مُقدِّر أقصى احتمال تقاربًا. مع ذلك، فإن حساب تقدير الاحتمال الأقصى أكثر صعوبة، مما يجعل المتوسط ​​المقتطع بديلاً مفيداً. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

من الممكن إجراء اختبار t للطالب بناءً على المتوسط ​​المقتطع، والذي يسمى اختبار t ليوين، ^{[ 6 ] [ 7 ]} والذي يحتوي أيضًا على العديد من التطبيقات في R. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تعتمد طريقة التسجيل المستخدمة في العديد من الرياضات التي يتم تقييمها بواسطة لجنة من الحكام على المتوسط ​​المقتطع: يتم استبعاد أدنى وأعلى الدرجات؛ ثم يتم حساب متوسط ​​الدرجات المتبقية . ^{[ 10 ]}

يتم حساب سعر الفائدة المرجعي ليبور كمتوسط ​​مُعدَّل: من بين 18 استجابة، يتم استبعاد أعلى 4 استجابات وأدنى 4 استجابات، ويتم حساب متوسط ​​الاستجابات العشر المتبقية (مما ينتج عنه عامل تعديل 4/18 ≈ 22%). ^{[ 11 ]}

ضع في اعتبارك مجموعة البيانات التي تتكون من:

{92, 19, 101 , 58, 1053 , 91, 26, 78, 10, 13, −40 , 101 , 86, 85, 15, 89, 89, 28, −5 , 41} (N = 20, mean = 101.5)     

يقع المئين الخامس (-6.75) بين -40 و-5، بينما يقع المئين الخامس والتسعون (148.6) بين 101 و1053 (القيم موضحة بالخط العريض). وبناءً على ذلك، فإن المتوسط ​​المقتطع بنسبة 5% سيُعطي النتائج التالية:

{92, 19, 101, 58, 91, 26, 78, 10, 13, 101, 86, 85, 15, 89, 89, 28, −5, 41} (N = 18, mean = 56.5)     

يمكن مقارنة هذا المثال بالمثال الذي يستخدم إجراء Winsorising .

• ثلاثي الأبعاد
• المتوسط ​​الربيعي
• متوسط ​​وينسور