المتوسط ​​الربيعي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

المتوسط ​​الربيعي ( IQM )، ويُسمى أيضًا المتوسط ​​الوسيط ، هو مقياس إحصائي للنزعة المركزية يعتمد على المتوسط ​​المقتطع للمدى الربيعي . يشبه المتوسط ​​الربيعي إلى حد كبير طريقة التقييم المستخدمة في الرياضات التي تُقيّمها لجنة من الحكام: "استبعاد أدنى وأعلى الدرجات؛ وحساب متوسط ​​الدرجات المتبقية".

حساب

في حساب IQM، يتم استخدام البيانات الواقعة بين الربع الأول والثالث فقط ، ويتم تجاهل أدنى 25٪ وأعلى 25٪ من البيانات.

xأناسؤالم=2ن∑أنا=ن4+13ن4xأنا{\displaystyle x_{\mathrm {IQM} }={2 \over n}\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{\frac {3n}{4}}{x_{i}}}

بافتراض أن القيم قد تم ترتيبها. [ 1 ]

أمثلة

حجم مجموعة البيانات قابل للقسمة على أربعة

يُمكن شرح هذه الطريقة بشكل أفضل من خلال مثال. لنفترض مجموعة البيانات التالية:

5، 8، 4، 38، 8، 6، 9، 7، 7، 3، 1، 6

قم أولاً بترتيب القائمة من الأدنى إلى الأعلى:

1، 3، 4، 5، 6، 6، 7، 7، 8، 8، 9، 38

يحتوي مجموعة البيانات على 12 مشاهدة (نقاط بيانات)، وبالتالي لدينا 4 أرباع، كل ربع منها مكون من 3 أرقام. نتجاهل القيم الثلاث الأدنى والأعلى.

1، 3، 4 ، 5، 6، 6، 7، 7، 8، 8، 9، 38

لدينا الآن 6 من أصل 12 مشاهدة متبقية؛ بعد ذلك، نحسب المتوسط ​​الحسابي لهذه الأرقام:

x IQM = (5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8) / 6 = 6.5

هذا هو المتوسط ​​الربيعي.

للمقارنة، فإن المتوسط ​​الحسابي لمجموعة البيانات الأصلية هو

(5 + 8 + 4 + 38 + 8 + 6 + 9 + 7 + 7 + 3 + 1 + 6) / 12 = 8.5

بسبب التأثير القوي للقيمة الشاذة، 38.

حجم مجموعة البيانات لا يقبل القسمة على أربعة

تضمن المثال أعلاه 12 مشاهدة في مجموعة البيانات، مما سهّل تحديد الأرباعيات. بالطبع، لا تحتوي جميع مجموعات البيانات على عدد مشاهدات يقبل القسمة على 4. يمكننا تعديل طريقة حساب متوسط ​​الربيعيات (IQM) لمراعاة ذلك. لذا، نسعى جاهدين لجعل متوسط ​​الربيعيات مساويًا للمتوسط ​​في التوزيعات المتماثلة، على سبيل المثال:

1، 2، 3، 4، 5

له قيمة متوسطة x mean = 3، وبما أنه توزيع متماثل، فإن x IQM = 3 هو المطلوب.

يمكننا حل هذه المشكلة باستخدام المتوسط ​​المرجح للربيعيات ومجموعة بيانات ما بين الربيعيات:

لنفترض مجموعة البيانات التالية المكونة من 9 مشاهدات:

1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17

يوجد 9/4 = 2.25 مشاهدة في كل ربع، و4.5 مشاهدة في المدى الربيعي. يتم اقتطاع الجزء الكسري من الربع، وحذف هذا الرقم من الربعين الأول والرابع (2.25 مشاهدة في كل ربع، وبالتالي يتم حذف أدنى مشاهدتين وأعلى مشاهدتين).

1، 3 ، (5)، 7، 9، 11، (13)، 15، 17

وبالتالي، يوجد 3 مشاهدات كاملة في المدى الربيعي، وزن كل منها 1، ومشاهدتان كسريتان، وزن كل منهما 0.75 (1 - 0.25 = 0.75). وبذلك، يصبح لدينا إجمالاً 4.5 مشاهدات في المدى الربيعي (3 × 1 + 2 × 0.75 = 4.5 مشاهدات).

يتم الآن حساب مؤشر الجودة المتكامل (IQM) على النحو التالي:

x IQM = {(7 + 9 + 11) + 0.75 × (5 + 13)} / 4.5 = 9

في المثال أعلاه، يبلغ المتوسط ​​× المتوسط ​​= 9، وهو نفس قيمة IQM كما هو متوقع. طريقة حساب IQM لأي عدد من المشاهدات مماثلة؛ ويمكن أن تكون المساهمات النسبية في IQM إما 0 أو 0.25 أو 0.50 أو 0.75.

مقارنة مع المتوسط ​​والوسيط

يشترك المتوسط ​​الربيعي في بعض خصائص كل من المتوسط ​​والوسيط :

  • على غرار الوسيط ، فإنّ مؤشر الجودة المتوسط ​​(IQM) غير حساس للقيم المتطرفة ؛ ففي المثال المذكور، كانت أعلى قيمة (38) قيمة متطرفة واضحة في مجموعة البيانات، ولكن لم تُستخدم قيمتها في حساب مؤشر الجودة المتوسط. من ناحية أخرى، فإنّ المتوسط ​​الحسابي ( المتوسط ​​المشترك ) حساس لهذه القيم المتطرفة: متوسط ​​x = 8.5.
  • على غرار المتوسط ، يُعدّ المدى الربيعي (IQM) معيارًا مميزًا يعتمد على عدد كبير من المشاهدات من مجموعة البيانات. يساوي الوسيط دائمًا إحدى المشاهدات في مجموعة البيانات (بافتراض عدد فردي من المشاهدات). يمكن أن يساوي المتوسط ​​أي قيمة بين أدنى وأعلى مشاهدة، وذلك اعتمادًا على قيم جميع المشاهدات الأخرى. يمكن أن يساوي المدى الربيعي أي قيمة بين الربيع الأول والثالث، وذلك اعتمادًا على جميع المشاهدات في المدى الربيعي.

انظر أيضاً

التطبيقات

مراجع

  1. ↑ سالكيند، نيل (2010). موسوعة تصميم البحوث . doi : 10.4135/9781412961288 . ISBN 978-1-4129-6127-1.