متوسط

المتوسط ​​لمجموعة من الأرقام هو القيمة التي تفصل النصف الأعلى عن النصف الأدنى لعينة البيانات أو المجتمع أو توزيع الاحتمالات . بالنسبة لمجموعة البيانات ، يمكن اعتباره القيمة "الوسطى". السمة الأساسية للمتوسط ​​في وصف البيانات مقارنة بالمتوسط ​​( غالبًا ما يوصف ببساطة بأنه "المتوسط") هي أنه غير منحرف بنسبة صغيرة من القيم الكبيرة أو الصغيرة للغاية، وبالتالي يوفر تمثيلًا أفضل للمركز. قد يكون متوسط ​​الدخل ، على سبيل المثال، طريقة أفضل لوصف مركز توزيع الدخل لأن الزيادات في أكبر الدخول وحدها ليس لها تأثير على المتوسط. لهذا السبب، فإن المتوسط ​​له أهمية مركزية في الإحصاءات القوية .

المتوسط ​​لقائمة محدودة من الأرقام هو الرقم "الأوسط"، عندما يتم إدراج هذه الأرقام بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر.

إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على عدد فردي من الملاحظات، يتم تحديد الملاحظة الوسطى (بعد الترتيب بترتيب تصاعدي). على سبيل المثال، القائمة التالية المكونة من سبعة أرقام،

1، 3، 3، 6 ، 7، 8، 9

لديه متوسط ​​6 ، وهي القيمة الرابعة.

إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على عدد زوجي من الملاحظات، فلا توجد قيمة وسطى مميزة ويتم تعريف المتوسط ​​عادةً بأنه المتوسط ​​الحسابي للقيمتين الوسطيتين. ^{[1] [2]} على سبيل المثال، هذه المجموعة من البيانات المكونة من 8 أرقام

1، 2، 3، 4، 5 ، 6، 8، 9

يبلغ متوسط ​​قيمته 4.5 ، أي . (بمصطلحات أكثر تقنية، يفسر هذا المتوسط ​​على أنه النطاق المتوسط ​​المختصر بالكامل ). ${\displaystyle (4+5)/2}$

بشكل عام، وفقًا لهذه الاتفاقية، يمكن تعريف المتوسط ​​على النحو التالي: لمجموعة بيانات من العناصر، مرتبة من الأصغر إلى الأكبر، ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

إذا كان فرديا،${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {med} (x)=x_{(n+1)/2}}$

إذا كان زوجيًا،${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {med} (x)={\frac {x_{(n/2)}+x_{((n/2)+1)}}{2}}}$

مقارنة المتوسطات الشائعة للقيم [ 1، 2، 2، 3، 4، 7، 9 ]

يكتب	وصف	مثال	نتيجة
المدى المتوسط	نقطة المنتصف بين الحد الأدنى والحد الأقصى لمجموعة البيانات	1 ، 2، 2، 3، 4، 7، 9	5
المتوسط ​​الحسابي	مجموع قيم مجموعة البيانات مقسومًا على عدد القيم:${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$	(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7	4
متوسط	القيمة الوسطى التي تفصل بين النصف الأكبر والأصغر لمجموعة البيانات	1، 2، 2، 3 ، 4، 7، 9	3
وضع	القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات	1، 2 ، 2 ، 3، 4، 7، 9	2

رسميًا، الوسيط لمجتمع ما هو أي قيمة يكون فيها نصف المجتمع على الأقل أقل من أو يساوي الوسيط المقترح ونصفه على الأقل أكبر من أو يساوي الوسيط المقترح. وكما رأينا أعلاه، قد لا تكون المتوسطات فريدة. إذا كانت كل مجموعة تحتوي على أكثر من نصف المجتمع، فإن بعض المجتمع يساوي بالضبط الوسيط الفريد.

إن المتوسط ​​محدد جيدًا لأي بيانات مرتبة (أحادية البعد) وهو مستقل عن أي مقياس للمسافة . وبالتالي يمكن تطبيق المتوسط ​​على الفصول الدراسية المصنفة ولكن غير الرقمية (على سبيل المثال، حساب الدرجة المتوسطة عندما يتم تصنيف درجات اختبار الطلاب من F إلى A)، على الرغم من أن النتيجة قد تكون في منتصف الطريق بين الفصول إذا كان هناك عدد زوجي من الفصول. (بالنسبة للفصول ذات الأعداد الفردية، يتم تحديد فصل واحد محدد كوسيط.)

من ناحية أخرى، يتم تعريف الوسيط الهندسي في أي عدد من الأبعاد. وهناك مفهوم مرتبط، حيث يتم إجبار النتيجة على التوافق مع أحد أعضاء العينة، وهو الوسيط .

لا يوجد تدوين قياسي مقبول على نطاق واسع للوسيط، ولكن بعض المؤلفين يمثلون الوسيط للمتغير x على أنه med( x )، x͂ ، ^[3] على أنه μ _1/2 ، ^[1] أو على أنه M. ^{[3] [4]} في أي من هذه الحالات، يجب تحديد استخدام هذه الرموز أو غيرها للوسيط بشكل صريح عند تقديمها.

الوسيط هو حالة خاصة من الطرق الأخرى لتلخيص القيم النموذجية المرتبطة بالتوزيع الإحصائي : فهو الربع الثاني ، والعشر الخامس، والنسبة المئوية الخمسين .

يمكن استخدام الوسيط كمقياس للموقع عندما نولي أهمية منخفضة للقيم المتطرفة، وعادةً ما يكون ذلك بسبب انحياز التوزيع ، أو عدم معرفة القيم المتطرفة، أو عدم موثوقية القيم المتطرفة ، أي قد تكون أخطاء في القياس أو النسخ.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المجموعة المتعددة

1، 2، 2، 2، 3، 14.

المتوسط ​​هو 2 في هذه الحالة، كما هو الحال مع المنوال ، وقد يُنظر إليه على أنه مؤشر أفضل للمركز من المتوسط ​​الحسابي 4، والذي يكون أكبر من جميع القيم باستثناء واحدة. ومع ذلك، فإن العلاقة التجريبية التي يتم الاستشهاد بها على نطاق واسع والتي مفادها أن المتوسط ​​يتم تحويله "إلى ذيل" التوزيع أكثر من المتوسط ​​ليست صحيحة بشكل عام. على الأكثر، يمكن للمرء أن يقول إن الإحصائيتين لا يمكن أن تكونا "بعيدتين للغاية" عن بعضهما البعض؛ انظر § عدم المساواة المتعلقة بالمتوسطات والوسطاء أدناه. ^[5]

نظرًا لأن الوسيط يعتمد على البيانات الوسطى في مجموعة ما، فليس من الضروري معرفة قيمة النتائج المتطرفة من أجل حسابه. على سبيل المثال، في اختبار نفسي يبحث في الوقت اللازم لحل مشكلة ما، إذا فشل عدد صغير من الأشخاص في حل المشكلة على الإطلاق في الوقت المحدد، فلا يزال من الممكن حساب الوسيط. ^[6]

نظرًا لأن المتوسط ​​سهل الفهم وسهل الحساب، كما أنه تقريبًا قويًا للمتوسط ، فإن المتوسط ​​هو إحصائية موجزة شائعة في الإحصاء الوصفي . في هذا السياق، هناك عدة خيارات لقياس التباين : النطاق ، والنطاق الربعي ، والانحراف المطلق المتوسط ، والانحراف المطلق المتوسط .

لأغراض عملية، غالبًا ما تتم مقارنة مقاييس مختلفة للموقع والتشتت على أساس مدى جودة تقدير قيم السكان المقابلة من عينة من البيانات. يتمتع الوسيط، المقدر باستخدام متوسط ​​العينة، بخصائص جيدة في هذا الصدد. في حين أنه ليس مثاليًا عادةً إذا افترضنا توزيعًا سكانيًا معينًا، فإن خصائصه جيدة دائمًا بشكل معقول. على سبيل المثال، تُظهر مقارنة كفاءة مقدرين المرشحين أن متوسط ​​العينة أكثر كفاءة إحصائيًا عندما - وفقط عندما - تكون البيانات غير ملوثة ببيانات من توزيعات الذيل الثقيل أو من مزيج من التوزيعات. ^{[ بحاجة لمصدر ]} حتى في هذه الحالة، يتمتع الوسيط بكفاءة 64٪ مقارنة بمتوسط ​​التباين الأدنى (للعينات الطبيعية الكبيرة)، وهذا يعني أن تباين الوسيط سيكون أكبر بنحو 50٪ من تباين المتوسط. ^{[7] [8]}

بالنسبة لأي توزيع احتمالي ذي قيمة حقيقية مع دالة توزيع تراكمية F ، يتم تعريف الوسيط على أنه أي عدد حقيقي  m يلبي المتباينات (راجع الرسم في تعريف القيمة المتوقعة للمتغيرات العشوائية ذات القيمة الحقيقية التعسفية ). تستخدم عبارة مكافئة متغيرًا عشوائيًا X موزعًا وفقًا لـ F :  $${\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)}$$$${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.}$$

لاحظ أن هذا التعريف لا يتطلب أن يكون لـ X توزيع مستمر مطلقًا (له دالة كثافة احتمالية f )، ولا يتطلب توزيعًا منفصلًا . في الحالة الأولى، يمكن ترقية المتباينات إلى المساواة: المتوسط ​​يرضي و $${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}$$

أي توزيع احتمالي لمجموعة الأعداد الحقيقية له وسيط واحد على الأقل، ولكن في الحالات المرضية قد يكون هناك أكثر من وسيط: إذا كانت F ثابتة 1/2 على فاصل (بحيث f = 0 هناك)، فإن أي قيمة لهذا الفاصل هي وسيط. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن حساب متوسطات أنواع معينة من التوزيعات بسهولة من معلماتها؛ وعلاوة على ذلك، فهي موجودة حتى بالنسبة لبعض التوزيعات التي تفتقر إلى متوسط ​​محدد جيدًا، مثل توزيع كوشي :

• يتطابق متوسط ​​التوزيع الأحادي النمط المتماثل مع المنوال.
• المتوسط ​​للتوزيع المتماثل الذي يمتلك متوسطًا μ يأخذ أيضًا القيمة μ .
  • المتوسط ​​الحسابي للتوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وتباين σ ² هو μ. في الواقع، بالنسبة للتوزيع الطبيعي، المتوسط ​​الحسابي = الوسيط = المنوال.
  • متوسط ​​التوزيع المنتظم في الفترة [ أ ،  ب ] هو ( أ  +  ب ) / 2، وهو أيضًا المتوسط.
• المتوسط ​​لتوزيع كوشي مع معلمة الموقع x ₀ ومعامل المقياس y هو  x ₀ ، معلمة الموقع.
• متوسط ​​توزيع قانون القوة x ^{− a} ، مع الأس a  > 1 هو 2 ^{1/( a  − 1)} x _min ، حيث x _min هي القيمة الدنيا التي ينطبق عليها قانون القوة ^[10]
• متوسط ​​التوزيع الأسي مع معامل المعدل λ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ 2 مقسومًا على معامل المعدل: λ ⁻¹ ln 2.
• المتوسط ​​لتوزيع ويبل مع معلمة الشكل k ومعامل المقياس λ هو  λ (ln 2) ^{1/ k} .

متوسط ​​الخطأ المطلق للمتغير الحقيقي c بالنسبة للمتغير العشوائي  X هو

${\displaystyle E(\left|X-c\right|)\,}$

بشرط أن يكون توزيع احتمالات X بحيث يكون التوقع أعلاه موجودًا، فإن m هو متوسط ​​X إذا وفقط إذا كان m هو الحد الأدنى لمتوسط ​​الخطأ المطلق بالنسبة إلى X. ^[11] وعلى وجه الخصوص، إذا كان m هو متوسط ​​العينة، فإنه يقلل المتوسط ​​الحسابي للانحرافات المطلقة. ^[12] ومع ذلك، لاحظ أنه في الحالات التي تحتوي فيها العينة على عدد زوجي من العناصر، فإن هذا الحد الأدنى ليس فريدًا.

بشكل عام، يتم تعريف الوسيط على أنه الحد الأدنى من

${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$

كما هو موضح أدناه في القسم الخاص بالمتوسطات المتعددة المتغيرات (على وجه التحديد، المتوسط ​​المكاني ).

يُعد هذا التعريف المبني على التحسين للوسيط مفيدًا في تحليل البيانات الإحصائية، على سبيل المثال، في التجميع باستخدام k وسيط .

إذا كان التوزيع له تباين محدود، فإن المسافة بين الوسيط والمتوسط ​​الحسابي تكون محدودة بانحراف معياري واحد . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$

وقد أثبت Book وSher هذا الحد في عام 1979 للعينات المنفصلة، ^​​[13] وبشكل عام بواسطة Page وMurty في عام 1982. ^[14] وفي تعليق على إثبات لاحق بواسطة O'Cinneide، ^[15] قدم Mallows في عام 1991 إثباتًا مضغوطًا يستخدم متباينة Jensen مرتين، ^[16] على النحو التالي. باستخدام |·| للقيمة المطلقة ، لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu -m|=|\operatorname {E} (X-m)|&\leq \operatorname {E} (|X-m|)\\&\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}$

تأتي المتباينتان الأولى والثالثة من متباينة جينسن المطبقة على دالة القيمة المطلقة ودالة التربيع، وكل منهما محدبة. تأتي المتباينة الثانية من حقيقة أن الوسيط يقلل من دالة الانحراف المطلق . ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (|X-a|)}$

يمكن تعميم إثبات مالوز للحصول على نسخة متعددة المتغيرات من المتباينة ^[17] ببساطة عن طريق استبدال القيمة المطلقة بمعيار :

${\displaystyle \|\mu -m\|\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left(\|X-\mu \|^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}}$

حيث m هو الوسيط المكاني ، أي مصغر للدالة. الوسيط المكاني يكون فريدًا عندما يكون بُعد مجموعة البيانات اثنين أو أكثر. ^{[18] [19]}${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}$

يستخدم دليل بديل متباينة تشيبيشيف أحادية الجانب؛ وتظهر في متباينة حول معلمات الموقع والمقياس . تتبع هذه الصيغة أيضًا بشكل مباشر متباينة كانتيلي . ^[20]

في حالة التوزيعات الأحادية النمط ، من الممكن تحقيق حد أكثر وضوحًا للمسافة بين الوسيط والمتوسط ​​الحسابي:

${\displaystyle \left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {1}{2}}\sigma \approx 0.7746\sigma }$^[21] .

توجد علاقة مماثلة بين الوسيط والمنوال:

${\displaystyle \left|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} \right|\leq 3^{\frac {1}{2}}\sigma \approx 1.732\sigma .}$

تتمثل إحدى القواعد النموذجية في أن التوزيعات الملتوية إيجابيًا يكون متوسطها > الوسيط. وهذا صحيح بالنسبة لجميع أعضاء عائلة توزيع بيرسون . ومع ذلك، هذا ليس صحيحًا دائمًا. على سبيل المثال، تحتوي عائلة توزيع ويبل على أعضاء بمتوسط ​​موجب، ولكن متوسطها < الوسيط. تعد انتهاكات القاعدة شائعة بشكل خاص في التوزيعات المنفصلة. على سبيل المثال، أي توزيع بواسون له انحراف موجب، ولكن متوسطه < الوسيط كلما كان . ^[22] راجع ^[23] للحصول على رسم بياني للإثبات. ${\displaystyle \mu {\bmod {1}}>\ln 2}$

عندما يكون التوزيع ذو كثافة احتمالية متناقصة بشكل رتيب، فإن المتوسط ​​يكون أقل من المتوسط، كما هو موضح في الشكل.

تنص متباينة جينسن على أنه بالنسبة لأي متغير عشوائي X بتوقع محدود E [ X ] ولأي دالة محدبة f

${\displaystyle f[E(x)]\leq E[f(x)]}$

ينطبق هذا التفاوت أيضًا على الوسيط. نقول إن الدالة f : R → R هي دالة C إذا كان، لأي t ،

${\displaystyle f^{-1}\left(\,(-\infty ,t]\,\right)=\{x\in \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}}$

هي فترة مغلقة (تسمح بالحالات المتدهورة لنقطة واحدة أو مجموعة فارغة ). كل دالة محدبة هي دالة C، لكن العكس لا ينطبق. إذا كانت f دالة C، إذن

${\displaystyle f(\operatorname {med} [X])\leq \operatorname {med} [f(X)]}$

إذا لم تكن المتوسطات فريدة، فإن العبارة تنطبق على القيمة العليا المقابلة. ^[24]

على الرغم من أن فرز العناصر n بالمقارنة يتطلب عمليات Ω ( n log n ) ، فإن خوارزميات الاختيار يمكنها حساب أصغر العناصر n من خلال عمليات Θ( n ) فقط . وهذا يشمل المتوسط، وهون/2إحصائية من الدرجة (أو بالنسبة لعدد زوجي من العينات، المتوسط ​​الحسابي للإحصائيتين من الدرجة المتوسطة). ^[25]

لا تزال خوارزميات الاختيار تعاني من الجانب السلبي المتمثل في متطلبات ذاكرة Ω( n ) ، أي أنها تحتاج إلى وجود العينة الكاملة (أو جزء منها بحجم خطي) في الذاكرة. ولأن هذا، بالإضافة إلى متطلبات الوقت الخطي، يمكن أن يكون محظورًا، فقد تم تطوير العديد من إجراءات التقدير للوسيط. أحد الإجراءات البسيطة هو متوسط ​​قاعدة الثلاثة، والتي تقدر الوسيط باعتباره متوسط ​​عينة فرعية مكونة من ثلاثة عناصر؛ يستخدم هذا عادةً كبرنامج فرعي في خوارزمية فرز الفرز السريع ، والتي تستخدم تقديرًا لمتوسط ​​مدخلاتها. هناك مقدر أكثر قوة وهو التاسع لتوكي ، وهو متوسط ​​قاعدة الثلاثة المطبقة مع التكرار المحدود: ^[26] إذا كانت A هي العينة الموضوعة كمصفوفة ، و

med3( أ ) = med( أ [ 1]، أ [ن/2⁠ ], أ [ ن ]) ،

ثم

تاسع( A ) = med3(med3( A [1 ... ⁠1/3⁠ ن ])، ميد 3 ( أ [ ⁠1/3ن ...​​2/3⁠ ن ])، ميد 3 ( أ [ ⁠2/3⁠ ن ... ن ]))

المتوسط ​​هو مقدر للمتوسط ​​يتطلب وقتًا خطيًا ولكن ذاكرة فرعية خطية، ويعمل في تمريرة واحدة على العينة. [ ^27]

تم تحديد توزيعات كل من متوسط ​​العينة ومتوسط ​​العينة بواسطة لابلاس . ^[28] توزيع متوسط ​​العينة من مجموعة سكانية ذات دالة كثافة يكون مقاربًا للطبيعي مع المتوسط ​​والتباين ^[29]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {1}{4nf(m)^{2}}}}$

أين هو الوسيط و هو حجم العينة: ${\displaystyle m}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{Sample median}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =m,\sigma ^{2}={\frac {1}{4nf(m)^{2}}}\right)}$

يتبع ذلك دليل حديث. تُفهم نتيجة لابلاس الآن على أنها حالة خاصة للتوزيع المقارب للكميات التعسفية .

بالنسبة للعينات العادية، تكون الكثافة ، وبالتالي بالنسبة للعينات الكبيرة فإن تباين المتوسط ​​يساوي ^[7] (انظر أيضًا القسم #الكفاءة أدناه). ${\displaystyle f(m)=1/{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}$${\displaystyle ({\pi }/{2})\cdot (\sigma ^{2}/n).}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (November 2023) (Learn how and when to remove this message)

نأخذ حجم العينة ليكون عددًا فرديًا ونفترض أن المتغير متصل؛ الصيغة الخاصة بحالة المتغيرات المنفصلة موضحة أدناه في § الكثافة المحلية التجريبية. يمكن تلخيص العينة على أنها "أقل من المتوسط" و"عند المتوسط" و"فوق المتوسط"، وهو ما يتوافق مع توزيع ثلاثي الحدود باحتمالات و . بالنسبة للمتغير المستمر، فإن احتمال أن تكون قيم العينة المتعددة مساوية تمامًا للمتوسط ​​هو 0، لذا يمكن للمرء حساب كثافة عند النقطة مباشرة من التوزيع الثلاثي الحدود: ${\displaystyle N=2n+1}$${\displaystyle F(v)}$${\displaystyle f(v)}$${\displaystyle 1-F(v)}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \Pr[\operatorname {med} =v]\,dv={\frac {(2n+1)!}{n!n!}}F(v)^{n}(1-F(v))^{n}f(v)\,dv}$.

الآن نقدم دالة بيتا. بالنسبة للحجج الصحيحة و ، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي . تذكر أيضًا أن . باستخدام هذه العلاقات وتعيين كل من و يساوي إلى يسمح بكتابة التعبير الأخير على النحو التالي ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {(\alpha -1)!(\beta -1)!}{(\alpha +\beta -1)!}}}$${\displaystyle f(v)\,dv=dF(v)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {F(v)^{n}(1-F(v))^{n}}{\mathrm {B} (n+1,n+1)}}\,dF(v)}$

ومن ثم فإن دالة كثافة الوسيط هي توزيع بيتا متماثل مدفوع للأمام بمقدار . ومتوسطه، كما نتوقع، هو 0.5 وتباينه هو . وبموجب قاعدة السلسلة ، فإن التباين المقابل للوسيط العينة هو ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1/(4(N+2))}$

${\displaystyle {\frac {1}{4(N+2)f(m)^{2}}}}$.

العدد الإضافي 2 يمكن إهماله في الحد .

في الممارسة العملية، غالبًا ما لا تكون الوظائف وما فوق معروفة أو مفترضة. ومع ذلك، يمكن تقديرها من توزيع التردد المرصود. في هذا القسم، نعطي مثالاً. ضع في اعتبارك الجدول التالي، الذي يمثل عينة من 3800 ملاحظة (ذات قيمة منفصلة): ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

ف	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5
ف(ف)	0.000	0.008	0.010	0.013	0.083	0.108	0.328	0.220	0.202	0.023	0.005
ف(فعل)	0.000	0.008	0.018	0.031	0.114	0.222	0.550	0.770	0.972	0.995	1.000

نظرًا لأن الملاحظات ذات قيمة منفصلة، ​​فإن إنشاء التوزيع الدقيق للوسيط ليس ترجمة فورية للتعبير أعلاه لـ ؛ قد يكون لدى المرء (وعادةً ما يكون لديه) حالات متعددة من الوسيط في العينة الخاصة به. لذا يجب علينا تلخيص كل هذه الاحتمالات: ${\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)}$

${\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {N!}{i!(N-i-k)!k!}}F(v-1)^{i}(1-F(v))^{k}f(v)^{N-i-k}}$

هنا، i هو عدد النقاط الأقل تمامًا من المتوسط ​​و k هو العدد الأكبر تمامًا.

وباستخدام هذه المقدمات، من الممكن دراسة تأثير حجم العينة على الأخطاء المعيارية للمتوسط ​​والوسيط. المتوسط ​​المرصود هو 3.16، والوسيط الخام المرصود هو 3، والوسيط المرصود المضاف هو 3.174. ويقدم الجدول التالي بعض إحصائيات المقارنة.

حجم العينة احصائيات	3	9	15	21
القيمة المتوقعة للمتوسط	3.198	3.191	3.174	3.161
الخطأ المعياري للوسيط (الصيغة أعلاه)	0.482	0.305	0.257	0.239
الخطأ المعياري للمتوسط ​​(التقريب المقارب)	0.879	0.508	0.393	0.332
الخطأ المعياري للمتوسط	0.421	0.243	0.188	0.159

تنخفض القيمة المتوقعة للوسيط بشكل طفيف مع زيادة حجم العينة، بينما، كما هو متوقع، تكون الأخطاء المعيارية لكل من الوسيط والمتوسط ​​متناسبة مع الجذر التربيعي العكسي لحجم العينة. ويخطئ التقريب المقارب في جانب الحذر من خلال المبالغة في تقدير الخطأ المعياري.

تمت دراسة قيمة —القيمة المقاربة لـ حيث هو متوسط ​​السكان— بواسطة العديد من المؤلفين. تنتج طريقة " حذف واحد" القياسية نتائج غير متسقة . ^[30] تم إثبات أن طريقة بديلة —طريقة "حذف k"— حيث تنمو مع حجم العينة متسقة مقاربًا. ^[31] قد تكون هذه الطريقة مكلفة حسابيًا لمجموعات البيانات الكبيرة. من المعروف أن تقدير التمهيد متسق، ^[32] ولكنه يتقارب ببطء شديد ( ترتيب ). ^[33] تم اقتراح طرق أخرى ولكن سلوكها قد يختلف بين العينات الكبيرة والصغيرة. ^[34]${\displaystyle (2f(x))^{-2}}$${\displaystyle n^{-1/2}(\nu -m)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle n^{-{\frac {1}{4}}}}$

تعتمد كفاءة متوسط ​​العينة، المقاسة كنسبة تباين المتوسط ​​إلى تباين المتوسط، على حجم العينة وعلى توزيع السكان الأساسي. بالنسبة لعينة بحجم من التوزيع الطبيعي ، تكون الكفاءة لـ N الكبيرة ${\displaystyle N=2n+1}$

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}{\frac {N+2}{N}}}$

تتجه الكفاءة نحو ما يتجه نحو اللانهاية. ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$${\displaystyle N}$

بعبارة أخرى، سيكون التباين النسبي للوسيط ، أو أكبر بنسبة 57% من تباين المتوسط ​​- سيكون الخطأ المعياري النسبي للوسيط ، أو أكبر بنسبة 25% من الخطأ المعياري للمتوسط ، (انظر أيضًا القسم #توزيع العينة أعلاه). ^[35]${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$${\displaystyle (\pi /2)^{\frac {1}{2}}\approx 1.25}$${\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}$

بالنسبة للتوزيعات أحادية المتغير المتماثلة حول متوسط ​​واحد، فإن مقدر هودجز-ليمان هو مقدر قوي وفعال للغاية لمتوسط ​​السكان. ^[36]

إذا تم تمثيل البيانات بواسطة نموذج إحصائي يحدد عائلة معينة من توزيعات الاحتمالات ، فيمكن الحصول على تقديرات الوسيط من خلال ملاءمة تلك العائلة من توزيعات الاحتمالات للبيانات وحساب الوسيط النظري للتوزيع الملائم. الاستيفاء الباريتوي هو تطبيق لهذا عندما يُفترض أن يكون لدى السكان توزيع باريتو .

في السابق، ناقشت هذه المقالة الوسيط أحادي المتغير، عندما يكون للعينة أو السكان بُعد واحد. عندما يكون البعد اثنين أو أكثر، فهناك مفاهيم متعددة توسع تعريف الوسيط أحادي المتغير؛ كل وسيط متعدد المتغيرات يتفق مع الوسيط أحادي المتغير عندما يكون البعد واحدًا بالضبط. ^{[36] [37] [38] [39]}

يتم تعريف الوسيط الهامشي للمتجهات المحددة فيما يتعلق بمجموعة ثابتة من الإحداثيات. يتم تعريف الوسيط الهامشي بأنه المتجه الذي تكون مكوناته عبارة عن وسيطات أحادية المتغير. من السهل حساب الوسيط الهامشي، وقد درس بوري وسين خصائصه. ^{[36] [40]}

المتوسط ​​الهندسي لمجموعة منفصلة من نقاط العينة في الفضاء الإقليدي هو النقطة ^[أ] التي تقلل مجموع المسافات إلى نقاط العينة. ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{N}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\underset {\mu \in \mathbb {R} ^{m}}{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{n=1}^{N}\left\|\mu -x_{n}\right\|_{2}}$

على النقيض من المتوسط ​​الهامشي، فإن المتوسط ​​الهندسي متغاير فيما يتعلق بتحويلات التشابه الإقليدية مثل الترجمات والدوران .

إذا تطابقت المتوسطات الهامشية لجميع أنظمة الإحداثيات، فيمكن تسمية موقعها المشترك بـ "المتوسط ​​في جميع الاتجاهات". ^[42] هذا المفهوم ذو صلة بنظرية التصويت بسبب نظرية الناخب المتوسط . عندما توجد، يتطابق المتوسط ​​في جميع الاتجاهات مع المتوسط ​​الهندسي (على الأقل للتوزيعات المنفصلة).

يحدث الوسيط الشرطي في البيئة التي نسعى فيها إلى تقدير متغير عشوائي من متغير عشوائي ، وهو نسخة مشوشة من . يتم إعطاء الوسيط الشرطي في هذا الإعداد بواسطة ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(X|Y=y)=F_{X|Y=y}^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)}$

حيث هو معكوس دالة التوزيع التراكمي الشرطية (أي دالة الكميات الشرطية) لـ . على سبيل المثال، النموذج الشائع هو حيث هو دالة التوزيع التراكمي المعياري المستقلة عن . المتوسط ​​الشرطي هو المقدر البايزي الأمثل: ${\displaystyle t\mapsto F_{X|Y=y}^{-1}(t)}$${\displaystyle x\mapsto F_{X|Y}(x|y)}$${\displaystyle Y=X+Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle m(X|Y=y)=\arg \min _{f}\mathbb {E} \left[|X-f(Y)|\right]}$

من المعروف أنه بالنسبة للنموذج حيث يكون طبيعيًا قياسيًا مستقلًا عن ، يكون المقدر خطيًا إذا وفقط إذا كان غاوسيًا. ^[43]${\displaystyle Y=X+Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

عند التعامل مع متغير منفصل، من المفيد أحيانًا اعتبار القيم المرصودة نقاط منتصف للفواصل المستمرة الأساسية. ومن الأمثلة على ذلك مقياس ليكرت ، حيث يتم التعبير عن الآراء أو التفضيلات على مقياس يحتوي على عدد محدد من الاستجابات المحتملة. إذا كان المقياس يتكون من أعداد صحيحة موجبة، فيمكن اعتبار الملاحظة 3 بمثابة تمثيل للفاصل من 2.50 إلى 3.50. من الممكن تقدير متوسط ​​المتغير الأساسي. إذا كانت 22% من الملاحظات، على سبيل المثال، ذات قيمة 2 أو أقل و55.0% ذات قيمة 3 أو أقل (لذا فإن 33% لها القيمة 3)، فإن المتوسط ​​هو 3 لأن المتوسط ​​هو أصغر قيمة لـ والتي تكون أكبر من النصف. ولكن المتوسط ​​المستكمل يقع في مكان ما بين 2.50 و3.50. نضيف أولاً نصف عرض الفاصل إلى المتوسط ​​للحصول على الحد الأعلى للفاصل المتوسط. ثم نطرح تلك النسبة من عرض الفاصلة التي تساوي نسبة 33% التي تقع فوق علامة 50%. بعبارة أخرى، نقسم عرض الفاصلة بالتناسب مع عدد الملاحظات. في هذه الحالة، يتم تقسيم 33% إلى 28% أقل من المتوسط ​​و5% أعلى منه، لذا نطرح 5/33 من عرض الفاصلة من الحد الأعلى 3.50 لإعطاء متوسط ​​مضاف 3.35. بشكل أكثر رسمية، إذا كانت القيم معروفة، يمكن حساب المتوسط ​​المضاف من ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle m_{\text{int}}=m+w\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {F(m)-{\frac {1}{2}}}{f(m)}}\right].}$

بدلاً من ذلك، إذا كانت هناك درجات أعلى من الفئة المتوسطة في العينة المرصودة ، ودرجات فيها ودرجات أقل منها، فإن المتوسط ​​المتدخل يُعطى بواسطة ${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle m_{\text{int}}=m+{\frac {w}{2}}\left[{\frac {k-i}{j}}\right].}$

بالنسبة للتوزيعات أحادية المتغير المتماثلة حول متوسط ​​واحد، فإن مقدر هودجز-ليمان هو مقدر قوي وفعال للغاية لمتوسط ​​السكان؛ بالنسبة للتوزيعات غير المتماثلة، فإن مقدر هودجز-ليمان هو مقدر قوي وفعال للغاية لمتوسط ​​السكان الزائف ، وهو متوسط ​​التوزيع المتماثل والذي يكون قريبًا من متوسط ​​السكان. ^[44] تم تعميم مقدر هودجز-ليمان على التوزيعات المتعددة المتغيرات. ^[45]

مقدر ثيل -سين هو طريقة للانحدار الخطي القوي يعتمد على إيجاد متوسطات المنحدرات . ^[46]

يعد المرشح المتوسط ​​أداة مهمة لمعالجة الصور ، حيث يمكنه إزالة أي ضوضاء ملحية أو فلفلية من الصور ذات التدرج الرمادي بشكل فعال .

في تحليل المجموعة ، توفر خوارزمية التجميع باستخدام متوسطات k طريقة لتحديد المجموعات، حيث يتم استبدال معيار تعظيم المسافة بين متوسطات المجموعة المستخدم في التجميع باستخدام متوسطات k ، بتعظيم المسافة بين متوسطات المجموعة.

هذه طريقة للانحدار القوي. تعود الفكرة إلى والد في عام 1940 الذي اقترح تقسيم مجموعة من البيانات ثنائية المتغيرات إلى نصفين اعتمادًا على قيمة المعلمة المستقلة : نصف أيسر بقيم أقل من المتوسط ​​ونصف أيمن بقيم أكبر من المتوسط. ^[47] اقترح أخذ متوسطات المتغيرات التابعة والمستقلة للنصف الأيسر والأيمن وتقدير ميل الخط الذي يربط بين هاتين النقطتين. يمكن بعد ذلك تعديل الخط ليناسب غالبية النقاط في مجموعة البيانات. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

اقترح ناير وشريفاستافا في عام 1942 فكرة مماثلة ولكن بدلاً من ذلك دعوا إلى تقسيم العينة إلى ثلاثة أجزاء متساوية قبل حساب متوسطات العينات الفرعية. ^[48] اقترح براون ومود في عام 1951 فكرة استخدام متوسطات عينتين فرعيتين بدلاً من المتوسطات. ^[49] جمع توكي بين هذه الأفكار وأوصى بتقسيم العينة إلى ثلاث عينات فرعية متساوية الحجم وتقدير الخط بناءً على متوسطات العينات الفرعية. ^[50]

أي مقدر غير متحيز للمتوسط ​​يقلل من المخاطر ( الخسارة المتوقعة ) فيما يتعلق بدالة الخسارة الناتجة عن الخطأ التربيعي ، كما لاحظ جاوس . كما يقلل المقدر غير المتحيز للمتوسط ​​من المخاطر فيما يتعلق بدالة الخسارة الناتجة عن الانحراف المطلق ، كما لاحظ لابلاس . تُستخدم دوال الخسارة الأخرى في النظرية الإحصائية ، وخاصة في الإحصاءات القوية .

تم إحياء نظرية مقدرين المتوسط ​​غير المتحيزين بواسطة جورج دبليو براون في عام 1947: ^[51]

يُقال إن تقديرًا لمعلمة أحادية البعد θ غير متحيز للمتوسط ​​إذا كان متوسط ​​توزيع التقدير عند قيمة θ الثابتة يساوي القيمة θ؛ أي أن التقدير يقلل من القيمة بنفس القدر الذي يزيد فيه عن القيمة. ويبدو أن هذا المتطلب يحقق في أغلب الأغراض نفس القدر من متطلبات المتوسط ​​غير المتحيز ولديه الخاصية الإضافية المتمثلة في أنه ثابت في ظل التحويل من واحد إلى واحد.

—  الصفحة 584

تم الإبلاغ عن خصائص أخرى لمقدرين غير متحيزين للمتوسط. ^{[52] [53] [54] [55]}

توجد طرق لبناء مقدرين غير متحيزين للمتوسط ​​وهي طرق مثالية (على نحو مماثل لخاصية الحد الأدنى للتباين للمقدرين غير المتحيزين للمتوسط). توجد مثل هذه الإنشاءات لتوزيعات الاحتمالات التي تحتوي على وظائف احتمالية رتيبة . ^{[56] [57]} أحد هذه الإجراءات هو إجراء مماثل لإجراء راو-بلاكويل للمقدرين غير المتحيزين للمتوسط: الإجراء صالح لفئة أصغر من توزيعات الاحتمالات مقارنة بإجراء راو-بلاكويل ولكن لفئة أكبر من وظائف الخسارة . ^[58]

يبدو أن الباحثين العلميين في الشرق الأدنى القديم لم يستخدموا إحصاءات الملخص بشكل كامل، بل اختاروا بدلاً من ذلك القيم التي توفر أقصى قدر من الاتساق مع نظرية أوسع تدمج مجموعة واسعة من الظواهر. ^[59] داخل المجتمع العلمي المتوسطي (وبعد ذلك الأوروبي)، فإن الإحصاءات مثل المتوسط ​​هي في الأساس تطور في العصور الوسطى وأوائل العصر الحديث. (يظل تاريخ المتوسط ​​خارج أوروبا وسابقاتها غير مدروس نسبيًا).

ظهرت فكرة الوسيط في القرن السادس في التلمود ، وذلك لتحليل التقييمات المتباينة بشكل عادل . ^{[60] [61]} ومع ذلك، لم ينتشر المفهوم إلى المجتمع العلمي الأوسع.

بدلاً من ذلك، فإن أقرب سلف للمتوسط ​​الحديث هو النطاق المتوسط ، الذي اخترعه البيروني ^{[62] : 31  [63]} . من غير الواضح ما إذا كان قد تم نقل عمله إلى العلماء اللاحقين. لقد طبق تقنيته على تحليل المعادن النقدية، ولكن بعد أن نشر عمله، تبنى معظم المحللين القيمة الأقل ملاءمة من نتائجهم، خشية أن يبدو الأمر وكأنهم يغشون . [ ^{62] : 35–8  [64]} ومع ذلك، فإن زيادة الملاحة في البحر خلال عصر الاكتشافات تعني أن ملاحي السفن اضطروا بشكل متزايد إلى محاولة تحديد خط العرض في الطقس غير المواتي ضد الشواطئ المعادية، مما أدى إلى تجدد الاهتمام بالإحصاءات الموجزة. سواء تم إعادة اكتشافه أو اختراعه بشكل مستقل، فإن النطاق المتوسط ​​موصى به للملاحين البحريين في "تعليمات رحلة رالي إلى غيانا، 1595" لهاريوت. ^{[62] : 45–8}

ربما ظهرت فكرة المتوسط ​​لأول مرة في كتاب إدوارد رايت عام 1599 بعنوان "أخطاء معينة في الملاحة" في قسم عن الملاحة بالبوصلة . ^[65] كان رايت مترددًا في تجاهل القيم المقاسة، وربما شعر أن المتوسط ​​- الذي يشتمل على نسبة أكبر من مجموعة البيانات مقارنة بالنطاق المتوسط ​​- كان من المرجح أن يكون صحيحًا. ومع ذلك، لم يقدم رايت أمثلة على استخدام تقنيته، مما يجعل من الصعب التحقق من أنه وصف المفهوم الحديث للمتوسط. ^{[59] [63] [ب]} ظهر المتوسط ​​(في سياق الاحتمالية) بالتأكيد في مراسلات كريستيان هويجنز ، ولكن كمثال على إحصائية غير مناسبة للممارسة الاكتوارية . ^[59]

يرجع أقدم توصية بالوسيط إلى عام 1757، عندما طور روجر جوزيف بوسكوفيتش طريقة انحدار تعتمد على معيار L ¹ وبالتالي تعتمد ضمناً على الوسيط. ^{[59] [66]} في عام 1774، أوضح لابلاس هذه الرغبة: اقترح استخدام الوسيط كمقدر قياسي لقيمة دالة توزيع الاحتمالات اللاحقة . كان المعيار المحدد هو تقليل حجم الخطأ المتوقع؛ حيث هو التقدير و هي القيمة الحقيقية. ولتحقيق هذه الغاية، حدد لابلاس توزيعات كل من متوسط ​​العينة ووسيط العينة في أوائل القرن التاسع عشر. ^{[28] [67]} ومع ذلك، بعد عقد من الزمان، طور جاوس وليجندر طريقة المربعات الصغرى ، والتي تقلل للحصول على المتوسط؛ والتبرير القوي لهذا المقدر بالإشارة إلى تقدير الاحتمالية القصوى بناءً على التوزيع الطبيعي يعني أنه حل في الغالب محل اقتراح لابلاس الأصلي. ^[68]${\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}$${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}$

كان أنطوان أوغستين كورنوت في عام 1843 أول من استخدم ^[69] مصطلح الوسيط ( valeur médiane ) للقيمة التي تقسم توزيع الاحتمالات إلى نصفين متساويين. استخدم جوستاف ثيودور فيشنر الوسيط ( Centralwerth ) في الظواهر الاجتماعية والنفسية. ^[70] وقد تم استخدامه في وقت سابق فقط في علم الفلك والمجالات ذات الصلة. قام جوستاف فيشنر بتعميم الوسيط في التحليل الرسمي للبيانات، على الرغم من أنه تم استخدامه سابقًا من قبل لابلاس، ^[70] وظهر الوسيط في كتاب مدرسي من تأليف FY Edgeworth . ^{[71] استخدم} فرانسيس جالتون مصطلح الوسيط في عام 1881، ^{[72] [73]} بعد أن استخدم سابقًا مصطلحي القيمة الوسطى في عام 1869، والمتوسط ​​في عام 1880. ^{[74] [75]}

• الانحراف المطلق  - الفرق بين القيمة الملاحظة للمتغير والقيمة المرجعيةPages displaying short descriptions of redirect targets
• تحيز المقدر  – خاصية إحصائية
• الاتجاه المركزي  – قيمة إحصائية تمثل مركز أو متوسط ​​التوزيع
• تركيز القياس  – معامل إحصائي لوظائف ليبشيتز  – شكل قوي من الاستمرارية المنتظمةPages displaying short descriptions of redirect targets
• الرسم البياني المتوسط  ​​- رسم بياني بمتوسط ​​لكل ثلاث رؤوس
• متوسط ​​المتوسطات  – خوارزمية المتوسط ​​التقريبي السريع – خوارزمية لحساب المتوسط ​​التقريبي في الزمن الخطي
• البحث عن المتوسط  ​​- طريقة لإيجاد أصغر قيمة kPages displaying short descriptions of redirect targets
• الميل المتوسط  ​​– طريقة إحصائية لتركيب خطPages displaying short descriptions of redirect targets
• نظرية الناخب المتوسط  ​​– نظرية في العلوم السياسيةPages displaying short descriptions of redirect targets
• المتوسط  ​​- كائنات تمثيلية لمجموعة بيانات أو مجموعة داخل مجموعة بيانات يكون مجموع الاختلافات بينها وبين جميع الكائنات في المجموعة ضئيلاً Pages displaying wikidata descriptions as a fallbacks - تعميم المتوسط ​​في الأبعاد الأعلى
• المتوسط ​​المتحرك#المتوسط ​​المتحرك  – نوع من القياس الإحصائي على مجموعات فرعية من مجموعة البيانات
• الانحراف المطلق المتوسط  ​​- مقياس إحصائي للتباين

• "الوسيط (في الإحصاء)"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• المتوسط ​​الحسابي المرجح لجميع ملاحظات العينة
• حاسبة على الانترنت
• حساب المتوسط
• مشكلة تتعلق بالمتوسط ​​والوسيط والمنوال.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الوسيط الإحصائي". MathWorld .
• برنامج نصي بلغة بايثون لحساب المتوسطات وقياسات عدم المساواة في الدخل
• الحساب السريع للمتوسط ​​عن طريق التجميع المتتالي
• "المتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال والانحراف"، برنامج تعليمي تم تصميمه لطلاب علم النفس في السنة الأولى بجامعة أكسفورد، بناءً على مثال عملي.
• مسألة الرياضيات المعقدة في اختبار SAT والتي أخطأ فيها حتى مجلس الكلية: أندرو دانييلز في مجلة Popular Mechanics

تتضمن هذه المقالة مواد من Median لتوزيعها على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة للمؤلف/المرخصة بالمثل .