عمق توكي

في الإحصاء والهندسة الحسابية ، يُعد عمق توكي ^{[ 1 ]} أو عمق نصف الفضاء مقياسًا لعمق نقطة في مجموعة نقاط ثابتة. سُمّي هذا المفهوم نسبةً إلى مخترعه، جون توكي . بفرض وجود مجموعة من n نقطة${\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$في الفضاء ذي الأبعاد d ، فإن عمق توكي للنقطة x هو أصغر جزء (أو عدد) من النقاط في أي نصف فضاء مغلق يحتوي على x . 

يقيس عمق توكي مدى تطرف نقطة ما بالنسبة إلى سحابة النقاط. ويُستخدم لتعريف مخطط الحقيبة ، وهو تعميم ثنائي المتغيرات لمخطط الصندوق .

على سبيل المثال، بالنسبة لأي نقطة قصوى من الغلاف المحدب، هناك دائمًا نصف فضاء (مغلق) يحتوي فقط على تلك النقطة، وبالتالي فإن عمق توكي الخاص به ككسر هو 1/ن.

عمق توكي للنقطة x ، أو عمق توكي x بالنسبة لسحابة النقاط${\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}}$، ويُعرَّف على النحو التالي

$$$

أين${\displaystyle \mathbf {1} \{\cdot \}}$هي دالة المؤشر التي تساوي 1 إذا كانت وسيطتها صحيحة أو 0 خلاف ذلك.

عمق توكي السكاني لـ x بالنسبة للتوزيع${\displaystyle P_{X}}$يكون

${\displaystyle D(x;P_{X})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(Xx)\geq 0 ),}$

حيث X متغير عشوائي يتبع التوزيع${\displaystyle P_{X}}$.

إن النقطة المركزية c لمجموعة نقاط بحجم n ليست سوى نقطة ذات عمق Tukey لا يقل عن n / ( d  +  1).

• نقطة المركز (الهندسة)