نقطة المركز (الهندسة)

في الإحصاء والهندسة الحسابية ، يُعد مفهوم النقطة المركزية تعميمًا للوسيط ليشمل البيانات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى . فعند وجود مجموعة من النقاط في فضاء ذي بُعد d ، تُعرَّف النقطة المركزية بأنها نقطة بحيث يقسم أي مستوى فائق يمر بها مجموعة النقاط إلى مجموعتين فرعيتين متساويتين تقريبًا: يجب أن تحتوي المجموعة الأصغر على ما لا يقل عن 1/( d  +  1) من النقاط. وكما هو الحال مع الوسيط، لا يشترط أن تكون النقطة المركزية إحدى نقاط البيانات. فكل مجموعة نقاط غير فارغة (بدون تكرارات) تحتوي على نقطة مركزية واحدة على الأقل.

من المفاهيم ذات الصلة الوثيقة عمق توكي لنقطة (أقل عدد من نقاط العينة على جانب واحد من مستوى فائق يمر بالنقطة) ووسيط توكي لمجموعة نقاط (نقطة تُعظّم عمق توكي). النقطة المركزية هي نقطة عمقها على الأقل n /( d  +  1)، ويجب أن يكون وسيط توكي نقطة مركزية، ولكن ليس كل نقطة مركزية وسيط توكي. سُمّي كلا المصطلحين نسبةً إلى جون توكي .

للاطلاع على تعميم مختلف للوسيط إلى أبعاد أعلى، انظر الوسيط الهندسي .

يمكن الحصول على برهان بسيط لوجود نقطة مركزية باستخدام نظرية هيلي . لنفترض وجود n نقطة، ولننظر إلى عائلة أنصاف الفضاءات المغلقة التي تحتوي على أكثر من dn /( d  +  1) نقطة. يُستبعد أقل من n /( d  +  1) نقطة من أيٍّ من هذه الأنصاف، لذا فإن تقاطع أي مجموعة جزئية من d  +  1 من هذه الأنصاف يجب أن يكون غير فارغ. وبحسب نظرية هيلي، فإن تقاطع جميع هذه الأنصاف يجب أن يكون غير فارغ أيضًا. أي نقطة في هذا التقاطع هي بالضرورة نقطة مركزية.

بالنسبة للنقاط في المستوى الإقليدي ، يمكن إنشاء نقطة مركزية في زمن خطي . ^{[ 1 ]} في أي بُعد d ، يمكن إنشاء وسيط توكي (وبالتالي نقطة مركزية أيضًا) في زمن O( ^nd - ^{1 +}    n log n ) . ^{[ 2 ]}   

A randomized algorithm that repeatedly replaces sets of d + 2 points by their Radon point can be used to compute an approximation to a centerpoint of any point set, in the sense that its Tukey depth is linear in the sample set size, in an amount of time that is polynomial in the dimension.^[3][4]