وحدة موحدة

في الجبر المجرد ، يُطلق على الوحدة النمطية اسم الوحدة النمطية المنتظمة إذا كان تقاطع أي وحدتين نمطيتين فرعيتين غير صفريتين غير صفري. وهذا يُكافئ القول بأن كل وحدة نمطية فرعية غير صفرية من M هي وحدة نمطية فرعية أساسية . ويمكن تسمية الحلقة بحلقة منتظمة يمينًا (يسارًا) إذا كانت منتظمة كوحدة نمطية يمينًا (يسارًا) على نفسها.

استخدم ألفريد غولدي مفهوم الوحدات المنتظمة لبناء مقياس بُعد للوحدات، يُعرف الآن بالبُعد المنتظم (أو بُعد غولدي ) للوحدة. يُعمم البُعد المنتظم بعض جوانب مفهوم بُعد الفضاء المتجهي ، وليس كلها . كان البُعد المنتظم المحدود فرضية أساسية للعديد من نظريات غولدي، بما في ذلك نظرية غولدي التي تُحدد الحلقات ذات الرتب اليمنى في حلقة شبه بسيطة . تُعمم الوحدات ذات البُعد المنتظم المحدود كلاً من الوحدات الأرتينية والوحدات النويثرية .

في الأدبيات، يُشار إلى البُعد الموحد أيضًا ببساطة باسم بُعد الوحدة أو رتبة الوحدة . يجب عدم الخلط بين البُعد الموحد والمفهوم ذي الصلة، والذي يعود أيضًا إلى غولدي، وهو الرتبة المُخفَّضة للوحدة.

لا يُحفظ كون الوحدة نمطية منتظمة عادةً بواسطة الضرب المباشر أو وحدات القسمة. يحتوي المجموع المباشر لوحدتين نمطيتين منتظمتين غير صفريتين دائمًا على وحدتين فرعيتين تقاطعهما يساوي صفرًا، وهما وحدتا المجموع الأصليتان. إذا كانت _N1 و N2 وحدتين فرعيتين فعليتين لوحدة نمطية منتظمة M، _ولم تحتوي أي من الوحدتين الفرعيتين على الأخرى، فإن${\displaystyle M/(N_{1}\cap N_{2})}$لا يكون موحدًا، لأن

${\displaystyle N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}.}$

الوحدات أحادية التسلسل منتظمة، والوحدات المنتظمة بالضرورة غير قابلة للتحليل المباشر. أي مجال تبديلي هو حلقة منتظمة، لأنه إذا كان a و b عنصرين غير صفريين في مثاليين، فإن حاصل ضربهما ab يكون عنصرًا غير صفري في تقاطع المثاليين.

تُتيح النظرية التالية تعريف بُعد على الوحدات النمطية باستخدام الوحدات النمطية الفرعية المنتظمة. وهي نسخة نمطية من نظرية فضاء المتجهات:

نظرية: إذا كان U _i و V _j عنصرين من مجموعة منتهية من الوحدات الفرعية المنتظمة لوحدة نمطية M بحيث${\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}$و${\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}V_{i}}$إذا كان كلاهما وحدات فرعية أساسية من M ، فإن n  = m . 

يُعرَّف البُعد المنتظم للوحدة النمطية M ، ويرمز له بـ u.dim( M )، بأنه n إذا وُجدت مجموعة منتهية من الوحدات النمطية الفرعية المنتظمة U _i بحيث${\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}$يُعدّ u.dim(M) وحدةً فرعيةً أساسيةً من M. تضمن النظرية السابقة أن هذا n مُعرَّفٌ تعريفًا جيدًا. إذا لم توجد مجموعةٌ منتهيةٌ من هذه الوحدات الفرعية، فإن u.dim( M ) يُعرَّف بأنه ∞. عند الحديث عن البُعد المنتظم لحلقة، من الضروري تحديد ما إذا كان القياس يتم عن طريق u.dim( _RR ) أو u.dim( _RR ). من الممكن أن يكون هناك بُعدان منتظمان مختلفان على الجانبين المتقابلين للحلقة.

إذا كانت N وحدة فرعية من M ، فإن u.dim( N )  ≤  u.dim( M )، ويتحقق التساوي تحديدًا عندما تكون N وحدة فرعية أساسية من M. وبالتحديد، فإن M وغلافها الحقني E ( M ) لهما دائمًا نفس البعد المنتظم. كما أن u.dim( M )  = n إذا وفقط إذا كان E ( M ) مجموعًا مباشرًا لـ n وحدة حقنية غير قابلة للتحليل . 

يمكن إثبات أن u.dim( M )  =  ∞ إذا وفقط إذا احتوت M على مجموع مباشر لانهائي من الوحدات الفرعية غير الصفرية. وبالتالي، إذا كانت M إما نوثرية أو أرتينية، فإن لها بُعدًا منتظمًا محدودًا. إذا كان طول تركيب M محدودًا k ، فإن u.dim( M ) ≤ k، ويتحقق التساوي تحديدًا عندما تكون M وحدة شبه بسيطة . ( لام، 1999 )  

من النتائج الشائعة أن المجال النويثري الأيمن هو مجال أور يميني . في الواقع، يمكننا استخلاص هذه النتيجة من نظرية أخرى تُنسب إلى غولدي، والتي تنص على أن الشروط الثلاثة التالية متكافئة بالنسبة للمجال D :

• الخيار د صحيح يا خام
• u.dim( D _D )  =  1
• u.dim( D _D )  <  ∞

المفهوم المقابل للوحدة المنتظمة هو مفهوم الوحدة المجوفة : يُقال إن الوحدة M مجوفة _إذا كانت N1 و N2 وحدتين _{فرعيتين} من M بحيث${\displaystyle N_{1}+N_{2}=M}$إذاً، إما أن N ₁  = M أو N ₂ = M. وبالمثل، يمكن القول أيضاً أن كل وحدة فرعية مناسبة من M هي وحدة فرعية زائدة .   

تسمح هذه الوحدات أيضًا بوجود نظير للبعد الموحد، يُسمى البعد الموحد المشترك ، أو البعد المجوف ، أو بعد غولدي المزدوج . وقد أُجريت دراسات حول الوحدات المجوفة والبعد الموحد المشترك في ( فلوري، 1974 ) ، و ( رايتر، 1981 ) ، و ( تاكيوتشي، 1976 ) ، و ( فاراداراجان، 1979 ) ، و ( مياشيتا، 1966 ) . ويُنبّه القارئ إلى أن فلوري استكشف طرقًا مختلفة لثنائية بعد غولدي. ويمكن القول إن صيغ فاراداراجان وتاكيوتشي ورايتر للبعد المجوف هي الأكثر طبيعية. وقدّم غرزيسزوك وبوتشيلوفسكي في ( غريزيسزوك وبوتشيلوفسكي ، 1984 ) تعريفًا للبعد الموحد للشبكات المعيارية، بحيث يكون البعد المجوف للوحدة هو البعد الموحد لشبكتها المزدوجة من الوحدات الفرعية.

من المسلّم به دائمًا أن الوحدة المتولدة توليدًا محدودًا لها بُعد منتظم محدود. وهذا يثير التساؤل: هل للوحدة المتولدة توليدًا محدودًا بُعد مجوف محدود؟ والإجابة هي لا: فقد بُرهن في ( ساراث وفاراداراجان ، 1979 ) أنه إذا كانت للوحدة M بُعد مجوف محدود، فإن M / J ( M ) هي وحدة أرتينية شبه بسيطة . توجد حلقات عديدة ذات عنصر محايد لا تكون فيها R / J ( R ) وحدة أرتينية شبه بسيطة، وإذا أُعطيت حلقة R من هذا النوع ، فإن R نفسها متولدة توليدًا محدودًا ولكن لها بُعد مجوف لانهائي.

أظهر ساراث وفاراداراجان لاحقًا أن كون M / J ( M ) أرتينيًا شبه بسيط يكفي أيضًا لكي يكون لـ M بُعد مجوف محدود بشرط أن يكون J ( M ) وحدة فرعية زائدة من M. ^{[ 1 ]} وهذا يدل على أن الحلقات R ذات البُعد المجوف المحدود سواء كانت وحدة R يسارية أو يمينية هي بالضبط الحلقات شبه المحلية .

ومن النتائج الإضافية لنتيجة فاراداراجان أن الحلقة R _R لها بُعد مجوف محدود تحديدًا عندما تكون الحلقة _R R كذلك. وهذا يُخالف حالة البُعد المنتظم المحدود، إذ من المعروف أن الحلقة قد يكون لها بُعد منتظم محدود على أحد جانبيها وبُعد منتظم غير محدود على الجانب الآخر.

• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 

• فلوري، باتريك (1974)، "ملاحظة حول مضاعفة بُعد غولدي"، النشرة الرياضية الكندية ، 17 (4): 511-517 ، doi : 10.4153/cmb-1974-090-0
• جولدي، أ. و. (1958)، "بنية الحلقات الأولية في ظل شروط السلسلة التصاعدية"، وقائع جمعية لندن الرياضية ، السلسلة 3، 8 (4): 589-608 ، doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 ، ISSN 0024-6115 ، MR 0103206  
• جولدي، أ. و. (1960)، "حلقات شبه أولية ذات شرط أقصى"، وقائع جمعية لندن الرياضية ، السلسلة 3، 10 : 201-220 ، doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 ، ISSN 0024-6115 ، MR 0111766  
• غريزيسزوك، ب.؛ بوتشيلوفسكي، إ. (1984)، "حول بُعد غولدي وبُعد غولدي المزدوج"، مجلة الجبر البحت والتطبيقي ، 31 ( 1-3 ): 47-55 ، doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
• حنا، أ.؛ شمس الدين، أ. (1984)، الازدواجية في فئة الوحدات: تطبيقات ، راينهارد فيشر، ISBN 978-3889270177
• مياشيتا، ي. (1966)، "الوحدات شبه الإسقاطية، والوحدات المثالية، ونظرية للشبكات المعيارية"، مجلة كلية العلوم في هوكايدو، السلسلة الأولى ، 19 : 86-110 ، MR 0213390 
• ريتر، إي . (1981)، "معادلة ثنائية لشرط سلسلة غولدي الصاعدة على المجاميع المباشرة للوحدات الفرعية"، نشرة جمعية كلكتا الرياضية ، 73 : 55-63
• ساراث، ب.؛ فاراداراجان، ك. (1979)، "البعد الذهبي المزدوج الثاني"، الاتصالات في الجبر ، 7 (17): 1885-1899 ، doi : 10.1080/00927877908822434
• تاكيوتشي، ت. (1976)، "حول الوحدات ذات الأبعاد المحدودة"، مجلة هوكايدو الرياضية ، 5 (1): 1-43 ، doi : 10.14492/hokmj/1381758746 ، ISSN 0385-4035 ، MR 0213390  
• فاراداراجان، ك. (1979)، "بعد غولدي المزدوج"، مجلة الجبر ، 7 (6): 565-610 ، doi : 10.1080/00927877908822364 ، ISSN 0092-7872 ، MR 0524269