ملحق أساسي

في الرياضيات ، وتحديداً نظرية الوحدات ، بالنظر إلى حلقة${\displaystyle R}$و${\displaystyle R}$- وحدة${\displaystyle M}$مع وحدة فرعية${\displaystyle N}$، الوحدة${\displaystyle M}$ويُقال إنه امتداد أساسي لـ${\displaystyle N}$(أو${\displaystyle N}$ويُقال إنها وحدة فرعية أساسية أو وحدة فرعية كبيرة من${\displaystyle M}$) إذا كان لكل وحدة فرعية H من${\displaystyle M}$،

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle H=\{0\}\,}$

كحالة خاصة، يُعدّ أحد المبادئ الأساسية لليسار هو${\displaystyle R}$هو مثال يساري أساسي كجزء فرعي من الوحدة اليسارية${\displaystyle _{R}R}$. يمتلك المثالي الأيسر تقاطعًا غير صفري مع أي مثالي أيسر غير صفري من${\displaystyle R}$وبالمثل، فإن المثل الأعلى الأساسي للحقوق هو بالضبط وحدة فرعية أساسية من الحقوق${\displaystyle R}$وحدة نمطية${\displaystyle R_{R}}$.

تتضمن الرموز المعتادة للامتدادات الأساسية التعبيرين التاليين:

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$( لام 1999 ) ، و${\displaystyle N\trianglelefteq M}$( أندرسون وفولر 1992 )

المفهوم المزدوج للوحدة الفرعية الأساسية هو مفهوم الوحدة الفرعية الزائدة (أو الوحدة الفرعية الصغيرة ). الوحدة الفرعية${\displaystyle N}$يعتبر زائداً عن الحاجة إذا كان ذلك لأي وحدة فرعية أخرى${\displaystyle H}$،

${\displaystyle N+H=M\,}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle H=M\,}$.

تتضمن الرموز المعتادة للوحدات الفرعية الزائدة ما يلي:

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$( لام 1999 ) ، و${\displaystyle N\ll M}$( أندرسون وفولر 1992 )

فيما يلي بعض الخصائص الأساسية للامتدادات الجوهرية، كما هو موضح في الترميز المُقدم أعلاه. ليكن${\displaystyle M}$أن تكون وحدة نمطية، و${\displaystyle K}$،${\displaystyle N}$و${\displaystyle H}$أن تكون وحدات فرعية من${\displaystyle M}$مع${\displaystyle K\subseteq N}$

• بوضوح${\displaystyle M}$هي وحدة فرعية أساسية من${\displaystyle M}$، والوحدة الفرعية الصفرية لوحدة غير صفرية ليست ضرورية أبدًا.
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$و${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$و${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

باستخدام ليمّة زورن، من الممكن إثبات حقيقة مفيدة أخرى: لأي وحدة فرعية${\displaystyle N}$ل${\displaystyle M}$يوجد وحدة فرعية${\displaystyle C}$بحيث

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$.

علاوة على ذلك، فإن الوحدة التي لا تحتوي على امتداد أساسي صحيح (أي إذا كانت الوحدة أساسية في وحدة أخرى، فإنها تساوي تلك الوحدة) هي وحدة حقنية . ومن ثم، يمكن إثبات أن لكل وحدة M امتدادًا أساسيًا أقصى E ( M )، يُسمى الغلاف الحقني لـ M. الغلاف الحقني هو بالضرورة وحدة حقنية، وهو فريد حتى التشاكل. كما أن الغلاف الحقني هو أصغر وحدة، بمعنى أن أي وحدة حقنية أخرى تحتوي على M تحتوي على نسخة من E ( M ).

تتحول العديد من الخصائص إلى وحدات فرعية زائدة، ولكن ليس كل شيء. لنفترض ذلك مرة أخرى${\displaystyle M}$أن تكون وحدة نمطية، و${\displaystyle K}$،${\displaystyle N}$و${\displaystyle H}$أن تكون وحدات فرعية من${\displaystyle M}$مع${\displaystyle K\subseteq N}$.

• الوحدة الفرعية الصفرية زائدة دائمًا، والوحدة غير الصفرية${\displaystyle M}$لا يكون الأمر زائداً عن الحاجة في حد ذاته.
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$و${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$و${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$.

بما أن كل وحدة نمطية يمكن تمثيلها عبر أحادي الشكل الذي تكون صورته أساسية في وحدة نمطية حقنية (غلافها الحقني)، فقد يتساءل المرء عما إذا كانت العبارة الثنائية صحيحة، أي لكل وحدة نمطية M ، هل توجد وحدة نمطية إسقاطية P وتماثل شامل من P إلى M تكون نواته زائدة ؟ (يُطلق على P هذا اسم غطاء إسقاطي ). الإجابة هي " لا " بشكل عام، والفئة الخاصة من الحلقات التي تحتوي جميع وحداتها النمطية اليمنى على أغطية إسقاطية هي فئة الحلقات الكاملة اليمنى .

أحد أشكال ليمّة ناكاياما هو أن J( R ) M هو وحدة فرعية زائدة عن الحاجة من M عندما تكون M وحدة مولدة بشكل نهائي على R.

يمكن تعميم هذا التعريف ليشمل أي فئة أبيلية .${\displaystyle \mathbf {C} }$الامتداد الأساسي هو أحادي الشكل${\displaystyle u\colon M\to E}$بحيث يكون لكل عنصر فرعي غير صفري${\displaystyle s\colon N\to E}$منتج الألياف${\displaystyle N\times _{E}M\neq 0}$.

في فئة عامة، يكون التشكل f  : X → Y أساسيًا إذا كان أي تشكل g  : Y → Z أحادي التشكل إذا وفقط إذا كان g ° f أحادي التشكل ( بورست 1981 ، مقدمة) . باعتبار g تشكل الهوية لـ Y، يتضح أن التشكل الأساسي f يجب أن يكون أحادي التشكل.

إذا كان للفضاء X غلافٌ أحاديّ Y ، فإن Y هو أكبر امتداد أساسي للفضاء X ( بورست، 1981 ، مقدمة ( 5 )) . لكن أكبر امتداد أساسي قد لا يكون غلافًا أحاديّ. في الواقع، في فئة فضاءات T1 _{والخرائط} المتصلة، لكل كائن امتداد أساسي أكبر فريد، لكن لا يوجد فضاء يحتوي على أكثر من عنصر واحد له غلاف أحاديّ ( هوفمان، 1981 ) .

• الوحدات الفرعية الكثيفة هي نوع خاص من الوحدات الفرعية الأساسية

• أندرسون، إف دبليو؛ فولر، كيه آر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  13 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-97845-3
• ديفيد أيزنبد ، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية، رقم ISBN 0-387-94269-6
• هوفمان، رودولف-إي. (1981)، "الامتدادات الأساسية لفضاءات T1 _" ، النشرة الرياضية الكندية ، 24 (2): 237-240 ، doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• ميتشل، باري (1965). نظرية الفئات . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  17. دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-124-99250-4MR 0202787 .​ القسم الثالث.2
• بورست، هانز إي. (1981)، “توصيف الأظرف الحقنية”، Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 ( 4): 399–406