نظرية فان دير فاردن

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 56 صور
الموسوعة الحرة

نظرية فان دير فاردن هي إحدى نظريات نظرية رامزي . تنص هذه النظرية على أنه لأي عددين صحيحين موجبين r و k ، يوجد عدد N بحيث إذا لُوِّنت الأعداد الصحيحة {1، 2، ...، N } بلون واحد من بين r لونًا مختلفًا، فإنه يوجد على الأقل k عددًا صحيحًا في متتالية حسابية عناصرها من نفس اللون. أصغر عدد N من هذا النوع هو عدد فان دير فاردن W ( r , k )، نسبةً إلى عالم الرياضيات الهولندي ب. ل. فان دير فاردن . [ 1 ] 

تم تخمين هذا من قبل بيير جوزيف هنري بوديت في عام 1921. وسمع وايردن عنه في عام 1926 ونشر برهانه في عام 1927 بعنوان Beweis einer Baudetschen Vermutung [إثبات حدسية بوديت] . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

مثال

على سبيل المثال، عندما تكون قيمة r تساوي 2، يكون لديك لونان، ولنقل الأحمر والأزرق . تكون قيمة W (2, 3) أكبر من 8، لأنه يمكنك تلوين الأعداد الصحيحة من المجموعة {1، ...، 8} على النحو التالي :

 1  2  3  4  5  6  7  8 
 ب  R  R  ب  ب  R  R  ب 

ولا تُشكّل ثلاثة أعداد صحيحة من نفس اللون متتالية حسابية . ولكن لا يمكنك إضافة عدد صحيح تاسع إلى النهاية دون تكوين متتالية حسابية. فإذا أضفت العدد 9 باللون الأحمر ، فإن الأعداد 3 و 6 و 9 باللون الأحمر تُشكّل متتالية حسابية. وبالمثل، إذا أضفت العدد 9 باللون الأزرق ، فإن الأعداد 1 و 5 و 9 باللون الأزرق تُشكّل متتالية حسابية.

في الواقع، لا توجد طريقة لتلوين الأرقام من 1 إلى 9 دون إنشاء هذا التتابع (ويمكن إثبات ذلك من خلال النظر في الأمثلة). لذلك، فإن W (2, 3) يساوي 9.

مشكلة مفتوحة

يُعدّ تحديد قيم W ( r , k ) لمعظم قيم r و k مسألةً مفتوحة . لا يُقدّم برهان النظرية سوى حدٍّ أعلى. ففي حالة r = 2 و k = 3، على سبيل المثال، تُبيّن الحجة الواردة أدناه أنه يكفي تلوين الأعداد الصحيحة {1، ...، 325} بلونين لضمان وجود متتالية حسابية أحادية اللون بطول 3. ولكن في الواقع، يُعدّ الحدّ 325 غير دقيق؛ فالحد الأدنى المطلوب من الأعداد الصحيحة هو 9 فقط. أي تلوين للأعداد الصحيحة {1، ...، 9} سيحتوي على ثلاثة أعداد صحيحة متساوية التباعد من لون واحد.

عندما يكون r = 3 و k = 3، فإن الحد الذي تُعطيه النظرية هو 7(2.37 + 1 ) (2.37 + 1 ) + 1)، أو ما يُقارب 4.22 × 10^ 14616 . ولكن في الواقع، لا تحتاج إلى هذا العدد الكبير من الأعداد الصحيحة لضمان وجود متتالية أحادية اللون بطول 3؛ بل تحتاج فقط إلى 27. (ومن الممكن تلوين المجموعة {1، ...، 26} بثلاثة ألوان بحيث لا توجد متتالية حسابية أحادية اللون بطول 3؛ على سبيل المثال:      

 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 
 R  R  جي  جي  R  R  جي  ب  جي  ب  ب  R  ب  R  R  جي  R  جي  جي  ب  R  ب  ب  جي  ب  جي 

تُعدّ محاولة اختزال الحد الأعلى العام إلى أي دالة "معقولة" مسألة مفتوحة. وقد عرض رونالد غراهام جائزة قدرها 1000 دولار أمريكي لإثبات أن W (2, k ) < 2k² . [ 5 ] بالإضافة إلى ذلك، عرض جائزة قدرها 250 دولارًا أمريكيًا لإثبات حدسه الذي يتضمن أعداد فان دير فاردن غير القطرية الأكثر عمومية ، والذي ينص على أن W ( 2; 3, k ) ≤ kO (1) ، مع الإشارة إلى أن الأدلة العددية تشير إلى أن W (2; 3, k ) = k² + o(1) . وقد دحض بن غرين هذا الحدس الأخير، وأثبت أمثلة مضادة فائقة متعددة الحدود لـ W (2; 3, k ) < kr لأي قيمة لـ r . [ 6 ] ويُعزى أفضل حد أعلى معروف حاليًا إلى تيموثي غاورز ، [ 7 ] الذي أثبت

دبليو(ر،ك)≤22ر22ك+9،{\displaystyle W(r,k)\leq 2^{2^{r^{2^{2^{k+9}}}}},}

من خلال إثبات نتيجة مماثلة لنظرية سيميريدي ، وهي صيغة أقوى من نظرية فان دير فاردن. وكان الحد الأكثر شهرة سابقًا منسوبًا إلى ساهارون شيلاه ، وقد تم التوصل إليه من خلال إثبات نتيجة لنظرية هيلز-جويت ، وهي تعزيز آخر لنظرية فان دير فاردن.

أفضل حد أدنى معروف حاليًا لـدبليو(2،ك){\displaystyle W(2,k)}هل هذا ينطبق على جميع الإيجابيات؟ε{\displaystyle \varepsilon }لدينادبليو(2،ك)>2ك/كε{\displaystyle W(2,k)>2^{k}/k^{\varepsilon }}، لجميع القيم الكبيرة بما فيه الكفايةك{\displaystyle k}[ 8 ]​

إثبات نظرية فان دير وايردن (في حالة خاصة)

يعود الفضل في البرهان التالي إلى رون جراهام ، وبي إل روتشيلد، وجويل سبنسر . [ 9 ] يقدم خينشين [ 10 ] برهانًا بسيطًا إلى حد ما للنظرية دون تقدير W ( r , k ). 

البرهان في حالة W (2, 3)

الجدول W (2، 3)
بc ( n ): لون الأعداد الصحيحة
012345
 R  R  ب  R  ب 
1678910
 ب  R  R  ب  R 
......
64321322323324325
 R  ب  R  ب  R 

سنثبت الحالة الخاصة المذكورة أعلاه، وهي أن W (2, 3) ≤ 325. ليكن c ( n ) تلوينًا للأعداد الصحيحة {1, ..., 325}. سنجد ثلاثة عناصر من {1, ..., 325} في متتالية حسابية لها نفس اللون.

قسّم المجموعة {1، ...، 325} إلى 65 مجموعة فرعية {1، ...، 5}، {6، ...، 10}، ...، {321، ...، 325}، بحيث تكون كل مجموعة فرعية على الصورة {5b + 1، ...، 5b + 5}، حيث b عدد صحيح ينتمي إلى المجموعة {0، ...، 64}. بما أن كل عدد صحيح مُلوّن إما بالأحمر أو الأزرق ، فإن كل مجموعة فرعية مُلوّنة بإحدى 32 طريقة مختلفة. وفقًا لمبدأ التوزيع ، توجد مجموعتان فرعيتان من بين أول 33 مجموعة فرعية مُلوّنتان بنفس اللون. أي، يوجد عددان صحيحان b1 و b2 ، كلاهما ينتمي إلى المجموعة {0، ...، 32}، بحيث

ج (5 ب 1 + ك ) = ج (5 ب 2 + ك )

لكل k في المجموعة {1، ...، 5}. من بين الأعداد الصحيحة الثلاثة 5b1 + 1، و5 b1 + 2، و5b1 + 3 ، يجب أن يكون هناك عددان على الأقل من نفس اللون. (مبدأ التوزيع هنا). لنُسمِّ هذين العددين 5b1 + a1 و 5 b1 + a2 ، حيث a1 تنتمي إلى المجموعة { 1 ، 2، 3} و a1 < a2 . لنفترض ( دون فقدان للعمومية ) أن هذين العددين صحيحان باللون الأحمر . (إذا كانا أزرقين ، فما عليك سوى تبديل " أحمر " و" أزرق " فيما يلي).

لنفترض أن a 3 = 2 a 2 − a 1. إذا كان 5 b 1 + a 3 أحمر ، فإننا نكون قد وجدنا المتتابعة الحسابية: 5 b 1 + a i كلها حمراء .    

وإلا، فإن 5b1 + a3 أزرق . بما أن a3 ≤ 5، فإن 5b1 + a3 يقع في المربع b1 ، وبما أن المربع b2 ملون بنفس اللون ، فإن 5b2 + a3 أزرق أيضًا .

لنفترض الآن أن b³ = 2b² - b¹ . إذن b³ ≤ 64. لننظر إلى العدد الصحيح 5b³ + a³ ، والذي يجب أن يكون ≤ 325. ما لونه؟  

إذا كان لونها أحمر ، فإن 5b1 + a1 ، و 5 b2 + a2 ، و5 b3 + a3 تُشكّل متتالية حسابية حمراء . أما إذا كان لونها أزرق، فإن 5b1 + a3 ، و 5 b2 + a3 ، و 5 b3 + a3 تُشكّل متتالية حسابية زرقاء . في كلتا الحالتين ، انتهينا .

البرهان في حالة W (3, 3)

الجدول W(3, 3) g =2·3 7·(2·3 7  +  1)  ، m =7(2·3 7  +  1)
بc ( n ): لون الأعداد الصحيحة
0123...م
 جي  R  R ... ب 
1م + 1م + 2م + 3...2 متر
 ب  R  جي ... R 
......
زجم + 1جم + 2جم + 3...( g + 1) m
 ب  R  ب ... جي 

يمكن تقديم حجة مماثلة لإثبات أن W (3, 3) ≤ 7(2·37 + 1) (2·37 + 1 ) + 1. يبدأ الأمر بتقسيم الأعداد الصحيحة إلى 2·37 + 1 (2·37 +  1  )  +  1 مجموعة، كل مجموعة تحتوي على 7(2·37 +  1 ) عددًا  صحيحًا؛ من بين أول 3 مجموعات ،   يجب أن تكون مجموعتان متطابقتين في اللون.  

قسّم كلًا من هاتين المجموعتين إلى 2 × 3 × 7 + 1 مجموعة فرعية، كل منها تحتوي على 7 أعداد صحيحة؛ من بين المجموعات الفرعية الثلاث الأولى في  كل  مجموعة، يجب أن تكون مجموعتان فرعيتان متطابقتين في اللون. ضمن كل مجموعة فرعية متطابقة، يجب أن يكون اثنان من الأعداد الصحيحة الأربعة الأولى من نفس اللون، ولنقل أحمر ؛ وهذا يعني إما وجود سلسلة حمراء أو وجود عنصر بلون مختلف، ولنقل أزرق ، في المجموعة الفرعية نفسها.

بما أن لدينا مجموعتين فرعيتين متطابقتين في اللون، فهناك مجموعة فرعية ثالثة، لا تزال ضمن المجموعة نفسها، تحتوي على عنصر، إذا كان أحمر أو أزرق ، فإنه يُكمل سلسلة حمراء أو زرقاء ، وذلك من خلال بناء مماثل لبناء W (2, 3). لنفترض أن هذا العنصر أخضر . بما أن هناك مجموعة متطابقة في اللون، فلا بد أنها تحتوي على نسخ من العناصر الحمراء والزرقاء والخضراء التي حددناها؛ يمكننا الآن إيجاد زوج من العناصر الحمراء ، وزوج من العناصر الزرقاء ، وزوج من العناصر الخضراء التي "تركز " على نفس العدد الصحيح ، بحيث أياً كان لونها، فإنها تُكمل سلسلة.

البرهان في الحالة العامة

يعتمد برهان W (2, 3) أساسًا على إثبات أن W (32, 2) ≤ 33. نقسم الأعداد الصحيحة {1, ..., 325} إلى 65 "مجموعة"، يمكن تلوين كل منها بـ 32 طريقة مختلفة، ثم نُبين أن مجموعتين من المجموعات الـ 33 الأولى يجب أن تكونا بنفس اللون، وأن هناك مجموعة ملونة بطريقة معاكسة. وبالمثل، يعتمد برهان W (3, 3) على إثبات أن

دبليو(37(2⋅37+1)،2)≤37(2⋅37+1)+1.{\displaystyle W(3^{7(2\cdot 3^{7}+1)},2)\leq 3^{7(2\cdot 3^{7}+1)}+1.}

وباستخدام الاستقراء المزدوج على عدد الألوان وطول التتابع، يتم إثبات النظرية بشكل عام.

دليل

تتكون المتتابعة الحسابية ذات الأبعاد D من أعداد على الشكل التالي :

أ+أنا1s1+أنا2s2+⋯+أنادsد{\displaystyle a+i_{1}s_{1}+i_{2}s_{2}+\cdots +i_{D}s_{D}}

حيث a هي نقطة الأساس، و s هي أحجام الخطوات الموجبة، و i تتراوح من 0 إلى L  −  1. يكون AP ذو البعد d متجانسًا لبعض التلوين عندما يكون كله بنفس اللون.

المتتابعة الحسابية ذات الأبعاد D مع مزايا هي جميع الأعداد من الشكل المذكور أعلاه، ولكن مع إضافة بعض "حدود" المتتابعة الحسابية، أي أن بعض الأسس i يمكن أن تساوي L. الجوانب التي تُضاف هي تلك التي تكون فيها أول k i تساوي L ، والباقي i أقل من L.

تتمثل حدود المتتابعة الحسابية ذات الأبعاد D مع فوائدها في هذه المتتابعات الحسابية الإضافية ذات الأبعادد-1،د-2،د-3،د-4{\displaystyle د-1,د-2,د-3,د-4}، وصولاً إلى الصفر. المتتابعة الحسابية ذات البعد الصفري هي نقطة واحدة عند قيمة المؤشر(ل،ل،ل،ل،...،ل){\displaystyle (L,L,L,L,\ldots ,L)}. يكون مخطط الوصول ذو الأبعاد D مع الفوائد متجانسًا عندما تكون كل حدوده متجانسة بشكل فردي، ولكن ليس بالضرورة أن يكون للحدود المختلفة نفس اللون.

بعد ذلك، حدد الكمية MinN( L , D , N ) لتكون أصغر عدد صحيح بحيث أن أي تعيين لـ N لونًا لفترة طولها MinN أو أكثر يحتوي بالضرورة على متوالية حسابية متجانسة ذات D بُعد مع فوائد.

الهدف هو تحديد حجم MinN . لاحظ أن MinN( L , 1, N ) هو حد أعلى لعدد فان دير فاردن. هناك خطوتان للاستقراء، كما يلي:

اللمة 1 - لنفترض أن قيمة MinN معروفة لأطوال معينة L لجميع أبعاد المتتابعات الحسابية ذات الفوائد حتى D. تعطي هذه الصيغة حدًا لقيمة MinN عند زيادة البعد إلى D  +  1 :

يتركم=مين إن⁡(ل،د،ن){\displaystyle M=\operatorname {MinN} (L,D,n)}، ثم

مين إن⁡(ل،د+1،ن)≤م⋅مين إن⁡(ل،1،نم){\displaystyle \operatorname {MinN} (L,D+1,n)\leq M\cdot \operatorname {MinN} (L,1,n^{M})}
دليل

أولًا، إذا كان لديك تلوين n للفترة من 1 إلى 1، يمكنك تعريف تلوين كتلي لكتل ​​بحجم k . اعتبر كل تسلسل من k لون في كل كتلة k لتحديد لون فريد. يُسمى هذا التلوين الكتلي k تلوين n . ينتج عن تلوين n بطول l باستخدام k تلوين nk بطول l/ k .

إذن، بالنظر إلى تلوين n- لون لفترة I بحجمم⋅مين إن⁡(ل،1،نم)){\displaystyle M\cdot \operatorname {MinN} (L,1,n^{M}))}يمكنك حجبها باستخدام M -block وتحويلها إلى تلوين n- M بطولمين إن⁡(ل،1،نم){\displaystyle \operatorname {MinN} (L,1,n^{M})}لكن هذا يعني، بحسب تعريف MinN ، أنه يمكنك إيجاد متتالية حسابية أحادية البعد (مع مزايا) بطول L في تلوين الكتل، وهي متتالية من الكتل متساوية التباعد، وكلها بنفس لون الكتلة، أي أن لديك مجموعة من الكتل بطول M في المتتالية الأصلية، وهي متساوية التباعد، ولها نفس تسلسل الألوان تمامًا في الداخل.

بحسب تعريف M ، يمكنك إيجاد متتالية حسابية ذات بُعد d تتضمن مزايا في أيٍّ من هذه الكتل، وبما أن جميع الكتل لها نفس تسلسل الألوان، فإن المتتالية الحسابية ذات البُعد d التي تتضمن مزايا تظهر في جميع الكتل، بمجرد نقلها من كتلة إلى أخرى. هذا هو تعريف المتتالية الحسابية ذات البُعد d  +  1 ، وبالتالي لديك متتالية حسابية متجانسة ذات بُعد d  +  1. يُعرَّف مُعامل الخطوة الجديد s<sub> D  +  1</sub> بأنه المسافة بين الكتل.

لكنك تحتاج إلى مزايا. الحدود التي تحصل عليها الآن هي جميعها حدود قديمة، بالإضافة إلى تحويلاتها إلى مربعات متطابقة اللون، لأن i D+1 دائمًا أقل من L. الحد الوحيد الذي لا ينطبق عليه هذا هو النقطة ذات البعد صفر عندماأنا1=أنا2=⋯=أناد+1=ل{\displaystyle i_{1}=i_{2}=\cdots =i_{D+1}=L}هذه نقطة واحدة، وهي متجانسة تلقائياً.

اللمة 2 - افترض أن MinN معروف لقيمة واحدة من L وجميع الأبعاد الممكنة D. عندئذٍ يمكنك تحديد MinN للطول L  +  1 .

مين إن⁡(ل+1،1،ن)≤2مين إن⁡(ل،ن،ن){\displaystyle \operatorname {MinN} (L+1,1,n)\leq 2\operatorname {MinN} (L,n,n)}
دليل

بفرض تلوين n- لون لفترة بحجم MinN( L , n , n ) ، يُمكنك، بحسب التعريف، إيجاد متتالية حسابية ذات فوائد بُعدها n وطولها L. ولكن الآن، عدد حدود "الفوائد" يساوي عدد الألوان، لذا يجب أن يكون لأحد الحدود المتجانسة، ولنقل بُعدها k ، نفس لون حد آخر من حدود الفوائد المتجانسة، ولنقل بُعدها p  < k  . هذا يسمح بإنشاء متتالية حسابية طولها L  +  1 (بُعدها 1)، وذلك برسم خط داخل الحد ذي البُعد k ينتهي مباشرةً عند الحد ذي البُعد p ، مع تضمين نقطة النهاية في الحد ذي البُعد p . في الصيغ:

لو

أ+لs1+لs2+⋯+لsد-ك{\displaystyle a+Ls_{1}+Ls_{2}+\cdots +Ls_{Dk}}له نفس لون
أ+لs1+لs2+⋯+لsد-ص{\displaystyle a+Ls_{1}+Ls_{2}+\cdots +Ls_{Dp}}

ثم

أ+ل⋅(s1+⋯+sد-ك)+u⋅(sد-ك+1+⋯+sص){\displaystyle a+L\cdot (s_{1}+\cdots +s_{Dk})+u\cdot (s_{D-k+1}+\cdots +s_{p})}لها نفس اللون
u=0،1،2،⋯،ل-1،ل{\displaystyle u=0,1,2,\cdots ,L-1,L}أي أن u تشكل سلسلة طولها L + 1.

يُنشئ هذا تسلسلًا أحادي البُعد، وتكون "الفوائد" تلقائية، إذ يكفي إضافة نقطة أخرى بأي لون. ولإدراج نقطة الحدود هذه، يجب زيادة طول الفاصل بأقصى قيمة ممكنة للخطوة، وهي بالتأكيد أقل من حجم الفاصل. لذا، فإن مضاعفة حجم الفاصل ستُجدي نفعًا، وهذا هو سبب استخدام عامل الاثنين. وبهذا يكتمل الاستقراء على L.

الحالة الأساسية: MinN(1, d , n ) = 1 ، أي إذا كنت ترغب في متتالية حسابية متجانسة ذات بُعد d بطول 1 ، سواءً كانت ذات فوائد أم لا، فلا داعي للقيام بأي شيء. لذا، تُشكّل هذه الحالة أساس الاستقراء. تنصّ نظرية فان دير فاردن نفسها على أن MinN( L , 1, N ) متسلسلة منتهية، وهي ناتجة عن الحالة الأساسية وخطوات الاستقراء. [ 11 ]

نظرية الإرجودية

أثبت فورستنبرغ ووايس شكلاً مكافئاً للنظرية في عام 1978، باستخدام نظرية الإرجودية . [ 12 ]

نظرية بيركوف المتكررة المتعددة (فورستنبرغ ووايس، 1978) — إذا X{\textstyle X}هو فضاء متري مضغوط، وتي1،...،تيشمال:X→X{\textstyle T_{1},\dots ,T_{N}:X\to X}إذا كانت هذه التشاكلات متماثلة وتتبادل،∃x∈X{\textstyle \exists x\in X}وتسلسل متزايدن1<ن2<⋯{\textstyle n_{1}<n_{2}<\cdots }بحيثليمجد(تيأنانجx،x)=0،∀أنا∈1:شمال{\displaystyle \lim _{j}d(T_{i}^{n_{j}}x,x)=0,\quad \forall i\in 1:N}

إن برهان النظرية المذكورة أعلاه دقيق، ويُرجى الرجوع إلى المرجع [ 12 ] . باستخدام نظرية التكرار هذه، يمكن إثبات نظرية فان دير فاردن بأسلوب نظرية الإرجودية.

نظرية (فان دير وايردن، 1927) - إذا Z{\textstyle \mathbb {Z} }يتم تقسيمها إلى عدد محدود من المجموعات الفرعيةS1،...،Sن{\textstyle S_{1},\dots ,S_{n}}ثم واحد منهمSك{\textstyle S_{k}}يحتوي على عدد لا نهائي من المتتابعات الحسابية ذات أطوال طويلة بشكل تعسفي

∀شمال،شمال′،∃|أ|≥شمال′،∃ر≥1:{أ+أنار}أنا∈1:شمال⊂Sك{\displaystyle \forall N,N',\;\exists |a|\geq N',\exists r\geq 1:\{a+ir\}_{i\in 1:N}\subset S_{k}}

دليل

يكفي أن نبين أنه لكل طولشمال{\textstyle N}، يوجد على الأقل قسم واحد يحتوي على متتابعة حسابية واحدة على الأقل طولهاشمال{\textstyle N}بمجرد إثبات ذلك، يمكننا تقسيم تلك المتتابعة الحسابية إلىشمال{\textstyle N}مجموعات أحادية، وتكرار العملية لإنشاء متتالية حسابية أخرى، وبالتالي يحتوي أحد الأقسام على عدد لا نهائي من المتتاليات الحسابية ذات الطولشمال{\textstyle N}ثم يمكننا تكرار هذه العملية لنكتشف أنه يوجد على الأقل قسم واحد يحتوي على عدد لا نهائي من المتتاليات ذات الطولشمال{\textstyle N}، لعدد لا نهائيشمال{\textstyle N}وهذا هو التقسيم الذي نريده.

ضع في اعتبارك فضاء الحالةΩ=(1:شمال)Z{\textstyle \Omega =(1:N)^{\mathbb {Z} }}، وهو مضغوط وفقًا للمقياس (في الواقع، فائق القياس)د((xأنا)،(yأنا))=الأعلى{2-|أنا|:xأنا≠yأنا}.{\displaystyle d((x_{i}),(y_{i}))=\max\{2^{-\vert {i}\vert }:x_{i}\neq y_{i}\}.}بما أن المجموعاتS1،...،Sن{\textstyle S_{1},\dots ,S_{n}}تقسيمZ{\textstyle \mathbb {Z} }لدينا تسلسل محدد جيدًاz=(...،z-1،z0،z1،...)=(zأنا)أنا{\textstyle z=(\dots ,z_{-1},z_{0},z_{1},\dots )=(z_{i})_{i}}معأنا∈Szأنا{\textstyle i\in S_{z_{i}}}للجميعأنا{\textstyle i}.

يتركتي:Ω→Ω{\textstyle T:\Omega \to \Omega }كن خريطة التحولتي((xأنا)أنا)=(xأنا+1)أنا،{\displaystyle T((x_{i})_{i})=(x_{i+1})_{i},} ودعX=جل({تيرz:ر∈Z}){\textstyle X=cl(\{T^{r}z:r\in \mathbb {Z} \})}ليكن إغلاق جميع تحولات المتتاليةz{\textstyle z}باستخدام نظرية بيركوف التكرارية المتعددة (للخرائط)تي،تي2،...،تيشمال{\textstyle T,T^{2},\dots ,T^{N}}يوجد تسلسلx∈X{\textstyle x\in X}وعدد صحيحs≥1{\textstyle s\geq 1}بحيثد(تيsx،x)،د(تي2sx،x)،...،د(تيشمالsx،x)<14.{\displaystyle d(T^{s}x,x),d(T^{2s}x,x),\dots ,d(T^{Ns}x,x)<{\frac {1}{4}}.}

منذX{\textstyle X}إغلاق نوبات العملz{\textstyle z}، وتي{\textstyle T}إذا كان مستمراً، فهناك تحولتيمz{\textstyle T^{m}z}بحيث يكون ذلك في الوقت نفسه،x{\textstyle x}قريب جداً منتيمz{\textstyle T^{m}z}، وتيsx{\textstyle T^{s}x}قريب جداً منتيs+مz{\textstyle T^{s+m}z}وهكذا دواليك:د(x،تيمz)،د(تيsx،تيم+sz)،...،د(تيشمالsx،تيم+شمالsz)<14.{\displaystyle d(x,T^{m}z),d(T^{s}x,T^{m+s}z),\dots ,d(T^{Ns}x,T^{m+Ns}z)<{\frac {1}{4}}.}

باستخدام متباينة المثلث، نحصل مباشرة على د(تيم+أناsz،تيم+جsz)<34{\textstyle d(T^{m+is}z,T^{m+js}z)<{\frac {3}{4}}}لأنا،ج=0،...،شمال{\textstyle i,j=0,\dots ,N}لكن بحسب التصميم، فإن أي تسلسلاتy،y′∈Ω{\textstyle y,y'\in \Omega }معد(y،y′)<1{\textstyle d(y,y')<1}لا غنى عنهy0=y′0{\textstyle y_{0}={y'}\!\!{}_{0}}. هكذاzم=zم+s=⋯=zم+شمالs{\textstyle z_{m}=z_{m+s}=\dots =z_{m+Ns}}وهكذا كلم،م+s،...،م+شمالs{\textstyle m,m+s,\dots ,m+Ns}تقع في الحاجزSzم{\textstyle S_{z_{m}}}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ فان دير وايردن، بي إل (1927). "Beweis einer Baudetschen Vermutung". جديد. قوس. ويسك. (باللغة الألمانية). 15 : 212 - 216.
  2. ^ لام فان دير فيردن ب. (1927). "Beweis einer Baudetschen Vermutung" . Nieuw Arch.Wiskunde . 15 : 212 - 216.
  3. ^ سويفر ، ألكسندر (2015) ، “من أثبت تخمين فان دير وايردن؟” ، في سويفر ، ألكسندر (محرر)، الباحث والدولة: بحثًا عن فان دير وايردن ، بازل: سبرينغر، الصفحات من 379 إلى 401، دوى : 10.1007 / 978-3-0348-0712-8_38 ، ISBN  978-3-0348-0712-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يناير 2024
  4. ↑ ل، فان دير وايردن ب. (1971). "كيف تم التوصل إلى برهان حدسية بوديه" . دراسات في الرياضيات البحتة . أعيد طبعه في الفصل 33 من "كتاب التلوين الرياضي".
  5. ↑ غراهام، رون (2007). "بعض مسائلي المفضلة في نظرية رامزي" . الأعداد الصحيحة: المجلة الإلكترونية لنظرية الأعداد التوافقية . 7 (2): #A15.
  6. ↑ كلاريش، إريكا (2021). "عالمة رياضيات تُلقي بالبنية والفوضى في مشكلة عمرها قرن من الزمان" . مجلة كوانتا .
  7. ↑ غاورز، تيموثي (2001). "برهان جديد لنظرية سيميريدي" . التحليل الهندسي والوظيفي . 11 (3): 465-588 . doi : 10.1007/s00039-001-0332-9 . S2CID 124324198 . 
  8. ^ زابو، زولتان (1990). “تطبيق lemma المحلي لـ Lovász – حد أدنى جديد لرقم van der Waerden”. الهياكل والخوارزميات العشوائية . 1 (3): 343–360 . دوى : 10.1002/rsa.3240010307 .
  9. ↑ غراهام، رونالد؛ روتشيلد، بروس؛ سبنسر، جويل (1990). نظرية رامزي . وايلي . ISBN 0471500461.
  10. ^ خينشين (1998 ، ص 11–17، الفصل 1) 
  11. ↑ غراهام، آر إل ؛ روتشيلد، بي إل (1974). "برهان مختصر لنظرية فان دير فاردن حول المتتابعات الحسابية" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 42 (2): 385-386 . doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0329917-8 .
  12. 1 2 بيترسن، كارل إي. (1983). "الفصل 2". نظرية الإرجودية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-38997-6.

مراجع