تقدير كثافة النواة المتغيرة

في الإحصاء ، يُعد تقدير كثافة النواة التكيفي أو "ذي النطاق الترددي المتغير" أحد أشكال تقدير كثافة النواة ، حيث يتغير حجم النوى المستخدمة في التقدير تبعًا لموقع العينات أو موقع نقطة الاختبار. وهي تقنية فعالة بشكل خاص عندما يكون فضاء العينة متعدد الأبعاد. ^{[ 1 ]}

بالنظر إلى مجموعة من العينات،${\displaystyle \lbrace {\vec {x}}_{i}\rbrace }$نرغب في تقدير الكثافة،${\displaystyle P({\vec {x}})}$عند نقطة اختبار،${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle P({\vec {x}})\approx {\frac {W}{nh^{D}}}}$

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$

${\displaystyle w_{i}=K\left({\frac {{\vec {x}}-{\vec {x}}_{i}}{h}}\right)}$

حيث n هو عدد العينات، وK هي "النواة" ، وh هو عرضها، و D هو عدد الأبعاد في${\displaystyle {\vec {x}}}$يمكن اعتبار النواة بمثابة مرشح خطي بسيط .

قد يؤدي استخدام عرض مرشح ثابت إلى وقوع جميع العينات في ذيول المرشح بأوزان منخفضة جدًا في المناطق ذات الكثافة المنخفضة، بينما ستجد المناطق ذات الكثافة العالية عددًا كبيرًا من العينات في المنطقة المركزية بأوزان قريبة من الواحد. ولحل هذه المشكلة، نُغيّر عرض النواة في مناطق مختلفة من فضاء العينة. هناك طريقتان للقيام بذلك: التقدير البالوني والتقدير النقطي. في مُقدِّر البالون، يتغير عرض النواة تبعًا لموقع نقطة الاختبار. أما في المُقدِّر النقطي، فيتغير عرض النواة تبعًا لموقع العينة. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للمُقدِّرات متعددة المتغيرات، يمكن تعميم المعامل h بحيث لا يقتصر التغيير على حجم النواة فحسب، بل يشمل أيضًا شكلها. ولن نتناول هذا النهج الأكثر تعقيدًا هنا.

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لتغيير عرض النواة في جعله متناسبًا عكسيًا مع الكثافة عند نقطة الاختبار:

${\displaystyle h={\frac {k}{\left[nP({\vec {x}})\right]^{1/D}}}}$

حيث k ثابت. إذا قمنا بالتعويض العكسي عن دالة كثافة الاحتمال المقدرة، وبافتراض دالة نواة غاوسية ، يمكننا أن نبين أن W ثابت: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle W=k^{D}(2\pi )^{D/2}}$

ينطبق اشتقاق مماثل على أي نواة تكون دالة تطبيعها من الرتبة h ^D ، مع اختلاف العامل الثابت بدلاً من الحد (2 π) ^D/2 . ينتج عن ذلك تعميم لخوارزمية أقرب جار k . أي أن دالة النواة المنتظمة ستُعيد تقنية أقرب جار k. ^{[ 2 ]}

يتكون الخطأ من عنصرين: حد التباين وحد الانحياز. يُعطى حد التباين على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle e_{1}={\frac {P\int K^{2}}{nh^{D}}}}$.

يُحسب حد الانحياز بتقييم الدالة التقريبية في النهاية عندما يصبح عرض النواة أكبر بكثير من تباعد العينات. وباستخدام متسلسلة تايلور للدالة الحقيقية، يختفي حد الانحياز.

${\displaystyle e_{2}={\frac {h^{2}}{n}}\nabla ^{2}P}$

وبالتالي يمكن اشتقاق عرض النواة الأمثل الذي يقلل من خطأ كل تقدير.

تُعدّ هذه الطريقة فعّالة للغاية عند تطبيقها على التصنيف الإحصائي . هناك طريقتان للقيام بذلك: الأولى هي حساب دوال كثافة الاحتمال لكل فئة على حدة، باستخدام معايير عرض نطاق مختلفة، ثم مقارنتها كما في طريقة تايلور. ^{[ 3 ]} أما الطريقة الثانية، فهي تقسيم المجموع بناءً على فئة كل عينة.

${\displaystyle P(j,{\vec {x}})\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i=1,c_{i}=j}^{n}w_{i}}$

حيث يمثل c _i فئة العينة رقم i . ويمكن تقدير فئة نقطة الاختبار من خلال طريقة الاحتمال الأقصى .

• akde1d.m - ملف Matlab m لتقدير كثافة النواة التكيفية أحادية البعد.
• libAGF - مكتبة C++ لتقدير كثافة النواة التكيفية متعددة المتغيرات.
• akde.m مؤرشف في 2017-02-09 في Wayback Machine - دالة Matlab لتقدير كثافة النواة المتغيرة متعددة المتغيرات (عالية الأبعاد).