رئيس واغستاف

في نظرية الأعداد ، العدد الأولي لواغستاف هو عدد أولي على الصورة

${\displaystyle {{2^{p}+1} \over 3}}$

حيث p عدد أولي فردي . سُميت أعداد واغستاف الأولية نسبةً إلى عالم الرياضيات صموئيل س. واغستاف الابن ؛ وتُنسب تسميتها إلى فرانسوا مورين في محاضرة ألقاها في مؤتمر يورو كريبت عام 1990. تظهر أعداد واغستاف الأولية في حدسية ميرسين الجديدة ، ولها تطبيقات في علم التشفير .

الأعداد الأولية الثلاثة الأولى من نوع واغستاف هي 3 و11 و43 لأن

${\displaystyle {\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}}$

 // تحديد ما إذا كان N_p = (2^p + 1)/3 عددًا أوليًا عندما يكون p > 2 المتغير s = 25 المتغير M = 2^p + 1 المتغير N = M/3 كرر p - 1 مرة: s = (s × s) mod M إذا كانت قيمة s تساوي 25، فأرجع عددًا أوليًا (PRIME)، وإلا فأرجع عددًا مركبًا (COMPOSITE).

الأعداد الأولية القليلة الأولى من مجموعة واغستاف هي:

3، 11، 43، 683، 2731، 43691، 174763، 2796203، 715827883، 2932031007403، 768614336404564651، ... (التسلسل A000979 في OEIS )

الأسس التي تنتج أعداد واغستاف الأولية أو الأعداد الأولية المحتملة هي:

3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 31، 43، 61، 79، 101، 127، 167، 191، 199، 313، 347، 701، 1709، 2617، 3539، 5807، ... (التسلسل A000978 في OEIS )

من الطبيعي أن ننظر إلى ^{[ 2 ]} بشكل أعم على شكل أعداد من الشكل

${\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}}$

حيث القاعدة${\displaystyle b\geq 2}$منذ ذلك الحين${\displaystyle n}$من الغريب أننا نمتلك

${\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)}$

تُسمى هذه الأرقام "قاعدة أرقام واغستاف"${\displaystyle b}$"، ويُعتبر أحيانًا ^{[ 3 ]} حالة من حالات أعداد التكرار ذات الأساس السالب${\displaystyle -b}$.

بالنسبة لبعض القيم المحددة لـ${\displaystyle b}$، الجميع${\displaystyle Q(b,n)}$(مع استثناء محتمل للأشياء الصغيرة جدًا)${\displaystyle n}$تُعتبر الأعداد المركبة نتيجةً للتحليل الجبري. تحديدًا، إذا${\displaystyle b}$إذا كان على شكل قوة كاملة ذات أس فردي (مثل 8، 27، 32، 64، 125، 128، 216، 243، 343، 512، 729، 1000، إلخ (التسلسل A070265 في OEIS ) )، فإن حقيقة أن${\displaystyle x^{m}+1}$، مع${\displaystyle m}$عدد فردي، يقبل القسمة على${\displaystyle x+1}$يُظهر ذلك أن${\displaystyle Q(a^{m},n)}$يقبل القسمة على${\displaystyle a^{n}+1}$في هذه الحالات الخاصة. حالة أخرى هي${\displaystyle b=4k^{4}}$، حيث k عدد صحيح موجب (مثل 4، 64، 324، 1024، 2500، 5184، إلخ. (المتتالية A141046 في OEIS ) )، حيث لدينا تحليل أوريفويل .

لكن عندما${\displaystyle b}$لا تقبل هذه المسألة تحليلًا جبريًا، ويُفترض أن عددًا لا نهائيًا من${\displaystyle n}$القيم تصنع${\displaystyle Q(b,n)}$برايم، لاحظ كل شيء${\displaystyle n}$هي أعداد أولية فردية.

ل${\displaystyle b=10}$، أما الأعداد الأولية نفسها فلها المظهر التالي: 9091، 909091، 9090909090909091، 909090909090909090909090909091، ... (التسلسل A097209 في OEIS ) ، وهذه الأعداد n هي: 5، 7، 19، 31، 53، 67، 293، 641، 2137، 3011، 268207، ... (التسلسل A001562 في OEIS ) .

انظر Repunit §  Repunit primes للاطلاع على قائمة أساسات أعداد واغستاف الأولية المعممة${\displaystyle b}$(أساسيات أعداد واغستاف الأولية المعممة)${\displaystyle b}$هي أساسات إعادة التعيين المعممة${\displaystyle -b}$مع غريب${\displaystyle n}$)

أصغر الأعداد الأولية p بحيث${\displaystyle Q(n,p)}$العدد الأولي هو (يبدأ بـ n = 2، و 0 إذا لم يكن هناك عدد أولي p )

3، 3، 3، 5، 3، 3، 0، 3، 5، 5، 5، 3، 7، 3، 3، 7، 3، 17، 5، 3، 3، 11، 7، 3، 11، 0، 3، 7، 139، 109، 0، 5، 3، 11، 31، 5، 5، 3، 53، 17، 3، 5، 7، 103، 7، 5، 5، 7، 1153، 3، 7، 21943، 7، 3، 37، 53، 3، 17، 3، 7، 11، 3، 0، 19، 7، 3، 757، 11، 3، 5، 3، ... (متسلسلة) A084742 في OEIS )

أصغر القواعد b بحيث${\displaystyle Q(b,prime(n))}$الأعداد الأولية هي (تبدأ بـ n = 2)

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (التسلسل A103795 في OEIS )

• جون رينزي وإريك دبليو وايسشتاين . "واغستاف برايم" . عالم الرياضيات .
• كريس كالدويل، أفضل عشرين: واغستاف في الصفحات الرئيسية .
• رينو ليفشيتز، "اختبار أولي محتمل فعال للأعداد من الشكل (2 ^p  +  1)/3" .
• توني ريكس، "ثلاثة تخمينات حول اختبار أولية أعداد ميرسين وواغستاف وفيرما بناءً على دورات الرسم البياني الموجه تحت x ² − 2 modulo a prime"   مؤرشف في 2021-03-30 في Wayback Machine .
• قائمة العوائد بالأساس من -50 إلى 50
• قائمة الأعداد الأولية لواغستاف ذات الأساس من 2 إلى 160