قوة مثالية

في الرياضيات ، القوة الكاملة هي عدد طبيعي ناتج عن ضرب عوامل طبيعية متساوية، أو بعبارة أخرى، عدد صحيح يمكن التعبير عنه كمربع أو كقوة لعدد صحيح أكبر من واحد. بتعبير أدق، يُقال عن n قوة كاملة إذا وُجد عددان طبيعيان m > 1 و k > 1 بحيث يكون m⁻¹k = n . في هذه الحالة، يُطلق على n اسم القوة الكاملة من الرتبة ^k . إذا كان k = 2 أو k = 3، يُطلق على n اسم المربع الكامل أو المكعب الكامل ، على التوالي. أحيانًا يُعتبر 0 و1 قوتين كاملتين أيضًا (0k ⁼ 0 لأي k > 0، و1 ^k = 1 لأي ​​k ).

يمكن توليد سلسلة من القوى الكاملة من خلال المرور على القيم الممكنة لـ m و k . القوى الكاملة التصاعدية الأولى مرتبةً عدديًا (مع إظهار القوى المكررة) هي ( السلسلة A072103 في OEIS ) :

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

مجموع مقلوب القوى الكاملة (بما في ذلك التكرارات مثل 3 4 ^و 9 ² ، وكلاهما يساوي 81) هو 1 :

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي:

$\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

القوى الكاملة الأولى التي لا تحتوي على نسخ مكررة هي:

(أحيانًا 0 و1)، 4، 8، 9، 16، 25، 27، 32، 36، 49، 64، 81، 100، 121، 125، 128، 144، 169، 196، 216، 225، 243، 256، 289، 324، 343، 361، 400، 441، 484، 512، 529، 576، 625، 676، 729، 784، 841، 900، 961، 1000، 1024، ... (التسلسل A001597 في OEIS )

مجموع مقلوب القوى الكاملة p بدون تكرارات هو: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

حيث μ ( k ) هي دالة موبيوس و ζ ( k ) هي دالة زيتا لريمان .

وفقًا لأويلر ، أظهر غولدباخ ( في رسالة مفقودة الآن) أن مجموع 1 / p − 1 على مجموعة القوى الكاملة p ، باستثناء 1 وباستثناء التكرارات، هو 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

يُعرف هذا أحيانًا باسم نظرية غولدباخ-أويلر .

يمكن تحديد ما إذا كان عدد طبيعي معين n يمثل قوة كاملة أم لا بعدة طرق مختلفة، تتفاوت في مستويات تعقيدها . إحدى أبسط هذه الطرق هي النظر في جميع القيم الممكنة لـ k عبر كل قاسم من قواسم n ، حتى${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$إذاً، إذا كانت قواسم${\displaystyle n}$نكون${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$ثم إحدى القيم${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$يجب أن يكون مساوياً لـ n إذا كان n بالفعل قوة كاملة.

يمكن تبسيط هذه الطريقة فورًا من خلال النظر فقط في القيم الأولية لـ k . وذلك لأنه إذا${\displaystyle n=m^{k}}$للمركبات​${\displaystyle k=ap}$إذا كان p عددًا أوليًا، فيمكن إعادة كتابة ذلك ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$وبسبب هذه النتيجة، يجب أن تكون القيمة الدنيا لـ k عددًا أوليًا بالضرورة.

إذا كان التحليل الكامل للعدد n معروفًا، على سبيل المثال${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$حيث${\displaystyle p_{i}}$إذا كانت n أعدادًا أولية مختلفة، فإن n تكون قوة كاملة إذا وفقط إذا${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$حيث يرمز gcd إلى القاسم المشترك الأكبر . على سبيل المثال، لنفترض أن n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ^24. بما أن gcd(96, 60, 24) = 12، فإن n هو قوة كاملة للعدد 12 (وهو أيضًا قوة كاملة للعدد 6، والعدد 4، والمكعب، والمربع، لأن 6 و4 و3 و2 تقسم 12).

في عام 2002 أثبت عالم الرياضيات الروماني بريدا ميهايليسكو أن الزوج الوحيد من القوى الكاملة المتتالية هو 2 ³ = 8 و 3 ² = 9، وبالتالي أثبت تخمين كاتالان .

تنص فرضية بيلاي على أنه لأي عدد صحيح موجب k، يوجد عدد محدود فقط من أزواج القوى الكاملة التي يكون الفرق بينها k . هذه مسألة لم تُحل بعد. ^{[ 2 ]}

• السلطة الرئيسية

• دانيال ج. بيرنشتاين (1998). "الكشف عن القوى المثالية في زمن خطي أساسًا" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 67 (223): 1253-1283 . doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

• لويس بيبيلوني، بيليغري فيادير، وجاومي باراديس، حول سلسلة من غولدباخ وأولر، 2004 (Pdf)