شكل ضعيف مُضعف

تُستخدم الصيغة الضعيفة المُضعفة (أو صيغة W2 ) ^{[ 1 ]} في صياغة الطرق العددية العامة القائمة على الطرق غير الشبكية و/أو إعدادات طريقة العناصر المحدودة . وتُطبَّق هذه الطرق العددية على مسائل ميكانيكا المواد الصلبة وديناميكا الموائع .

لتبسيط الأمور، اخترنا مسائل المرونة (معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة الثانية) لمناقشتنا. ^{[ 2 ]} كما أن مناقشتنا تُعدّ أكثر ملاءمةً بالرجوع إلى الصيغة الضعيفة والقوية المعروفة . في الصيغة القوية لإيجاد حل تقريبي، نحتاج إلى افتراض دوال إزاحة قابلة للتفاضل من الرتبة الثانية. أما في الصيغة الضعيفة، فنُنشئ صيغًا خطية وثنائية الخطية، ثم نبحث عن دالة معينة (حل تقريبي) تُحقق الشرط الضعيف. تستخدم الصيغة ثنائية الخطية تدرج الدوال التي لا تقبل التفاضل إلا من الرتبة الأولى. لذلك، يكون شرط استمرارية دوال الإزاحة المفترضة أضعف منه في الصيغة القوية. في الصيغة المنفصلة (مثل طريقة العناصر المحدودة ، أو FEM)، يكون الشرط الكافي لدالة الإزاحة المفترضة هو استمراريتها القطعية على كامل نطاق المسألة. وهذا يسمح لنا بإنشاء الدالة باستخدام العناصر (مع التأكد من استمراريتها على طول جميع واجهات العناصر)، مما يُؤدي إلى طريقة العناصر المحدودة القوية.

في الصيغة الضعيفة المُضعفة (W2)، نُقلل المتطلبات أكثر. نُشكل صيغة ثنائية الخطية باستخدام الدالة المفترضة فقط (دون الحاجة حتى إلى التدرج). يتم ذلك باستخدام ما يُسمى بتقنية تنعيم التدرج المُعمم، ^{[ 3 ]} والتي تُمكن من تقريب تدرج دوال الإزاحة لفئة مُعينة من الدوال غير المُتصلة، طالما أنها تقع في فضاء G مُناسب . ^{[ 4 ]} بما أننا لسنا مُضطرين لإجراء التفاضل الأول لدوال الإزاحة المفترضة، فإن متطلبات اتساق الدوال تُقلل أكثر، ومن هنا تأتي الصيغة الضعيفة المُضعفة أو W2.

بدأ تطوير النظرية المنهجية للصيغة الضعيفة المخففة من الأعمال المتعلقة بالطرق غير الشبكية. ^{[ 2 ]} وهي حديثة نسبياً، لكنها شهدت تطوراً سريعاً جداً في السنوات القليلة الماضية.

1. تُتيح صيغة W2 إمكانية صياغة نماذج "مرنة" متنوعة (بشكل موحد) تتوافق جيدًا مع الشبكات المثلثية. وبما أن الشبكة المثلثية يُمكن توليدها تلقائيًا، فإن إعادة تشكيلها تُصبح أسهل بكثير، وبالتالي تُسهّل أتمتة عمليات النمذجة والمحاكاة. وهذا أمر بالغ الأهمية لهدفنا طويل الأمد المتمثل في تطوير أساليب حسابية مؤتمتة بالكامل.
2. بالإضافة إلى ذلك، يمكن جعل نماذج W2 مرنة بدرجة كافية (بشكل منتظم) لإنتاج حلول ذات حد أعلى (لمسائل القيادة بالقوة). وبالاقتران مع النماذج الصلبة (مثل نماذج العناصر المحدودة المتوافقة تمامًا)، يمكن تحديد الحل بسهولة من كلا الجانبين. وهذا يسمح بتقدير الخطأ بسهولة للمسائل المعقدة عمومًا، طالما أمكن توليد شبكة مثلثية. وهذا مهم لإنتاج ما يُسمى بالحلول المعتمدة.
3. يمكن بناء نماذج W2 خالية من القفل الحجمي، وربما خالية من أنواع أخرى من ظواهر القفل.
4. تتيح نماذج W2 إمكانية افتراض تدرج الإزاحة لدوال الإزاحة بشكل منفصل، مما يوفر فرصًا لنماذج فائقة الدقة وفائقة التقارب. وقد يكون من الممكن بناء نماذج خطية بمعدل تقارب للطاقة يبلغ 2.
5. غالباً ما تكون نماذج W2 أقل حساسية لتشوه الشبكة.
6. أثبتت نماذج W2 فعاليتها في الطرق منخفضة الرتبة

تُعدّ طرق الاستيفاء النقطي المُنعّم (S-PIM) من النماذج النموذجية لـ W2. ^{[ 5 ]} يمكن أن تكون S-PIM قائمة على العقد (تُعرف باسم NS-PIM أو LC-PIM)، ^{[ 6 ]} أو قائمة على الحواف (ES-PIM)، ^{[ 7 ]} أو قائمة على الخلايا (CS-PIM). ^{[ 8 ]} طُوّرت NS-PIM باستخدام ما يُسمى بتقنية SCNI. ^{[ 9 ]} ثمّ تبيّن أنّ NS-PIM قادرة على إنتاج حلول ذات حدّ أعلى وخالية من التقييد الحجمي. ^{[ 10 ]} وُجد أنّ ES-PIM متفوّقة من حيث الدقة، بينما تتصرف CS-PIM بين NS-PIM وES-PIM. علاوة على ذلك، تسمح صيغ W2 باستخدام دوال الأساس متعددة الحدود والشعاعية في إنشاء دوال الشكل (فهي تستوعب دوال الإزاحة غير المتصلة، طالما أنّها في فضاء G1)، ممّا يفتح آفاقًا أوسع للتطويرات المستقبلية. تُعدّ طريقة العناصر المحدودة المُجزأة (S-FEM) نسخةً خطيةً إلى حد كبير من طريقة العناصر المحدودة المُجزأة المُجزأة (S-PIM)، ولكنها تتمتع بمعظم خصائص S-PIM، وهي أبسط بكثير. ولها أيضًا أنواع فرعية مثل NS-FEM وES-FEM وCS-FEM. ويمكن إيجاد الخاصية الرئيسية لـ S-PIM في S-FEM أيضًا. ^{[ 11 ]} نماذج S-FEM هي:

• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على العقد (NS-FEM) ^{[ 12 ]}
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على الحواف (NS-FEM) ^{[ 13 ]}
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على الوجه (NS-FEM) ^{[ 14 ]}
• طريقة العناصر المحدودة الملساء القائمة على الخلايا (NS-FEM) ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على الحواف/العقد (NS/ES-FEM) ^{[ 18 ]}
• طريقة ألفا FEM (Alpha FEM) ^{[ 19 ] [ 20 ]}
• طريقة العناصر المحدودة بيتا (Beta FEM) ^{[ 21 ]}

بعض تطبيقات نماذج W2 هي:

1. ميكانيكا المواد الصلبة والهياكل والمواد الكهروإجهادية؛ ^{[ 22 ] [ 23 ]}
2. ميكانيكا الكسر وانتشار الشقوق؛ ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}
3. انتقال الحرارة؛ ^{[ 28 ] [ 29 ]}
4. الصوتيات الهيكلية؛ ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}
5. المسائل غير الخطية ومسائل التلامس؛ ^{[ 33 ] [ 34 ]}
6. التحليل العشوائي؛ ^{[ 35 ]}
7. التحليل التكيفي؛ ^{[ 36 ] [ 18 ]}
8. مشكلة تغير الطور؛ ^{[ 37 ]}
9. نمذجة اللدونة البلورية. ^{[ 38 ]}
10. تحليل محدود. ^{[ 39 ]}

• طريقة العناصر المحدودة
• طرق بدون شبكة
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة