معلمات Weierstrass-Enneper

في الرياضيات ، تعتبر معلمات وييرشتراس-إينبر للأسطح الدنيا قطعة كلاسيكية من الهندسة التفاضلية .

درس ألفريد إينيبر وكارل فايرشتراس الأسطح الدنيا منذ عام 1863.

يترك${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$لتكن دوالًا على المستوى المركب بأكمله أو على قرص الوحدة ، حيث${\displaystyle g}$هو ميرومورفي و${\displaystyle f}$هي تحليلية ، بحيث أينما${\displaystyle g}$يوجد عمود من النظام${\displaystyle m}$،${\displaystyle f}$له صفر من الرتبة${\displaystyle 2m}$(أو ما يعادل ذلك، بحيث يكون الناتج${\displaystyle fg^{2}}$( هولومورفية )، ولتكن${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$لتكن ثوابت. إذن السطح ذو الإحداثيات${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$يكون الحد الأدنى، حيث${\displaystyle x_{k}}$يتم تعريفها باستخدام الجزء الحقيقي من التكامل المركب، كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _ {1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{محاذاة}}}$$

والعكس صحيح أيضاً: يمكن إعطاء كل سطح أدنى غير مستوٍ معرف على نطاق متصل ببساطة تمثيلاً بارامترياً من هذا النوع. ^{[ 1 ]}

على سبيل المثال، سطح إنيبر له f ( z ) = 1 ، g ( z ) = z ^m .

يحدد نموذج Weierstrass-Enneper الحد الأدنى من السطح${\displaystyle X}$(${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) على المستوى المركب (${\displaystyle \mathbb {C} }$). يترك${\displaystyle \omega =u+vi}$(المستوى المركب كـ${\displaystyle uv}$في الفضاء)، يمكن كتابة مصفوفة جاكوبي للسطح كعمود من المدخلات المركبة: $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$$ أين${\displaystyle f(\omega )}$و${\displaystyle g(\omega )}$هي دوال هولومورفية لـ${\displaystyle \omega }$.

اليعقوبي${\displaystyle \mathbf {J} }$يمثل متجهي المماس المتعامدين للسطح: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_ {v}} = {\begin{bmatrix} -\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _ {3}\end{bmatrix}}}$$

يُعطى العمودي على السطح بالعلاقة التالية $${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$$

اليعقوبي${\displaystyle \mathbf {J} }$ويؤدي ذلك إلى عدد من الخصائص المهمة:${\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}$،${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$،${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}$،${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0}$يمكن الاطلاع على البراهين في مقالة شارما: يُعطي تمثيل فايرشتراس دائمًا سطحًا أدنى. ^{[ 3 ]} ويمكن استخدام المشتقات لإنشاء مصفوفة الشكل الأساسي الأول : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

والمصفوفة الأساسية الثانية$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_ {vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$$

وأخيراً، نقطة${\displaystyle \omega _{t}}$على المستوى المركب، يتم رسم الخرائط إلى نقطة${\displaystyle \mathbf {X} }$على السطح الأدنى في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$بواسطة $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$$ أين${\displaystyle \omega _{0}=0}$بالنسبة لجميع الأسطح الدنيا في هذه الورقة باستثناء سطح كوستا الأدنى حيث${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$.

الأمثلة الكلاسيكية للأسطح الدنيا الكاملة المضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تشمل الأسطح ذات الطوبولوجيا المحدودة المستوى، والسطح السلسلي ، والسطح الحلزوني ، وسطح كوستا الأدنى . يتضمن سطح كوستا دالة فايرشتراس الإهليلجية .${\displaystyle \wp }$: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$$$${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$$ أين${\displaystyle A}$ثابت. ^{[ 5 ]}

الهيكاتينويد

اختيار الوظائف${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$و${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$، يتم الحصول على عائلة ذات معلمة واحدة من الأسطح الدنيا.

$${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$$${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$$${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$$$${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$$

اختيار معلمات السطح كـ${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$: $${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$$

في أقصى الحالات، يكون السطح على شكل سلسلة متصلة${\displaystyle (\alpha =0)}$أو حلزوني${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$. خلاف ذلك،${\displaystyle \alpha }$يمثل زاوية الخلط. السطح الناتج، مع اختيار نطاقه لمنع التقاطع الذاتي، هو سطح سلسلي يدور حول${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$محور بشكل حلزوني.

يمكن إعادة كتابة كل عنصر من عناصر المصفوفة الأساسية الثانية كدالة لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، على سبيل المثال ${\textstyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$

وبالتالي، يمكن تبسيط مصفوفة الشكل الأساسي الثاني على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$$

أحد متجهاتها الذاتية هو$${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$$وهو ما يمثل الاتجاه الرئيسي في المجال المركب. ^{[ 6 ]} لذلك، فإن الاتجاهين الرئيسيين في${\displaystyle uv}$اتضح أن الفضاء $${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2}$$

• عائلة الزملاء
• سطح براينت ، الذي تم إيجاده بواسطة معلمات مماثلة في الفضاء الزائدي