وظيفة اللمعان (علم الفلك)

في علم الفلك ، تُعطي دالة اللمعان عدد النجوم أو المجرات لكل فاصل لمعان . ^{[ 1 ]} تُستخدم دوال اللمعان لدراسة خصائص المجموعات الكبيرة أو فئات الأجرام، مثل النجوم في العناقيد أو المجرات في المجموعة المحلية .

تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "دالة" قد يكون مضللاً بعض الشيء، وقد يكون من الأنسب وصف دالة اللمعان بأنها توزيع لمعان . فعند إدخال قيمة لمعان معينة، تُعيد دالة اللمعان بشكل أساسي وفرة الأجسام التي تمتلك هذا اللمعان (وتحديداً، الكثافة العددية لكل فاصل لمعان).

تُحدد دالة لمعان التسلسل الرئيسي توزيع نجوم التسلسل الرئيسي وفقًا لمعانها. وتُستخدم لمقارنة معدلات تكوين النجوم وموتها، والنماذج التطورية ، مع الملاحظات. وتختلف دوال لمعان التسلسل الرئيسي تبعًا للمجرة المضيفة ومعايير اختيار النجوم، على سبيل المثال في الجوار الشمسي أو سحابة ماجلان الصغرى . ^{[ 2 ]}

تُعطي دالة لمعان الأقزام البيضاء ( WDLF ) عدد نجوم الأقزام البيضاء ذات لمعان مُحدد. وبما أن هذا العدد يتحدد بمعدلات تكوّن هذه النجوم وتبريدها، فإنه يُعدّ ذا أهمية لما يُقدمه من معلومات حول فيزياء تبريد الأقزام البيضاء وعمر المجرة وتاريخها . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

دالة اللمعان لشيكتر ^{[ 5 ]}${\displaystyle \phi }$يوفر تقريبًا لوفرة المجرات في نطاق اللمعان${\displaystyle [L+dL]}$دالة اللمعان لها وحدات كثافة عددية${\displaystyle n}$لكل وحدة إضاءة، ويتم تحديدها بواسطة قانون القوة مع قطع أسي عند الإضاءة العالية.

${\displaystyle dn(L)=\phi ~dL=\phi ^{*}\left({\frac {L}{L^{*}}}\right)^{\alpha }\mathrm {e} ^{-L/L^{*}}d\left({\frac {L}{L^{*}}}\right),}$

أين${\displaystyle L^{*}}$يُعد لمعان المجرة المميز هو الذي يتحكم في القطع، والتطبيع${\displaystyle \,\!\phi ^{*}}$لها وحدات كثافة عددية.

وبصورة مكافئة، يمكن التعبير عن هذه المعادلة بدلالة الكميات اللوغاريتمية ^{[ 6 ]} مع

${\displaystyle dn(L)=\ln(10)\phi ^{*}\left({\frac {L}{L^{*}}}\right)^{\alpha +1}\mathrm {e} ^{-L/L^{*}}d\left(\log _{10}L\right).}$

قد تختلف معايير دالة لمعان المجرات باختلاف التجمعات والبيئات؛ فهي ليست دالة عالمية. ومن القياسات التي تُجرى على مجرات الحقل ما يلي:${\displaystyle \alpha =-1.25,\ \phi ^{*}=1.2\times 10^{-2}\ h^{3}\ \mathrm {Mpc} ^{-3}}$[ ^{7 ]​}

غالباً ما يكون من الأنسب إعادة كتابة دالة شيختر بدلالة المقادير ، بدلاً من اللمعان. في هذه الحالة، تصبح دالة شيختر كما يلي:

${\displaystyle n(M)~dM=(0.4\ \ln 10)\ \phi ^{*}\ [10^{0.4(M^{*}-M)}]^{\alpha +1}\exp[-10^{0.4(M^{*}-M)}]~dM.}$

لاحظ أنه نظرًا لأن نظام المقادير لوغاريتمي، فإن قانون القوة له ميل لوغاريتمي${\displaystyle \alpha +1}$لهذا السبب، فإن دالة Schechter مع${\displaystyle \alpha =-1}$يقال إنها مسطحة.

يمكن التعبير عن تكاملات دالة شيختر باستخدام دالة غاما غير الكاملة

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left({\frac {L}{L^{*}}}\right)^{\alpha }e^{-\left({\frac {L}{L^{*}}}\right)}d\left({\frac {L}{L^{*}}}\right)=\Gamma (\alpha +1,a)-\Gamma (\alpha +1,b)}$

تاريخيًا، استُلهمت دالة لمعان شيختر من نموذج بريس-شيكتر . ^{[ 8 ]} مع ذلك، فإن العلاقة بينهما ليست مباشرة. فإذا افترضنا أن كل هالة من المادة المظلمة تضم مجرة ​​واحدة، فإن نموذج بريس-شيكتر يُعطي ميلًا${\displaystyle \alpha \sim -3.5}$بالنسبة للمجرات، بدلاً من القيمة المذكورة أعلاه الأقرب إلى -1. ويعود سبب هذا الخطأ إلى أن الهالات الكبيرة عادةً ما تحتوي على مجرة ​​مضيفة كبيرة والعديد من الأقمار التابعة الأصغر، بينما قد لا تحتوي الهالات الصغيرة على أي مجرات ذات نجوم. انظر، على سبيل المثال، توزيع شغل الهالة ، للحصول على وصف أكثر تفصيلاً للعلاقة بين الهالة والمجرة.