زونوتوب

الزونوتوب هو متعدد السطوح محدب يمكن وصفه بأنه مجموع مينكوفسكي لمجموعة منتهية من القطع المستقيمة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$أو، بشكل مكافئ، كإسقاط لمكعب فائق . ترتبط الزونوتوبات ارتباطًا وثيقًا بترتيبات المستويات الفائقة ونظرية الماترويد .

مجموع مينكوفسكي لمجموعة منتهية من القطع المستقيمة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$يشكل نوعًا من متعدد السطوح المحدب يسمى زونوتوب. وبشكل أدق، زونوتوب${\displaystyle Z}$تم توليدها بواسطة المتجهات${\displaystyle w_{1},...,w_{n}\in \mathbb {R} ^{d}}$هي ترجمة لـ

$${\displaystyle Z=\{a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n}|\;0\leq a_{j}\leq 1{\text{ لجميع }}j\}=\mathbf {W} \,[0,1]^{n},}$$

أين${\displaystyle \mathbf {W} }$هو${\displaystyle d\times n}$المصفوفة التي يكون عمودها j هو${\displaystyle w_{j}}$. يوضح الوصف الأخير أن الزونوتوب هو بالضبط ترجمة إسقاط مكعب ذي أبعاد n .

في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle w_{1},...,w_{n}\in \mathbb {R} ^{d}}$مستقلة خطيًا، الزونوتوب${\displaystyle Z}$هو متوازي أضلاع (ربما ذو أبعاد أقل) .

تُعدّ أوجه أيّ زونوتوب زونوتوبات ذات بُعدٍ أقلّ. ومن أمثلة الزونوتوبات رباعية الأبعاد: التيسيراكت (مجموع مينكوفسكي لقطع مستقيمة متساوية الطول ومتعامدة)، والخلية الخماسية المقطوعة ، والخلية الرباعية والعشرين المقطوعة . وكلّ بيرموتهيدرون هو زونوتوب.

أصلح جهاز زونوتوب${\displaystyle Z}$تم توليدها بواسطة المتجهات${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}\in \mathbb {R} ^{d}}$ودع${\displaystyle \mathbf {W} }$كن${\displaystyle d\times n}$مصفوفة أعمدتها هي${\displaystyle w_{i}}$ثم المصفوفة المتجهة${\displaystyle {\mathcal {M}}}$على أعمدة${\displaystyle \mathbf {W} }$يحتوي على كم هائل من المعلومات حول${\displaystyle Z}$أي العديد من خصائص${\displaystyle Z}$هي ذات طبيعة تركيبية بحتة.

على سبيل المثال، أزواج من الأوجه المتقابلة لـ${\displaystyle Z}$يتم فهرسة هذه البيانات بشكل طبيعي بواسطة الدوائر المشتركة لـ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$وإذا نظرنا إلى الماترويد الموجه${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ممثل من قبل${\displaystyle \mathbf {W} }$ثم نحصل على تقابل بين أوجه${\displaystyle Z}$ودوائر مشتركة موقعة من${\displaystyle {\mathcal {M}}}$والذي يمتد إلى تماثل مضاد لمجموعة مرتبة جزئياً بين شبكة الوجوه لـ${\displaystyle Z}$والمتجهات المشتركة لـ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$مرتبة حسب الامتداد المكون لـ${\displaystyle 0\prec +,-}$وخاصة إذا${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت لدينا مصفوفتان تختلفان بتحويل إسقاطي، فإنّ نظائرهما متكافئة توافقيًا. لكنّ عكس العبارة السابقة غير صحيح: القطعة${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$هو نطاق زونوتوب ويتم توليده بواسطة كليهما${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$وبواسطة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$والتي تمثل المصفوفات المقابلة لها،${\displaystyle [2]}$و${\displaystyle [1~1]}$، لا تختلف عن طريق التحويل الإسقاطي.

يمكن تقسيم كل سطح زونوتوبي ذي بُعد d، مُوَلَّد بواسطة مجموعة محدودة A من المتجهات، إلى متوازيات مستطيلات ، بحيث يكون هناك متوازي مستطيلات واحد لكل مجموعة فرعية مستقلة خطيًا من A. ^{[ 2 ]} ينتج عن ذلك عائلة أخرى من التبليطات المرتبطة بالزونوتوبي .${\displaystyle Z}$، مُعطى بواسطة تبليط زونوتوبال لـ${\displaystyle Z}$أي، مُركّب متعدد الأوجه مع دعامة${\displaystyle Z}$اتحاد جميع الزونوتوبات في المجموعة هو${\displaystyle Z}$ويتقاطع أي اثنان في وجه مشترك (قد يكون فارغًا) لكل منهما. تنص نظرية بون-دريس على وجود تقابل بين تبليطات الزونوتوبال للزونوتوب${\displaystyle Z}$ورفع العناصر المفردة للماترويد الموجه${\displaystyle {\mathcal {M}}}$مرتبط بـ${\displaystyle Z}$[ ^{3 ] [ 4 ]​}

تسمح الأشكال الهندسية ذات الأبعاد المحددة بصيغة تحليلية بسيطة لحساب حجمها. ^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle Z(S)}$كن الزونوتوب${\displaystyle Z=\{a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$يتم توليدها بواسطة مجموعة من المتجهات${\displaystyle S=\{w_{1},\dots ,w_{n}\in \mathbb {R} ^{d}\}}$ثم حجم الأبعاد d لـ${\displaystyle Z(S)}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=d}|\det(Z(T))|}$

المحدد في هذه الصيغة منطقي لأنه (كما ذكر أعلاه) عندما تكون المجموعة${\displaystyle T}$عدد عناصرها يساوي البعد${\displaystyle n}$بالنسبة للمساحة المحيطة، فإن الزونوتوب هو متوازي أضلاع.