الإسقاط (رياضيات)

في الرياضيات ، الإسقاط هو تعيين أيدومبوتني لمجموعة (أو بنية رياضية أخرى ) في مجموعة جزئية (أو بنية فرعية ). في هذه الحالة، يعني الإيدامبوتون أن الإسقاط مرتين هو نفس الإسقاط مرة واحدة. يُطلق على القيد على فضاء جزئي للإسقاط أيضًا اسم الإسقاط ، حتى لو فقدت خاصية الإيدامبوتون. أحد الأمثلة اليومية للإسقاط هو إلقاء الظلال على مستوى (ورقة): إسقاط نقطة هو ظلها على ورقة، وإسقاط (ظل) نقطة على ورقة هو تلك النقطة نفسها (الإيدامبوتونية). ظل كرة ثلاثية الأبعاد هو قرص. في الأصل، تم تقديم مفهوم الإسقاط في الهندسة الإقليدية للإشارة إلى إسقاط الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد على مستوى فيه، مثل مثال الظل. الإسقاطان الرئيسيان من هذا النوع هما:

الإسقاط من نقطة إلى مستوى أو إسقاط مركزي : إذا كانت $C$ نقطة، تسمى مركز الإسقاط ، فإن إسقاط نقطة $P$ مختلفة عن $C$ على مستوى لا يحتوي على $C$ هو تقاطع الخط CP $مع$ المستوى. النقاط $P$ بحيث يكون الخط $CP$ موازيًا للمستوى ليس لها أي صورة بواسطة الإسقاط، ولكن غالبًا ما يقال إنها تسقط إلى نقطة في ما لا نهاية للمستوى (انظر هندسة الإسقاط لصياغة رسمية لهذا المصطلح). إسقاط النقطة $C$ نفسه غير محدد.
الإسقاط الموازي لاتجاه $D$ على مستوى أو إسقاط موازٍ : صورة النقطة $P$ هي تقاطع المستوى مع الخط الموازي لـ $D$ المار عبر $P.$ انظر الفضاء الأفيني § الإسقاط للحصول على تعريف دقيق، يمكن تعميمه على أي بُعد. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن مفهوم الإسقاط في الرياضيات قديم جدًا، ومن المرجح أن جذوره تعود إلى ظاهرة الظلال التي تلقيها الأجسام في العالم الحقيقي على الأرض. وقد تم صقل هذه الفكرة الأولية وتجريدها، أولاً في سياق هندسي ثم في فروع أخرى من الرياضيات. وبمرور الوقت، تطورت إصدارات مختلفة من المفهوم، ولكن اليوم، في إطار تجريدي كافٍ، يمكننا توحيد هذه الاختلافات. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في علم رسم الخرائط ، يُعَد إسقاط الخريطة خريطة لجزء من سطح الأرض على مستوى، وهو في بعض الحالات، ولكن ليس دائمًا، يمثل تقييدًا لإسقاط بالمعنى المذكور أعلاه. تشكل الإسقاطات ثلاثية الأبعاد أيضًا أساس نظرية المنظور . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن الحاجة إلى توحيد النوعين من الإسقاطات وتحديد الصورة من خلال إسقاط مركزي لأي نقطة مختلفة عن مركز الإسقاط هي أصل الهندسة الإسقاطية .

تعريف

إن قابلية التبديل لهذا الرسم البياني هي عالمية الإسقاط $π$ ، لأي خريطة $f$ ومجموعة $X.$

بشكل عام، فإن التعيين حيث يكون المجال والمجال المشترك هما نفس المجموعة (أو البنية الرياضية ) هو إسقاط إذا كان التعيين إيدموتنت ، مما يعني أن الإسقاط يساوي تركيبه مع نفسه. قد يشير الإسقاط أيضًا إلى تعيين له معكوس أيمن . كلا المفهومين مرتبطان بقوة، على النحو التالي. دع $p$ يكون تعيينًا إيدموتنت من المجموعة $A$ إلى نفسها (وبالتالي $p \circ p = p$ ) و $B = p (A)$ تكون صورة $p$ . إذا أشرنا بـ $π$ إلى التعيين $p$ كما يُنظر إليه على أنه تعيين من $A$ إلى $B$ وبـ $i$ إلى حقن B في A $($ بحيث $p$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ )، فلدينا $π$ $\circ$ $i$ $= Id$ $B$ (بحيث يكون $لـ π$ $معكوس$ أيمن). وعلى العكس من ذلك، إذا كان $لـ π$ معكوس أيمن $i$ ، فإن $π$ $\circ$ $i$ $= Id$ $B$ يعني أن $i$ $\circ$ $π$ $\circ$ $i$ $\circ$ $π$ $=$ $i$ $\circ Id$ $B$ $\circ$ $π$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ ؛ أي أن $p$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ هي أيدومبوتنية. ^[^{بحاجة لمصدر}^]

التطبيقات

لقد تم توسيع أو تعميم المفهوم الأصلي للإسقاط على مواقف رياضية مختلفة، في كثير من الأحيان، ولكن ليس دائمًا، مرتبطة بالهندسة، على سبيل المثال:

في نظرية المجموعات :
- عملية تتميز بخريطة الإسقاط ^j $،$ المكتوبة $proj$ $j$ ، والتي تأخذ عنصر $x$ $= ($ $x$ $1$ $، ...،$ $x$ $j$ $، ...،$ $x$ $n$ $)$ من حاصل الضرب الديكارتي $X$ $1$ $\times \dots \times$ $X$ $j$ $\times \dots \times$ $X$ $n$ إلى القيمة $proj$ $j$ ( $x$ $) =$ $x$ $j$ $.$ ^[1] هذه الخريطة دائمًا ما تكون فوقية ، وعندما يكون لكل فضاء X k طوبولوجيا $،$ $تكون$ $هذه$ الخريطة أيضًا متصلة ومفتوحة . [ ^2]
- تُعرف التعيينات التي تأخذ عنصرًا إلى فئة التكافؤ الخاصة به بموجب علاقة تكافؤ معينة باسم الإسقاط القياسي . ^[3]
- ترسل خريطة التقييم دالة $f$ إلى القيمة $f (x)$ لقيمة ثابتة $x$ . يمكن تحديد مساحة الدوال $Y X$ باستخدام حاصل الضرب الديكارتي ، وخريطة التقييم عبارة عن خريطة إسقاط من حاصل الضرب الديكارتي. ^[^{بحاجة لمصدر}^] ${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$
بالنسبة لقواعد البيانات العلائقية ولغات الاستعلام ، فإن الإسقاط هو عملية أحادية مكتوبة على هيئة حيث هي مجموعة من أسماء السمات. يتم تعريف نتيجة هذا الإسقاط على أنها المجموعة التي يتم الحصول عليها عندما يتم تقييد جميع الثنائيات في $R$ بالمجموعة . ^[4]^[5]^[6]^[^{مطلوب التحقق}^] $R$ هي علاقة قاعدة بيانات . ^[^{بحاجة لمصدر}^] $\Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$
في الهندسة الكروية ، استخدم بطليموس (~150) إسقاط كرة على مستوى في كتابه Planisphaerium . ^[7] تسمى الطريقة الإسقاط المجسم وتستخدم مستو مماس للكرة وقطب C معاكس قطريًا لنقطة التماس. تحدد أي نقطة $P$ على الكرة بالإضافة إلى $C$ خط $CP$ يتقاطع مع المستوى عند النقطة المسقطة لـ $P.$ ^[8] تجعل المطابقة الكرة عبارة عن ضغط نقطة واحدة للمستوى عندما يتم تضمين نقطة عند اللانهاية لتتوافق مع $C$ ، والتي لا يوجد لها إسقاط على المستوى بخلاف ذلك. ومن الأمثلة الشائعة المستوى المركب حيث يتوافق الضغط مع كرة ريمان . بدلاً من ذلك، غالبًا ما يتم إسقاط نصف الكرة على مستوى باستخدام الإسقاط المغزلي . ^[^{بحاجة لمصدر}^]
في الجبر الخطي ، التحويل الخطي الذي يظل دون تغيير إذا تم تطبيقه مرتين: $p (u) = p (p (u))$ . بعبارة أخرى، عامل أيديمبوتني . على سبيل المثال، التعيين الذي يأخذ نقطة $(x, y, z)$ في ثلاثة أبعاد إلى النقطة $(x, y, 0)$ هو إسقاط. هذا النوع من الإسقاط يعمم بشكل طبيعي على أي عدد من الأبعاد $n$ للمجال و $k \leq n$ للمجال المشترك للتعيين. انظر الإسقاط المتعامد ، الإسقاط (الجبر الخطي) . في حالة الإسقاطات المتعامدة، يسمح الفضاء بالتحلل كمنتج، وعامل الإسقاط هو إسقاط بهذا المعنى أيضًا. ^[9]^[10]^{[ مطلوب التحقق ]}
في الطوبولوجيا التفاضلية ، تتضمن أي حزمة ألياف خريطة إسقاط كجزء من تعريفها. على المستوى المحلي على الأقل تبدو هذه الخريطة وكأنها خريطة إسقاط بمعنى الطوبولوجيا المنتجة وبالتالي فهي مفتوحة وفوقية. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
في الطوبولوجيا ، الانكماش هو خريطة مستمرة $r : X \to X$ والتي تقتصر على خريطة الهوية على صورتها. ^[11] وهذا يلبي شرطًا مماثلًا للتماثل $r 2 = r$ ويمكن اعتباره تعميمًا لخريطة الإسقاط. تسمى صورة الانكماش انكماشًا للمساحة الأصلية. الانكماش الذي يكون متماثلًا مع الهوية يُعرف باسم انكماش التشوه . يستخدم هذا المصطلح أيضًا في نظرية الفئات للإشارة إلى أي انقسام في الشكل. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
الإسقاط القياسي (أو الحاسم) لمتجه واحد على آخر.
في نظرية الفئات ، يمكن تعميم مفهوم حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات أعلاه على فئات عشوائية . حاصل بعض الأشياء له شكل إسقاطي قانوني لكل عامل. تشمل الحالات الخاصة الإسقاط من حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات ، أو طوبولوجيا حاصل الفراغات الطوبولوجية (التي تكون دائمًا شاملة ومفتوحة ) ، أو من حاصل الضرب المباشر للمجموعات ، إلخ. على الرغم من أن هذه الأشكال غالبًا ما تكون أشكالًا متماثلة وحتى شاملة، إلا أنها لا يجب أن تكون كذلك. ^[12]^[^{مطلوب التحقق}^]

مراجع

^ "الضرب المباشر - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .
^ لي، جون م. (2012). مقدمة إلى المتشعبات الملساء. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218 (الطبعة الثانية). ص 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5تمرين أ.32. افترض وجود فراغات طوبولوجية. أظهر أن كل إسقاط عبارة عن خريطة مفتوحة. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$
^ براون، أرلين؛ بيرسي، كارل (16 ديسمبر 1994). مقدمة في التحليل. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-94369-5.
^ Alagic, Suad (2012-12-06). Relational Database Technology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4922-1.
^ Date, CJ (2006-08-28). قاموس قاعدة البيانات العلائقية: مسرد شامل للمصطلحات والمفاهيم العلائقية، مع أمثلة توضيحية. "O'Reilly Media, Inc." ISBN 978-1-4493-9115-7.
^ "الجبر العلائقي". www.cs.rochester.edu . مؤرشف من الأصل في 30 يناير 2004 . تم الاسترجاع في 29 أغسطس 2021 .
^ سيدولي، ناثان؛ بيرجرين، جيه إل (2007). "النسخة العربية من كتاب بطليموس "الكرة الأرضية" أو تسطيح سطح الكرة: نص وترجمة وتعليق" (PDF) . Sciamvs . 8. تم الاسترجاع في 11 أغسطس 2021 .
^ "الإسقاط المجسم - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .
^ "الإسقاط - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .
^ رومان، ستيفن (2007-09-20). الجبر الخطي المتقدم. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-72831-5.
^ "السحب - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .
^ "حاصل ضرب عائلة من الأشياء في فئة - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

قراءة إضافية

توماس كريج (1882) أطروحة حول الإسقاطات من مجموعة الرياضيات التاريخية لجامعة ميشيغان .

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] "الضرب المباشر - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

[2] لي، جون م. (2012). مقدمة إلى المتشعبات الملساء. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218 (الطبعة الثانية). ص 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5تمرين أ.32. افترض وجود فراغات طوبولوجية. أظهر أن كل إسقاط عبارة عن خريطة مفتوحة. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$

[3] براون، أرلين؛ بيرسي، كارل (16 ديسمبر 1994). مقدمة في التحليل. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-94369-5.

[4] Alagic, Suad (2012-12-06). Relational Database Technology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4922-1.

[5] Date, CJ (2006-08-28). قاموس قاعدة البيانات العلائقية: مسرد شامل للمصطلحات والمفاهيم العلائقية، مع أمثلة توضيحية. "O'Reilly Media, Inc." ISBN 978-1-4493-9115-7.

[6] "الجبر العلائقي". www.cs.rochester.edu . مؤرشف من الأصل في 30 يناير 2004 . تم الاسترجاع في 29 أغسطس 2021 .

[7] سيدولي، ناثان؛ بيرجرين، جيه إل (2007). "النسخة العربية من كتاب بطليموس "الكرة الأرضية" أو تسطيح سطح الكرة: نص وترجمة وتعليق" (PDF) . Sciamvs . 8. تم الاسترجاع في 11 أغسطس 2021 .

[8] "الإسقاط المجسم - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

[9] "الإسقاط - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

[10] رومان، ستيفن (2007-09-20). الجبر الخطي المتقدم. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-72831-5.

[11] "السحب - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

[12] "حاصل ضرب عائلة من الأشياء في فئة - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-08-11 .

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗