إضافة مينكوفسكي

في الرياضيات ، تتكون مجموعة مجموع مجموعتين جزئيتين A و B من مجموعة أبيلية (جمعية) عن طريق إضافة كل عنصر من A إلى كل عنصر من B : $${\displaystyle A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}.}$$

في الهندسة ، يُعرف مجموع مينكوفسكي لمجموعتين جزئيتين A و B من الفضاء الإقليدي بأنه مجموعة النقاط التي تُشكّل متجهات مواقعها مجموع متجهات مواقع A و B. يعتمد مجموع مينكوفسكي على اختيار نقطة أصل في الفضاء الإقليدي. وبما أن تغيير نقطة الأصل يُعادل إزاحة مجموع مينكوفسكي، فإن هذا المجموع مُعرّف بدقة حتى الإزاحة، ويكون شكله واتجاهه مُحددين بدقة.

الفرق المينكوفسكي ( ويُسمى أيضًا طرح مينكوفسكي ، أو تحليل مينكوفسكي ، أو الفرق الهندسي ) ^{[ 1 ]} هو المعكوس المقابل، حيث${\textstyle (AB)}$ينتج مجموعة يمكن جمعها مع B لاستعادة A. ويُعرَّف هذا بأنه مكمل مجموع مينكوفسكي لمكمل A مع انعكاس B حول نقطة الأصل. ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}-B&=\{\mathbf {-b} \,|\,\mathbf {b} \in B\}\\AB&=(A^{\complement }+(-B))^{\complement }\end{aligned}}}$$

يُتيح هذا التعريف علاقةً متناظرةً بين مجموع مينكوفسكي وفرقه. تجدر الإشارة إلى أن أخذ المجموع والفرق بالتناوب مع B ليس بالضرورة متكافئًا. فالمجموع قادر على ملء الفجوات التي قد لا يُعيد الفرق فتحها، والفرق قادر على محو الجزر الصغيرة التي لا يستطيع المجموع إعادة إنشائها من العدم.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(AB)+B&\subseteq A\\(A+B)-B&\supseteq A\\AB&=(A^{\complement }+(-B))^{\complement }\\A+B&=(A^{\complement }-(-B))^{\complement }\\\end{aligned}}}$$

في معالجة الصور ثنائية الأبعاد ، يُعرف مجموع وفرق مينكوفسكي باسم التمدد والتآكل .

يُستخدم أحيانًا تعريف بديل لفرق مينكوفسكي لحساب تقاطع الأشكال المحدبة. ^{[ 3 ]} هذا التعريف لا يُكافئ التعريف السابق، ولا يُعدّ معكوسًا لعملية الجمع. بل يستبدل عملية جمع المتجهات في مجموع مينكوفسكي بعملية طرح المتجهات . إذا تقاطع الشكلان المحدبان، فإن المجموعة الناتجة ستحتوي على نقطة الأصل.

$${\displaystyle AB=\{\mathbf {a} -\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}=A+(-B)}$$

سُمّي هذا المفهوم تيمناً بهيرمان مينكوفسكي .

على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعتان A و B ، تتكون كل منهما من ثلاثة متجهات موضعية (بصورة غير رسمية، ثلاث نقاط)، تمثل رؤوس مثلثين في${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$، مع الإحداثيات

$${\displaystyle A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}}$$

و

$${\displaystyle B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\}}$$

إذن مجموع مينكوفسكي الخاص بهم هو

$${\displaystyle A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,-1),(1,0),(1,-2)\},}$$

والتي تتكون من رؤوس الشكل السداسي ومركزه.

بالنسبة لعملية جمع مينكوفسكي، مجموعة الأصفار ،${\textstyle \{0\},}$إن احتواء المجموعة على المتجه الصفري فقط ، 0، هو عنصر محايد : لكل مجموعة جزئية S من فضاء متجهي،

$${\displaystyle S+\{0\}=S.}$$

تُعد المجموعة الفارغة مهمة في عملية جمع مينكوفسكي، لأن المجموعة الفارغة تلغي كل مجموعة جزئية أخرى: لكل مجموعة جزئية S من فضاء متجهي، يكون مجموعها مع المجموعة الفارغة فارغًا:

$${\displaystyle S+\emptyset =\emptyset .}$$

كمثال آخر، ضع في اعتبارك مجموع مينكوفسكي للكرات المفتوحة أو المغلقة في الملعب${\textstyle \mathbb {K} ,}$والتي هي إما الأعداد الحقيقية${\textstyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\textstyle \mathbb {C} }$. لو${\textstyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K}$ الكرة المغلقة التي نصف قطرها r هي :|s|\leq r\ ${\textstyle r\in [0,\infty ]}$مركزها في${\textstyle 0}$في${\textstyle \mathbb {K} }$ثم لأي${\textstyle r,s\in [0,\infty ]}$،${\textstyle B_{r}+B_{s}=B_{r+s}}$وأيضًا${\textstyle cB_{r}=B_{|c|r}}$وينطبق هذا على أي كمية قياسية${\textstyle c\in \mathbb {K} }$بحيث يكون المنتج${\textstyle |c|r}$يتم تعريفها (وهو ما يحدث عندما${\textstyle c\neq 0}$أو${\textstyle r\neq \infty }$). لو${\textstyle r}$،${\textstyle s}$، و${\textstyle c}$إذا كانت جميعها غير صفرية، فإن نفس المساواة ستظل قائمة.${\textstyle B_{r}}$تم تعريفها بأنها الكرة المفتوحة، وليس الكرة المغلقة، التي مركزها صفر (يُشترط عدم الصفر لأن الكرة المفتوحة ذات نصف القطر صفر هي المجموعة الفارغة). مجموع مينكوفسكي لكرة مغلقة وكرة مفتوحة هو كرة مفتوحة. وبشكل أعم، فإن مجموع مينكوفسكي لمجموعة جزئية مفتوحة مع أي مجموعة أخرى هو مجموعة جزئية مفتوحة.

لو${\textstyle G=\{(x,1/x):0\neq x\in \mathbb {R} \}}$هو الرسم البياني لـ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$وإذا${\textstyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$هو${\textstyle y}$المحور السيني في${\textstyle X=\mathbb {R} ^{2}}$إذن، مجموع مينكوفسكي لهاتين المجموعتين المغلقتين من المستوى هو المجموعة المفتوحة${\textstyle G+Y=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\neq 0\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$يشمل كل شيء عدا${\textstyle y}$المحور ∞. يُظهر هذا أن مجموع مينكوفسكي لمجموعتين مغلقتين ليس بالضرورة مجموعة مغلقة. مع ذلك، سيكون مجموع مينكوفسكي لمجموعتين جزئيتين مغلقتين مجموعة جزئية مغلقة إذا كانت إحداهما على الأقل مجموعة جزئية متراصة .

تتصرف عملية جمع مينكوفسكي بشكل جيد فيما يتعلق بعملية أخذ الأغلفة المحدبة ، كما هو موضح في الاقتراح التالي:

لجميع المجموعات الجزئية غير الفارغة${\textstyle S_{1}}$و${\textstyle S_{2}}$في فضاء متجهي حقيقي، يكون الغلاف المحدب لمجموع مينكوفسكي الخاص بهم هو مجموع مينكوفسكي لأغلفةهم المحدبة: $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

تنطبق هذه النتيجة بشكل عام على أي مجموعة منتهية من المجموعات غير الفارغة:

$${\displaystyle \operatorname {Conv} \left(\sum {S_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S_{n}).}$$

في المصطلحات الرياضية، تُعتبر عمليات جمع مينكوفسكي وتكوين الأغلفة المحدبة عمليات تبادلية . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لو${\textstyle S}$إذا كانت مجموعة محدبة${\displaystyle \mu S+\lambda S}$وهي أيضاً مجموعة محدبة؛ علاوة على ذلك

$${\displaystyle \mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S}$$

لكل${\textstyle \mu ,\lambda \geq 0}$وعلى العكس من ذلك، إذا كانت هذه " الخاصية التوزيعية " تنطبق على جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة،${\textstyle \mu }$و${\textstyle \lambda }$إذاً، تكون المجموعة محدبة. ^{[ 6 ]}

يوضح الشكل الموجود على اليمين مثالاً لمجموعة غير محدبة حيث${\textstyle 2A\subsetneq A+A.}$

مثال على ذلك في بُعد واحد هو:${\textstyle B=[1,2]\cup [4,5].}$يمكن حساب ذلك بسهولة${\textstyle 2B=[2,4]\cup [8,10]}$لكن${\textstyle B+B=[2,4]\cup [5,7]\cup [8,10],}$ومن ثم مرة أخرى${\textstyle 2B\subsetneq B+B.}$

تؤثر مجاميع مينكوفسكي خطيًا على محيط الأجسام المحدبة ثنائية الأبعاد: محيط المجموع يساوي مجموع المحيطات. بالإضافة إلى ذلك، إذا${\textstyle K}$إذا كان (داخل) منحنى ذو عرض ثابت ، فإن مجموع مينكوفسكي لـ${\textstyle K}$ودورانها بزاوية 180 درجة يجعلها قرصًا. يمكن الجمع بين هاتين الحقيقتين لتقديم برهان موجز لنظرية باربييه حول محيط المنحنيات ذات العرض الثابت. ^{[ 7 ]}

يلعب جمع مينكوفسكي دورًا محوريًا في علم التشكل الرياضي . يظهر في نموذج الرسم ثنائي الأبعاد باستخدام الفرشاة والضربة (مع استخدامات متنوعة، أبرزها من قبل دونالد إي. كنوث في ميتافونت )، وكعملية مسح صلبة في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد . وقد ثبت أيضًا ارتباطه الوثيق بمسافة نقل الأرض ، وبالتالي، بالنقل الأمثل . ^{[ 8 ]}

يوجد أيضًا مفهوم مجموع مينكوفسكي الأساسي + _e لمجموعتين جزئيتين من الفضاء الإقليدي. ويمكن كتابة مجموع مينكوفسكي المعتاد على النحو التالي:

$${\displaystyle A+B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,A\cap (z-B)\neq \emptyset \right\}.}$$

وبالتالي، يتم تعريف مجموع مينكوفسكي الأساسي بواسطة

$${\displaystyle A+_{\mathrm {e} }B=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\mu \left[A\cap (z-B)\right]>0\right\},}$$

حيث يرمز μ إلى مقياس ليبيغ ذي البعد n . ويعود سبب استخدام مصطلح "أساسي" إلى الخاصية التالية لدوال المؤشر : بينما

$${\displaystyle 1_{A\,+\,B}(z)=\sup _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$$

يمكن ملاحظة ذلك

$${\displaystyle 1_{A\,+_{\mathrm {e} }\,B}(z)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\,\in \,\mathbb {R} ^{n}}1_{A}(x)1_{B}(z-x),}$$

حيث يشير "ess sup" إلى القيمة العليا الأساسية .

بالنسبة للمجموعات الجزئية المحدبة المدمجة K و L في${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$، يمكن وصف مجموع مينكوفسكي بواسطة دالة الدعم للمجموعات المحدبة:

$${\displaystyle h_{K+L}=h_{K}+h_{L}.}$$

بالنسبة لـ p ≥ 1، عرّف فايري [ ^{11 ] مجموع} مينكوفسكي L ^p K + _p L للمجموعات المحدبة المدمجة K و L في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يحتوي على الأصل كـ

$${\displaystyle h_{K+_{p}L}^{p}=h_{K}^{p}+h_{L}^{p}.}$$

بحسب متباينة مينكوفسكي ، فإن الدالة h( _{K + pL )} موجبة ومتجانسة ومحدبة، وبالتالي فهي دالة الدعم لمجموعة محدبة مضغوطة. هذا التعريف أساسي في نظرية ^برون -مينكوفسكي Lⁿ .

• مجموع بلاشكي – متعدد السطوح الذي يجمع بين متعددي سطوح أصغر 
• نظرية برون-مينكوفسكي – نظرية في الهندسة ، وهي متباينة تتعلق بأحجام مجاميع مينكوفسكي 
• الالتفاف – تكامل يعبر عن مقدار تداخل دالة ما عند إزاحتها فوق دالة أخرى 
• التمدد – عملية في علم التشكل الرياضي 
• التعرية – عملية أساسية في علم التشكل الرياضي 
• الحساب الفتري – طريقة لتحديد حدود أخطاء العمليات الحسابية العددية 
• الحجم المختلط (المعروف أيضًا باسم الحجم التكاملي أو الحجم الجوهري )
• المنحنى المتوازي – تعميم لمفهوم الخطوط المتوازية 
• معضلة شابلي-فولكمان – مجموع مجموعات المتجهات يكون محدبًا تقريبًا 
• مجموعة المجموع – مجموعة المجاميع الثنائية لعناصر مجموعتين 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي#الخصائص – فضاء متجهي بمفهوم التقارب 
• الزونوتوب – مجموع مينكوفسكي للقطع المستقيمة 

• آرو، كينيث  جيه ؛ هان، فرانك  إتش. (1980). التحليل التنافسي العام . كتب متقدمة في الاقتصاد. المجلد  12 (إعادة طبع لكتاب (1971) سان  فرانسيسكو،  كاليفورنيا: هولدن-داي،  إنك. نصوص الاقتصاد الرياضي. الطبعة السادسة ). أمستردام: نورث هولاند. ISBN   978-0-444-85497-1MR 0439057 .​ 
• غاردنر، ريتشارد ج. (2002)، "متباينة برون-مينكوفسكي"، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات (سلسلة جديدة) ، 39 (3): 355-405 (إلكتروني)، doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2
• غرين، جيري؛ هيلر، والتر  ب. (1981). "1  التحليل الرياضي  والتحدب مع تطبيقات في الاقتصاد". في آرو، كينيث  جوزيف ؛ إنتريليغاتور، مايكل  د. (محرران). دليل  الاقتصاد الرياضي، المجلد الأول كتيبات في الاقتصاد. المجلد  1. أمستردام: دار نشر نورث هولاند.  الصفحات 15-52 . doi : 10.1016/S1573-4382(81)01005-9 . ISBN  978-0-444-86126-9MR 0634800 .​ 
• هنري مان (1976)، نظريات الجمع: نظريات الجمع في نظرية الزمر ونظرية الأعداد (طبعة منقحة من طبعة وايلي لعام 1965  )، هنتنغتون، نيويورك: شركة روبرت إي. كريجر للنشر، رقم ISBN 978-0-88275-418-5– عبر www.krieger-publishing.com/subcats/MathematicsandStatistics/mathematicsandstatistics.html
• روكافيلر، ر.  تيريل (1997). التحليل المحدب . معالم برينستون في الرياضيات (إعادة طبع لسلسلة برينستون الرياضية لعام 1979، الطبعة 28 ). برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. الصفحات: 451 + 18. ISBN    978-0-691-01586-6MR 1451876 .​ 
• ناثانسون، ميلفين ب. (1996)، نظرية الأعداد الجمعية: المسائل العكسية وهندسة المجموعات المجمّعة ، GTM، المجلد  165، سبرينغر، Zbl 0859.11003 .
• أوكس، إدوارد؛ شارير، ميشا (2006)، "مجاميع مينكوفسكي للمضلعات البسيطة الرتيبة والعامة"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 35 (2): 223-240 ، doi : 10.1007/s00454-005-1206-y.
• شنايدر، رولف (1993)، الأجسام المحدبة: نظرية برون-مينكوفسكي ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
• تاو، تيرينس وفان فو (2006)، التوافقية الجمعية ، مطبعة جامعة كامبريدج.
• ماير، أ.؛ زيلينيوك، ف. (2014). "تجميع مؤشرات إنتاجية مالمكويست بما يسمح بإعادة تخصيص الموارد" . المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 238 (3): 774-785 . doi : 10.1016/j.ejor.2014.04.003 .
• زيلينيوك، ف. (2015). "تجميع كفاءة الحجم" . المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 240 (1): 269-277 . doi : 10.1016/j.ejor.2014.06.038 .

• "جمع مينكوفسكي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• هاو، روجر (1979)، حول ميل مجموع المتجهات للمجموعات نحو التحدب ، أوراق مناقشة مؤسسة كولز، المجلد  538، مؤسسة كولز للبحوث الاقتصادية ، جامعة ييل
• مجاميع مينكوفسكي ، في مكتبة خوارزميات الهندسة الحسابية
• مجموع مينكوفسكي لمثلثين ومجموع مينكوفسكي لقرص ومضلع من تأليف جورج بيك، مشروع عروض وولفرام .
• إضافة مينكوفسكي للأشكال المحدبة بواسطة ألكسندر بوغومولني : تطبيق صغير
• ويكي بوكس: دليل مستخدم OpenSCAD / التحويلات #مينكوفسكي بقلم ماريوس كينتل: التطبيق
• تطبيق إضافة مينكوفسكي على الروبوتات بواسطة جوان جيرارد
• توضيح خاصية مينكوفسكي الجمعية، والرتابة المحدبة، وغيرها من خصائص مسافة محركات الأرض