*- فئة مستقلة

في الرياضيات ، الفئة *-المستقلة (تُقرأ "الفئة النجمية المستقلة") هي فئة أحادية متناظرة مغلقة مزودة بكائن ثنائي${\displaystyle \bot }$. ويشار إلى هذا المفهوم أيضًا باسم فئة غروتينديك - فيردييه نظرًا لعلاقته بمفهوم ازدواجية فيردييه .

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لتكن فئة أحادية متناظرة مغلقة${\displaystyle \langle {\mathcal {C}},\otimes ,I,\Rightarrow \rangle }$بالنسبة لأي زوج من الأشياء، وخاصة A و${\displaystyle \bot }$يوجد تشاكل

${\displaystyle \partial _{A,\bot }:A\to (A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot }$

يُعرَّف بأنه الصورة بواسطة التقابل الذي يُعرّف الإغلاق المونويدي

${\displaystyle \mathrm {Hom} ((A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom} (A,(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )}$

من خريطة التقييم:

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot }\circ \gamma _{A\Rightarrow \bot ,A}:(A\Rightarrow \bot )\otimes A\to \bot }$

أين${\displaystyle \gamma }$هي تناظر حاصل الضرب الموتري. كائن${\displaystyle \bot }$من الفئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يُطلق عليه اسم "الازدواجية" عندما يكون التشكل المرتبط به${\displaystyle \partial _{A,\bot }}$هو تماثل لكل كائن A من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

بصورة مكافئة، فإن الفئة *-المستقلة هي فئة أحادية متناظرة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بالإضافة إلى دالة${\displaystyle (-)^{*}:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {C}}}$بحيث يكون لكل كائن A تماثل طبيعي${\displaystyle A\cong {A^{**}}}$ولكل ثلاثة أشياء A و B و C يوجد تقابل طبيعي

${\displaystyle \mathrm {Hom} (A\otimes B,C^{*})\cong \mathrm {Hom} (A,(B\otimes C)^{*})}$.

موضوع الازدواجية لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ثم يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \bot =I^{*}}$يتم إثبات تكافؤ التعريفين من خلال تحديد ${\displaystyle A^{*}=A\Rightarrow \bot }$.

الفئات المغلقة المدمجة هي فئات *-مستقلة، حيث تكون الوحدة الأحادية هي الكائن الثنائي. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت وحدة الفئة *-المستقلة كائنًا ثنائيًا، فستكون هناك عائلة قانونية من التطبيقات.

${\displaystyle A^{*}\otimes B^{*}\to (B\otimes A)^{*}}$.

تكون هذه كلها متماثلات إذا وفقط إذا كانت الفئة *-المستقلة مغلقة ومضغوطة.

من الأمثلة الشائعة فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة على أي حقل k، والتي تُجعل أحادية باستخدام الضرب الموتري المعتاد للفضاءات المتجهة. الكائن المزدوج هو k ، وهو الفضاء المتجه أحادي البعد، وتُقابل الازدواجية عملية النقل . على الرغم من أن فئة جميع الفضاءات المتجهة على k ليست ذاتية *، إلا أنه يمكن جعل امتدادات مناسبة لفئات الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ذاتية *.

من ناحية أخرى، تحتوي فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية على فئة فرعية كاملة واسعة للغاية، وهي فئة Ste من فضاءات النمطية ، وهي فئة *-مستقلة مع كائن الازدواجية${\displaystyle {\mathbb {C} }}$والناتج الموتري${\displaystyle \circledast }$.

تشكل نماذج مختلفة من المنطق الخطي فئات مستقلة *، وكان أقدمها فئة جان إيف جيرار لفضاءات التماسك.

تُعرف فئة أنصاف الشبكات الكاملة ذات التشكلات التي تحافظ على جميع عمليات الربط ولكن ليس بالضرورة عمليات الالتقاء، بأنها فئة *-مستقلة، حيث يكون المُضاعف عبارة عن سلسلة من عنصرين. ويُعطى مثال مُنحط (جميع المجموعات المتجانسة ذات عدد عناصر لا يتجاوز واحدًا) بواسطة أي جبر بولياني (كمجموعة مرتبة جزئيًا ) يتم جعله أحاديًا باستخدام الاقتران للجداء الموتري، مع اعتبار الصفر كائنًا مُضاعفًا.

يُقدّم الشكل الرسمي لثنائية فيردييه أمثلةً إضافيةً على الفئات *-المستقلة. فعلى سبيل المثال، يذكر بويارتشينكو ودرينفيلد (2013) أن الفئة المشتقة المحدودة للحزم l-adic القابلة للإنشاء على صنف جبري تتمتع بهذه الخاصية. وتشمل الأمثلة الأخرى الفئات المشتقة للحزم القابلة للإنشاء على أنواع مختلفة من الفضاءات الطوبولوجية.

مثال على فئة ذاتية الازدواجية ليست *-مستقلة هو الترتيبات الخطية المحدودة والدوال المستمرة، والتي تحتوي على * ولكنها ليست مستقلة: كائنها المزدوج هو سلسلة من عنصرين ولكن لا يوجد جداء موتر.

إن فئة المجموعات وحقنها الجزئي هي فئة مزدوجة ذاتيًا لأن عكس الأخيرة هو أيضًا حقن جزئي.

قدّم مايكل بار مفهوم الفئة *-المستقلة في عام 1979 في دراسة تحمل هذا العنوان. عرّف بار هذا المفهوم للحالة الأكثر عمومية لفئات V ، وهي فئات مُثرية بفئة أحادية متناظرة أو فئة مستقلة V. يُخصّص التعريف أعلاه تعريف بار لحالة V = مجموعة الفئات العادية، تلك التي تُشكّل عناصرها المتماثلة مجموعات (من التشكلات). تتضمن دراسة بار ملحقًا كتبه تلميذه بو-هسيانغ تشو، يُفصّل فيه بناءً من ابتكار بار يُبيّن وجود فئات *-مستقلة غير تافهة من فئة V لجميع الفئات الأحادية المتناظرة V ذات السحب العكسي ، والتي عُرفت عناصرها بعد عقد من الزمن باسم فضاءات تشو .

في فئة أحادية مغلقة ثنائية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على الرغم من عدم تماثلها بالضرورة، فإنه لا يزال من الممكن تعريف كائن ثنائي ثم تعريف فئة *-مستقلة كفئة أحادية مغلقة ثنائية مع كائن ثنائي. وهما تعريفان متكافئان، كما هو الحال في الحالة المتماثلة.

• فئة مستقلة

• بار، مايكل (1979). *الفئات المستقلة . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  752. سبرينغر. doi : 10.1007/BFb0064579 . ISBN 978-3-540-09563-7.
• بار، مايكل (1995). "الفئات غير المتناظرة *-المستقلة". علوم الحاسوب النظرية . 139 : 115-130 . doi : 10.1016/0304-3975(94)00089-2 . S2CID 14721961 . 
• بار، مايكل (1999). "الفئات المستقلة*: جولة أخرى حول المسار" (ملف PDF) . نظرية وتطبيقات الفئات . 6 : 5-24 . CiteSeerX 10.1.1.39.881 . 
• بويارتشينكو، ميتيا؛ درينفيلد، فلاديمير (2013). "صيغة ثنائية على غرار غروتينديك وفيردييه". طوبولوجيا الكم . 4 (4): 447-489 . arXiv : 1108.6020 . doi : 10.4171/QT/ 45 . MR 3134025. S2CID 55605535 .  
• فئة النجوم المستقلة في مختبر n