التراجع (نظرية الفئات)

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف السحب العكسي (ويُسمى أيضًا الضرب الليفي أو الضرب الليفي أو الضرب الليفي المُلبّد أو المربع الديكارتي ) بأنه نهاية مخطط يتكون من تشاكلين $f$ $:$ $X$ $\to$ $Z$ و $g$ $:$ $Y$ $\to$ $Z$ لهما مجال مشترك. يُكتب السحب العكسي على النحو التالي :

P = X \times f, Z, g Y

.

عادةً ما يتم حذف التشكلين $f$ و $g$ من الترميز، ثم يتم كتابة عملية السحب العكسي.

P = X \times Z Y

.

يأتي السحب العكسي مزودًا بمورفيزمين طبيعيين $P \to X$ و $P \to Y.$ ليس بالضرورة أن يوجد سحب عكسي لمورفيزمين $f$ و $g$ ، ولكن إن وُجد، فإنه يُعرَّف بشكل فريد بواسطة هذين المورفوميزمين. في كثير من الحالات، يمكن اعتبار $X \times Z Y$ $بديهيًا مكونًا من أزواج من العناصر (x, y)$ حيث $x$ ينتمي إلى $X و$ $y$ إلى $Y$ ، و $f (x) = g (y)$ . وللتعريف العام، تُستخدم خاصية شاملة ، تُعبِّر أساسًا عن حقيقة أن السحب العكسي هو الطريقة "الأكثر عمومية" لإكمال المورفيزمين المُعطيين إلى مربع تبديلي .

المفهوم المزدوج للتراجع هو الدفع للخارج .

الملكية العالمية

بشكل صريح، سحب للتشاكلات $f$ و $g$ يتكون من كائن $P$ واثنين من التشاكلات $p_{1}:P\rightarrow X$ و $p_{2}:P\rightarrow Y$ والتي رسمها التخطيطي

يتبادل . علاوة $على$ ذلك، يجب أن يكون السحب العكسي $(P ، p1 ، p2)$ شاملاً بالنسبة لهذا المخطط. $[$ $1$ ^{] أي ،} لأي ثلاثية أخرى من $هذا$ $القبيل$ $($ $Q ، q1 ، q2) حيث$ q1 $: Q \to X و q2$ $:$ Q $\to Y تشاكلات$ مع fq1 $=$ $gq2$ $،$ $يجب$ أن $يوجد$ $u وحيد :$ $Q$ $\to$ $P$ $بحيث$

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

يوضح الرسم التخطيطي التبادلي التالي هذه الحالة.

$كما هو الحال مع جميع البنى الشاملة،$ $فإن السحب العكسي، إن وُجد، يكون فريدًا حتى التشاكل. في الواقع، إذا أُعطي سحبان عكسيان (A، a1،$ $a2$ $)$ و ( B $، b1 ، b2) لنفس الامتداد$ المشترك $X \to Z \leftarrow Y$ $،$ $فسيكون$ هناك تشاكل $فريد بين A و B$ يحافظ $على$ بنية $السحب$ العكسي.

التراجع والمنتج

يُشبه السحب العكسي عملية الضرب ، ولكنه ليس مطابقًا لها . يُبنى الضرب الثنائي العادي على أنه نهاية مخطط يحتوي فقط على الكائنين $X$ و $Y$ ، دون وجود أسهم بينهما ( فئة منفصلة )، وبالتالي "نتجاهل" التشكلات $f$ و $g$ والكائن $Z$ من تعريف السحب العكسي. بدلاً من ذلك، يمكن أيضًا "تبسيطها" بتخصيص $Z$ ليكون الكائن النهائي ، إن وُجد. عندئذٍ ، يتم تحديد $f$ و $g$ بشكل فريد، وبالتالي لا يحملان أي معلومات، ويمكن اعتبار السحب العكسي لهذا الامتداد المشترك هو ضرب $X$ و $Y.$

وعلى العكس من ذلك، يمكن اعتبار عملية السحب العكسي بمثابة الضرب العادي (الديكارتي)، ولكن مع بنية إضافية؛ من الناحية الرسمية، فإن عملية السحب العكسي هي بالضبط الضرب الثنائي في فئة الشريحة على $Z.$

أمثلة

الحلقات التبديلية

في فئة الحلقات التبديلية (ذات العنصر المحايد)، يُطلق على السحب العكسي اسم الضرب الليفي. لتكن A $و$ B $و$ C $حلقات$ تبديلية (ذات عنصر محايد)، و $α : A \to C$ و $β : B \to C$ تماثلات حلقية (تحافظ على العنصر المحايد) . عندئذٍ، يوجد السحب العكسي لهذا المخطط، ويُعطى بالحلقة الجزئية من حلقة الضرب $A \times B$ المعرفة بـ

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

بالإضافة إلى التشكلات

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

مقدم من $\beta '(a,b)=a$ و $\alpha '(a,b)=b$ للجميع $(a,b)\in A\times _{C}B$ ثم لدينا

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

المجموعات والوحدات

على غرار مثال الحلقات التبادلية أعلاه، يمكن للمرء أن يثبت أن جميع عمليات السحب العكسي موجودة في فئة المجموعات وفي فئة الوحدات النمطية على حلقة ثابتة ما.

مجموعات

في فئة المجموعات ، يوجد دائمًا سحب عكسي للدالتين $f : X \to Z$ و $g : Y \to Z$ ويتم تحديده بواسطة المجموعة

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\;{\big |}\;f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

بالإضافة إلى قيود خرائط الإسقاط $π 1$ و $π 2$ إلى $X \times Z Y.$

أو يمكن للمرء أن ينظر إلى التراجع في $المجموعة$ بشكل غير متماثل:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

أين $\coprod$ هو الاتحاد المنفصل للمجموعات ( المجموعات المعنية ليست منفصلة بذاتها إلا إذا كانت $f$ أو $g$ أحادية ). في الحالة الأولى، يستخرج الإسقاط $π 1$ $فهرس x$ بينما يتجاهل $π 2$ الفهرس، تاركًا عناصر $Y.$

يُحفز هذا المثال طريقة أخرى لتوصيف السحب العكسي: باعتباره مُعادلًا للتشاكلات $f \circ p 1, g \circ p 2 : X \times Y \to Z$ ، حيث $X \times Y$ هو حاصل الضرب الثنائي لـ $X$ و $Y،$ و $p 1$ و $p 2$ هما الإسقاطان الطبيعيان. يُبين هذا أن السحب العكسي موجود في أي فئة تحتوي على حاصل ضرب ثنائي ومعادلات. في الواقع، وفقًا لنظرية وجود النهايات ، فإن جميع النهايات المنتهية موجودة في فئة تحتوي على حاصل ضرب ثنائي ومعادلات؛ وبشكل مكافئ، فإن جميع النهايات المنتهية موجودة في فئة تحتوي على كائن نهائي وسحب عكسي (لأن حاصل الضرب الثنائي يساوي سحبًا عكسيًا على الكائن النهائي، وأن المُعادل هو سحب عكسي يتضمن حاصل ضرب ثنائي).

رسوم بيانية للدوال

يُعطى مثال محدد على التراجع من خلال رسم بياني لدالة ما. لنفترض أن $f\colon X\to Y$ هي دالة. الرسم البياني للدالة $f$ هو المجموعة $\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.$ يمكن إعادة صياغة الرسم البياني على أنه سحب عكسي للدالة $f$ ودالة التطابق على $Y.$ وبحسب التعريف، فإن هذا السحب العكسي هو $X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_ {Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,$ وهذا يساوي $\Gamma _{f}$ .

حزم الألياف

مثال آخر على السحب العكسي يأتي من نظرية الحزم الليفية : إذا كان لدينا تطبيق حزمة $π : E \to B$ وتطبيق متصل $f : X \to B$ $، فإن$ السحب العكسي (المُشكَّل في فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات التطبيقات المتصلة ) $X \times BE$ هو حزمة ليفية فوق $X$ تُسمى حزمة السحب العكسي . المخطط التبادلي المرتبط بها هو تشاكل بين الحزم الليفية. حالة خاصة هي السحب العكسي لحزمتين ليفيتين $E1$ $و$ $E2$ $\to$ $B.$ في هذه الحالة $،$ $E1$ $\times$ $E2$ هي حزمة ليفية فوق $B$ $\times B$ $،$ $والسحب$ العكسي على طول التطبيق القطري $B$ $\to$ $B \times B$ يُعطي فضاءً متماثلًا (متماثلًا تفاضليًا) مع $E1$ $\times$ $BE2$ $،$ وهو حزمة ليفية فوق $B.$ جميع العبارات هنا صحيحة أيضًا بالنسبة للمشعبات القابلة للتفاضل. التطبيقات القابلة للتفاضل $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ و $g$ $:$ $P$ $\to$ $N$ تكون مستعرضة إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما $M$ × $P$ $\to$ $N \times N مستعرضًا$ $على$ قطر $N.$ ^[²^] وبالتالي فإن سحب خريطتين تفاضليتين مستعرضتين إلى نفس المشعب التفاضلي هو أيضًا مشعب تفاضلي، والفضاء المماسي للسحب هو سحب الفضاءات المماسية على طول الخرائط التفاضلية.

الصور الأصلية والتقاطعات

يمكن وصف الصور العكسية للمجموعات تحت الدوال بأنها عمليات سحب عكسية على النحو التالي:

لنفترض أن $f : A \to B$ ، $حيث$ $B₀ \subseteq B.$ ولتكن $g$ دالة التضمين $B₀ ↪ B.$ $عندئذٍ ،$ يكون السحب العكسي لـ $f$ و $g$ $($ في $المجموعة$ $)$ مُعطى بالصورة العكسية $f⁻¹ [B₀]$ بالإضافة إلى تضمين الصورة العكسية في $A.$

f -1 [B 0] ↪ A

وتقييد $f$ إلى $f -1 [B 0]$

f -1 [B 0] \to B 0

.

بسبب هذا المثال، في فئة عامة، يمكن اعتبار السحب العكسي لتشكل $f$ وتشكل أحادي $g$ بمثابة "الصورة الأصلية" للكائن الفرعي المحدد بواسطة $g تحت$ $f$ . وبالمثل، يمكن اعتبار السحب العكسي لتشكلين أحاديين بمثابة "تقاطع" الكائنين الفرعيين.

المضاعف المشترك الأصغر

اعتبر الزمرة الضربية للأعداد الصحيحة الموجبة $Z +$ فئةً ذات عنصر واحد. في هذه الفئة، يكون السحب العكسي لعددين صحيحين موجبين $m$ و $n$ هو الزوج فقط $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$ ، حيث يكون كل من البسطين هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين m $و$ n $.$ ويمثل الزوج نفسه أيضًا عملية الدفع.

المخططات

بما أن عملية الدفع الخارجي في فئة الحلقات، أي الضرب المشترك في فئة الجبر على حلقة R ، تُعطى بواسطة الضرب الموتري على R ، وبما أن Spec دالة متغايرة، فإن عملية السحب العكسي لمخططين أفينيين Spec( A ) و Spec( B ) على Spec( R )، والتي تُسمى عادةً بالضرب الليفي، تُعطى بواسطة Spec( A ⊗ _{R ⊗} B ). وبربط المخططات ، يمكن بناء الضرب الليفي لأي مخططين على قاعدة أفينية، ومن ثم إثبات وجوده على أي مخطط قاعدة. ^[³^]

تعتبر منتجات الألياف للمخططات مهمة في الهندسة الجبرية لأنها توفر مفهومًا لتغيير الأساس، على سبيل المثال من تنوع على حقل إلى امتداد حقل ، بالإضافة إلى السماح بتعريف التقاطعات النظرية للمخططات وألياف التشكل .

ملكيات

في أي فئة تحتوي على كائن نهائي $T ،$ ^يكون السحب العكسي $X \times T Y$ هو مجرد المنتج العادي $X \times Y.$ ^[⁴ ]
تكون الأشكال الأحادية مستقرة تحت السحب العكسي: إذا كان السهم $f$ في المخطط أحاديًا، فإن السهم $p 2$ يكون كذلك أيضًا . وبالمثل، إذا كان $g$ أحاديًا، فإن $p 1$ يكون كذلك أيضًا . ^{[ 5 ]}
التشاكلات مستقرة أيضًا، وبالتالي، على سبيل المثال، $X \times X Y ≅ Y$ لأي خريطة $Y \to X$ (حيث الخريطة الضمنية $X \to X$ هي الهوية).
في فئة أبيلية، توجد جميع عمليات السحب العكسي، ^{[ 6 ]} وهي تحافظ على النوى ، بالمعنى التالي: إذا

إذا كان مخطط السحب العكسي ،

فإن التشكل المستحث

ker(p2) \to ker(f)

يكون تماثلاً، ^{[ 7 ]} وكذلك التشكل المستحث

ker(p1) \to ker(g) . وبالتالي

،

ينتج عن كل مخطط سحب عكسي مخطط تبديلي بالشكل التالي، حيث تكون جميع الصفوف والأعمدة تامة :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

علاوة على ذلك، في فئة أبيلية، إذا كان

X \to Z

تشاكلاً شاملاً، فإن سحبه العكسي

P \to Y

يكون كذلك أيضاً ، وبالمثل: إذا كان

Y \to Z

تشاكلاً شاملاً، فإن سحبه العكسي

P \to X

يكون كذلك أيضاً . ^{[ 8 ]} في هذه الحالات، يكون المربع المسحوب العكسي أيضاً مربعاً دافعاً للخارج. ^{[ 9 ]}

يوجد تماثل طبيعي ( A × _CB ) × _BD ≅ A × _CD . وهذا يعني تحديدًا ما يلي :
- إذا كانت الدوال f : A → C و g : B → C و h : D → B معطاة و
- يُعطى سحب الدالتين f و g بالعلاقة r : P → A و s : P → B ، و
- يتم إعطاء عملية السحب العكسي لـ s و h بواسطة t : Q → P و u : Q → D ،
- ثم يتم إعطاء السحب العكسي لـ f و gh بواسطة rt : Q → A و u : Q → D.

بيانيًا، هذا يعني أن مربعين متقابلين، موضوعين جنبًا إلى جنب ويشتركان في شكل واحد، يشكلان مربعًا متقابلًا أكبر عند تجاهل الشكل المشترك الداخلي.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

أي فئة بها عمليات تراجع ومنتجات بها عوامل معادلة.

تراجعات ضعيفة

إن السحب الضعيف لـ cospan $X \to Z \leftarrow Y$ هو مخروط فوق cospan يكون عالميًا بشكل ضعيف فقط ، أي أن التشكل الوسيط $u : Q \to P$ أعلاه ليس مطلوبًا أن يكون فريدًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ ميتشل، ص 9
↑ لي، جون م. (2003). "المشعبات الملساء". نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. ص 1-29 . doi : 10.1007/978-0-387-21752-9_1 . ISBN 978-0-387-95448-6.
↑ هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، النظرية الثانية.3.3
↑ أداميك، ص 197.
↑ ميتشل، ص 9
↑ ميتشل، ص 32
↑ ميتشل، ص 15
↑ ميتشل، ص 34
↑ ميتشل، ص 39

مراجع

أداميك، جيري، هيرليش، هورست ، وستريكر، جورج إي؛ (1990). الفئات المجردة والخرسانة (4.2 ميجا بايت PDF). نشر في الأصل. جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-471-60922-6(النسخة الإلكترونية المجانية الآن).
كوهن، بول م.؛ الجبر الشامل (1981)، دار نشر دي. ريدل، هولندا، رقم ISBN 90-277-1213-1(نُشرت في الأصل عام 1965، بواسطة هاربر آند رو) .
ميتشل، باري (1965). نظرية التصنيفات . دار النشر الأكاديمية.

روابط خارجية

صفحة ويب تفاعلية تُنتج أمثلة على عمليات السحب العكسي في فئة المجموعات المنتهية. من تأليف جوسلين باين.
تراجع في مختبر n

[1] ميتشل، ص 9

[2] لي، جون م. (2003). "المشعبات الملساء". نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. ص 1-29 . doi : 10.1007/978-0-387-21752-9_1 . ISBN 978-0-387-95448-6.

[3] هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، النظرية الثانية.3.3

[4] أداميك، ص 197.

[5] ميتشل، ص 9

[6] ميتشل، ص 32

[7] ميتشل، ص 15

[8] ميتشل، ص 34

[9] ميتشل، ص 39

] أي ،

[

[

يكون

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗