منقولة الخريطة الخطية

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 78 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، تُعرف منقولة أو المرافق الجبري لتطبيق خطي بين فضاءين متجهيين، مُعرّفين على نفس الحقل ، بأنها تطبيق مُستحث بين الفضاءين الثنائيين لهذين الفضاءين. غالبًا ما تُستخدم المنقولة لدراسة التطبيق الخطي الأصلي. ويُعمم هذا المفهوم بواسطة الدوال المرافقة .

تعريف

يتركX8{\displaystyle X^{\#}}يرمز إلى الفضاء الثنائي الجبري لفضاء متجهيX{\displaystyle X}. دعX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}لتكن فضاءات متجهة على نفس الحقلك{\displaystyle {\mathcal {K}}}إذا​u:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كانت دالة خطية ، فإن دالة المرافقة الجبرية لها ، أو الدالة الثنائية ، [ 1 ] هي الدالة8u:Y8→X8{\displaystyle {}^{\#\!}u:Y^{\#}\to X^{\#}}محدد بواسطةو↦و∘u{\displaystyle f\mapsto f\circ u}. الدالة الناتجة8u(و):=و∘u{\displaystyle {}^{\#\!}u(f):=f\circ u}يُطلق عليه اسم التراجعو{\displaystyle f}بواسطة​u{\displaystyle u}⁠ .

الفضاء الثنائي المتصل لفضاء متجهي طوبولوجي (TVS)X{\displaystyle X}يُرمز إليه بـ ⁠X′{\displaystyle X^{\prime }}إذا​X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هل تُعتبر TVSs إذًا خريطة خطية؟u:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}تكون الدالة متصلة بشكل ضعيف إذا وفقط إذا8u(Y′)⊆X′{\displaystyle {}^{\#\!}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}، وفي هذه الحالة نتركتu:Y′→X′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}يشير إلى تقييد8u{\displaystyle {}^{\#\!}u}إلى​Y′{\displaystyle Y^{\prime }}الخريطة​تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}يُطلق عليه اسم المنقول [ 2 ] أو المرافق الجبري لـu{\displaystyle u}. تُحدد المتطابقة التالية منقولة ⁠u{\displaystyle u}⁠ : [ 3 ]⟨تu(و)،x⟩=⟨و،u(x)⟩ للجميع و∈Y′ و x∈X،{\displaystyle \left\langle {}^{\text{t}}\!u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ لجميع }}f\in Y^{\prime }{\text{ و }}x\in X,} أين⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }هو الاقتران الطبيعي المحدد بواسطة1{\displaystyle {1}}⁠ .

ملكيات

المهمةu↦تu{\displaystyle u\mapsto {}^{\text{t}}\!u}ينتج تطبيقًا خطيًا أحاديًا بين فضاء المؤثرات الخطية منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}وفضاء المؤثرات الخطية منY8{\displaystyle Y^{\#}}إلى​X8{\displaystyle X^{\#}}إذا​X=Y{\displaystyle X=Y}عندئذٍ، يكون فضاء التطبيقات الخطية جبرًا تحت تركيب التطبيقات ، ويكون التعيين حينها تماثلًا عكسيًا للجبر، مما يعني أنت(uv)=تv تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!(uv)={}^{\text{t}}\!v\ {}^{\text{t}}\!u}في لغة نظرية الفئات ، فإن أخذ ثنائية الفضاءات المتجهة ومنقولة التطبيقات الخطية هو بالتالي دالة متغايرة من فئة الفضاءات المتجهة علىك{\displaystyle {\mathcal {K}}}لنفسه. يمكن للمرء أن يتعرف عليه.ت(تu){\displaystyle {}^{\text{t}}\!\!\left({}^{\text{t}}\!u\right)}معu{\displaystyle u}باستخدام الحقن الطبيعي في القناة المزدوجة.

  • لوu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}وv:Y→Z{\displaystyle v:Y\to Z}هل هي خرائط خطية؟ت(v∘u)=تu∘تv{\displaystyle {}^{\text{t}}\!(v\circ u)={}^{\text{t}}\!u\circ {}^{\text{t}}\!v}[ 4 ]
  • لوu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كان تماثلًا ( شاملًا ) في فضاء متجهي، فإن منقوله يكون كذلك أيضًا .تu:Y′→X′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}⁠ .
  • لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هل هي مساحات معيارية إذن؟

‖x‖=رشفة‖x′‖≤1|x′(x)| لكل x∈X{\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ لكل }}x\in X} وإذا كان المؤثر الخطيu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كانت محدودة، فإن معيار المؤثر لـتu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}يساوي معيارu{\displaystyle u}أي [ 5 ] [ 6 ]‖u‖=‖تu‖،{\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{\text{t}}\!u\right\|,} وعلاوة على ذلك، ‖u‖=رشفة{|y′(ux)|:‖x‖≤1،‖y′‖≤1 أين x∈X،y′∈Y′}.{\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{\prime }\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}

بولارز

لنفترض الآن أنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هو مؤثر خطي ضعيف الاستمرارية بين فضاءات متجهة طوبولوجيةX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}مع مساحات مزدوجة متصلةX′{\displaystyle X^{\prime }}و​Y′{\displaystyle Y^{\prime }}على التوالي. ليكن⟨⋅،⋅⟩:X×X′→ج{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }يرمز إلى النظام الثنائي المتعارف عليه ، المحدد بواسطة⟨x،x′⟩=x′x{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}أينx{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x^{\prime }}يُقال إنها متعامدة إذا⟨x،x′⟩=x′x=0{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0}. لأي مجموعات جزئيةأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}و​S′⊆X′{\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime }}، دع أ∘={x′∈X′:رشفةأ∈أ|x′(أ)|≤1} و S∘={x∈X:رشفةs′∈S′|s′(x)|≤1}{\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}يرمز إلى القطبية ( المطلقة ) لـأ{\displaystyle A}فيX′{\displaystyle X^{\prime }}(على التوالي منS′{\displaystyle S^{\prime }}فيX{\displaystyle X}).

  • لوأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وب⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}إذا كانت المجموعات محدبة ومغلقة بشكل ضعيف وتحتوي على نقطة الأصل،تu(ب∘)⊆أ∘{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}يشير إلىu(أ)⊆ب{\displaystyle u(A)\subseteq B}[ 8 ]​​
  • لوأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وب⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}ثم [ 4 ]

[u(أ)]∘=(تu)-1(أ∘){\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{\text{t}}\!u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)} و u(أ)⊆ب يشير إلى تu(ب∘)⊆أ∘.{\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{\text{t}}\!u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.}

كير⁡تu=(أنا⁡u)∘.{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{\text{t}}\!u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}

المدمرون

يفترضX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هي فضاءات متجهة طوبولوجية وu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هو مؤثر خطي متصل ضعيفًا (لذا ⁠(تu)(Y′)⊆X′{\displaystyle \left({}^{\text{t}}\!u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}) . بالنظر إلى المجموعات الجزئيةم⊆X{\displaystyle M\subseteq X}و​شمال⊆X′{\displaystyle N\subseteq X^{\prime }}⁠ ، حدد مبيداتهم (بالنسبة للنظام الثنائي المتعارف عليه) بواسطة [ 6 ]

م⊥:={x′∈X′:⟨م،x′⟩=0 للجميع م∈م}={x′∈X′:x′(م)={0}} أين x′(م):={x′(م):م∈م}{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}

و

⊥شمال:={x∈X:⟨x،ن′⟩=0 للجميع ن′∈شمال}={x∈X:شمال(x)={0}} أين شمال(x):={ن′(x):ن′∈شمال}{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}
  • نواة​​تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}هو الفضاء الجزئي لـY′{\displaystyle Y^{\prime }}عمودي على صورة ⁠u{\displaystyle u}⁠ : [ 8 ]

كير⁡تu=(أنا⁡u)⊥{\displaystyle \ker {}^{\text{t}}\!u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}

  • الخريطة الخطيةu{\displaystyle u}تكون دالة حقنية إذا وفقط إذا كانت صورتها مجموعة جزئية ضعيفة الكثافة منY{\displaystyle Y}(أي صورةu{\displaystyle u}كثيف فيY{\displaystyle Y}متىY{\displaystyle Y}يتم إعطاء الطوبولوجيا الضعيفة الناتجة عن ⁠كير⁡تu{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{\text{t}}\!u}) . [ 8 ]
  • التحويلتu:Y′→X′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}تكون متصلة عندما يكون كلاهماX′{\displaystyle X^{\prime }}وY′{\displaystyle Y^{\prime }}تتمتع كلتاهما بطوبولوجيا ضعيفة* (أو تتمتعان بطوبولوجيا ثنائية قوية ، أو تتمتعان بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المحدبة المدمجة، أو تتمتعان بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المدمجة ). [ 9 ]
  • ( سورجيكون مساحات فريشيه ): إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت فضاءات فريشيه، فإن المؤثر الخطي المستمرu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}تكون شاملة إذا وفقط إذا (1) المنقولتu:Y′→X′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}(1 ) دالة أحادية ، و(2) صورة منقولة المصفوفةu{\displaystyle u}هي مجموعة جزئية مغلقة بشكل ضعيف (أي مغلقة بشكل ضعيف* ) منX′{\displaystyle X^{\prime }}[ 10 ]​​

ثنائيات فضاءات القسمة

يتركم{\displaystyle M}ليكن فضاءً متجهيًا مغلقًا جزئيًا من فضاء هاوسدورف المحدب محليًاX{\displaystyle X}ونرمز إلى خريطة القسمة القانونية بـ π:X→X/م أين π(x):=x+م.{\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.} يفترضX/م{\displaystyle X/M}يتمتع بطوبولوجيا القسمة الناتجة عن خريطة القسمة ⁠π:X→X/م{\displaystyle \pi :X\to X/M}ثم تُحسب قيمة منقولة دالة القسمة فيم⊥{\displaystyle M^{\bot }}و تπ:(X/م)′→م⊥⊆X′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }} هو تماثل TVS على ⁠م⊥{\displaystyle M^{\bot }}إذا​X{\displaystyle X}إذن، هو فضاء باناختπ:(X/م)′→م⊥{\displaystyle {}^{\text{t}}\!\pi التحويل (X/M)' → M' هو أيضًا تحويل متساوي القياس . [ 6 ] باستخدام هذا التحويل، فإن كل دالة خطية متصلة على فضاء القسمةX/م{\displaystyle X/M}يتم تحديدها بشكل أساسي بدالة خطية متصلة في المُفنيم⊥{\displaystyle M^{\bot }}من​م{\displaystyle M}⁠ .

ثنائيات الفضاءات المتجهة الفرعية

يتركم{\displaystyle M}ليكن فضاءً متجهيًا مغلقًا من فضاء هاوسدورف المحدب محليًاX{\displaystyle X}إذا​م′∈م′{\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}وإذاx′∈X′{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}هو امتداد خطي متصل لـم′{\displaystyle m^{\prime }}لX{\displaystyle X}ثم المهمةم′↦x′+م⊥{\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}يُحدث تماثلًا في فضاء المتجهات م′→X′/(م⊥)،{\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),} وهو تماثل قياس إذاX{\displaystyle X}هو فضاء باناخ. [ 6 ]

نرمز إلى خريطة التضمين بـ في:م→X أين في⁡(م):=م للجميع م∈م.{\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.} منقول خريطة التضمين هو تفي:X′→م′{\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }} جوهرها هو المُبيدم⊥={x′∈X′:⟨م،x′⟩=0 للجميع م∈م}{\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}وهي شاملة وفقًا لنظرية هان-باناخ . تُنشئ هذه الخريطة تماثلًا بين فضاءات المتجهات. X′/(م⊥)→م′.{\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}

التمثيل كمصفوفة

إذا كان التحويل الخطيu{\displaystyle u}يتم تمثيلها بواسطة المصفوفةأ{\displaystyle A}فيما يتعلق بقاعدتين منX{\displaystyle X}و​Y{\displaystyle Y}ثم​تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}يتم تمثيلها بواسطة المصفوفة المنقولةأتي{\displaystyle A^{\text{T}}}فيما يتعلق بالقواعد المزدوجة لـY′{\displaystyle Y^{\prime }}و​X′{\displaystyle X^{\prime }}ومن هنا جاء الاسم. أو بدلاً من ذلك، كماu{\displaystyle u}يمثلهاأ{\displaystyle A}التأثير باتجاه اليمين على متجهات الأعمدة،تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}يتم تمثيلها بنفس المصفوفة التي تعمل إلى اليسار على متجهات الصف. ترتبط وجهات النظر هذه بالضرب الداخلي المتعارف عليه على ⁠Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، الذي يحدد فضاء متجهات الأعمدة مع الفضاء المزدوج لمتجهات الصفوف.

العلاقة بالتابع الهرميتي

الهوية التي تميز عملية النقل، أي1{\displaystyle {1}}، يشبه تعريف الدالة المرافقة الهرميتية من الناحية الشكلية ، إلا أن الدالة المنقولة والدالة المرافقة الهرميتية ليستا نفس الدالة. الدالة المنقولة هي دالةY′→X′{\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}وهي معرفة للتطبيقات الخطية بين أي فضاءات متجهةX{\displaystyle X}و​Y{\displaystyle Y}، دون الحاجة إلى أي بنية إضافية. الخرائط المرافقة الهرميتيةY→X{\displaystyle Y\to X}وهي مُعرَّفة فقط للتطبيقات الخطية بين فضاءات هيلبرت، إذ تُعرَّف بدلالة الجداء الداخلي على فضاء هيلبرت. ولذلك، يتطلب المرافق الهيرميتي بنية رياضية أكثر تعقيدًا من المنقول.

ومع ذلك، يُستخدم النقل غالبًا في سياقات تكون فيها فضاءات المتجهات مزودة بصيغة ثنائية الخطية غير متدهورة، مثل الضرب النقطي الإقليدي أو أي ضرب داخلي حقيقي آخر. في هذه الحالة، تُستخدم الصيغة الثنائية الخطية غير المتدهورة ضمنيًا للربط بين فضاءات المتجهات ونظائرها، للتعبير عن عملية النقل كدالة .Y→X{\displaystyle Y\to X}⁠ . بالنسبة لفضاء هيلبرت المعقد، يكون الضرب الداخلي خطيًا وليس ثنائيًا، وهذه التحويلات تغير المنقول إلى الخريطة المرافقة.

بتعبير أدق: إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هي فضاءات هيلبرت وu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كانت دالة خطية، فإن منقولةu{\displaystyle u}والنظير الهرمي لـu{\displaystyle u}، والتي سنرمز إليها على التوالي بـتu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}و​u*{\displaystyle u^{*}}، مترابطة. يُرمز لها بـأنا:X→X*{\displaystyle I:X\to X^{*}}وج:Y→Y*{\displaystyle J:Y\to Y^{*}}التماثلات المضادة الخطية المتعارف عليها في فضاءات هيلبرتX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}ثم ينتقلون إلى مبارزاتهم.u*{\displaystyle u^{*}}وهي التركيبة التالية للخرائط: [ 11 ]

Y⟶جY*⟶تuX*⟶أنا-1X{\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{{\text{t}}\!}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}

تطبيقات في التحليل الوظيفي

لنفترض أنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هي فضاءات متجهة طوبولوجية وأنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كانت خريطة خطية، فإن العديد منu{\displaystyle u}تنعكس خصائص 's في ⁠تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}⁠ .

  • لوأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وب⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}إذا كانت المجموعات محدبة ومغلقة بشكل ضعيف وتحتوي على نقطة الأصل، فإنتu(ب∘)⊆أ∘{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u(B^{\circ })\subseteq A^{\circ }}يشير إلىu(أ)⊆ب{\displaystyle u(A)\subseteq B}[ 4 ]​​
  • الفضاء الصفري لـتu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}هو الفضاء الجزئي لـY′{\displaystyle Y^{\prime }}متعامد مع المدىu(X){\displaystyle u(X)}من​u{\displaystyle u}[ 4 ]​​
  • تu{\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}تكون دالة حقنية إذا وفقط إذا كان المدىu(X){\displaystyle u(X)}لu{\displaystyle u}مغلق بشكل ضعيف. [ 4 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ شيفر وولف 1999 ، ص 128
  2. ↑ تريف 2006 ، ص 240
  3. ↑ هالموس (1974 ، §44)
  4. 1 2 3 4 5 Schaefer & Wolff 1999 ، ص 129-130 
  5. 1 2 تريفيس 2006 ، ص 240-252
  6. 1 2 3 4 رودين 1991 ، ص 92-115
  7. ↑ كونواي، جون ب. (1985). دورة في التحليل الوظيفي . سبرينغر-فيرلاغ. 6.3.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
  8. 1 2 3 شيفر وولف 1999 ، الصفحات 128-130
  9. ^ تريف 2006 ، ص 199 – 200
  10. ^ تريف 2006 ، ص 382-383
  11. ↑ تريف 2006 ، ص 488

فهرس