شبه الشبكة

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، تُعرف شبه الشبكة الوصلية (أو شبه الشبكة العليا ) بأنها مجموعة مرتبة جزئيًا تحتوي على وصلة (أصغر حد أعلى ) لأي مجموعة جزئية منتهية غير فارغة . وبالمثل ، تُعرف شبه الشبكة التقاطعية (أو شبه الشبكة السفلى ) بأنها مجموعة مرتبة جزئيًا تحتوي على تقاطع ( أكبر حد أدنى ) لأي مجموعة جزئية منتهية غير فارغة. كل شبه شبكة وصلية هي شبه شبكة تقاطعية بالترتيب العكسي ، والعكس صحيح.

يمكن أيضًا تعريف أنصاف الشبكات جبريًا : إن عمليتي الربط واللقاء هما عمليتان ثنائيتان ترابطيتان وتبديليتان ومتساويتان ، وأي عملية من هذا القبيل تحفز ترتيبًا جزئيًا (والترتيب العكسي المقابل) بحيث تكون نتيجة العملية لأي عنصرين هي الحد الأعلى الأدنى (أو الحد الأدنى الأعلى الأكبر) للعناصر بالنسبة لهذا الترتيب الجزئي.

الشبكة هي مجموعة مرتبة جزئياً ، وهي في الوقت نفسه شبكة تقاطع وشبكة وصل بالنسبة لنفس الترتيب الجزئي. جبرياً، الشبكة هي مجموعة تحتوي على عمليتين ثنائيتين ترابطيتين، تبادليتين، ومتساويتين، مرتبطتين بقوانين امتصاص متناظرة .

تُسمى المجموعة S المرتبة جزئيًا بالعلاقة الثنائية ≤ شبه شبكة تقاطع إذا

بالنسبة لجميع العناصر x و y من S ، يوجد حد أدنى أكبر للمجموعة { x , y } .

يُطلق على الحد الأدنى الأكبر للمجموعة { x , y } اسم نقطة التقاء x و y ، ويرمز لها بـ x ∧ y .

يؤدي استبدال "أكبر حد أدنى" بـ " أصغر حد أعلى " إلى المفهوم الثنائي لشبكة شبه الوصل . يُطلق على أصغر حد أعلى للمجموعة { x , y } اسم وصل x و y ، ويُرمز له بـ x ∨ y . التقاء ووصل عمليتان ثنائيتان على المجموعة S. يُبين استقراء بسيط أن وجود جميع القيم العليا (الدنيا) الممكنة بين الأزواج، وفقًا للتعريف، يستلزم وجود جميع القيم العليا (الدنيا) المحدودة غير الفارغة.

تكون شبه الشبكة الوصلية محدودة إذا كان لها أصغر عنصر ، وهو وصل المجموعة الفارغة. وبالمثل ، تكون شبه الشبكة التقاطعية محدودة إذا كان لها أكبر عنصر ، وهو تقاطع المجموعة الفارغة.

يمكن افتراض خصائص أخرى؛ راجع مقالة الاكتمال في نظرية الترتيب لمزيد من النقاش حول هذا الموضوع. تتناول تلك المقالة أيضًا كيفية إعادة صياغة التعريف أعلاه بدلالة وجود روابط غالوا مناسبة بين المجموعات المرتبة جزئيًا ذات الصلة - وهو نهج ذو أهمية خاصة للدراسات النظرية للفئات حول هذا المفهوم.

الشبكة شبه المتقاطعة هي بنية جبرية${\displaystyle \langle S,\land \rangle }$تتكون من مجموعة S مع عملية ثنائية ∧ تسمى " اللقاء" ، بحيث تتحقق المتطابقات التالية لجميع العناصر x و y و z من S :

الترابط

x ∧ ( y ∧ z ) = ( x ∧ y ) ∧ z

التبادلية

x ∧ y = y ∧ x

التكرارية

x ∧ x = x

شبكة لقاءات${\displaystyle \langle S,\land \rangle }$تكون محدودة إذا كانت S تتضمن عنصرًا محايدًا 1 بحيث يكون x ∧ 1 = x لجميع x في S.

إذا استُبدل الرمز ∧ في التعريف المذكور بالرمز ∨ ، المسمى "الوصل" ، فإن البنية تُسمى " شبه شبكة وصل ". ويمكن للمرء أن يكون غير مُبالٍ بالاختيار المُحدد للرمز لهذه العملية، وأن يتحدث ببساطة عن أنصاف الشبكات .

الشبكة النصفية هي شبه زمرة تبديلية متماثلة القوة ؛ أي أنها شريط تبديلي . الشبكة النصفية المحدودة هي شبه زمرة تبديلية متماثلة القوة .

يُستحث ترتيب جزئي على شبه شبكة التقاء بوضع x ≤ y عندما يكون x ∧ y = x . أما في شبه شبكة وصل، فيُستحث الترتيب بوضع x ≤ y عندما يكون x ∨ y = y . في شبه شبكة التقاء المحدودة، يكون العنصر المحايد 1 هو أكبر عنصر في S. وبالمثل ، يكون العنصر المحايد في شبه شبكة وصل هو أصغر عنصر.

تُنتج شبه الشبكة الالتقاءية في نظرية الترتيب ⟨S , ≤⟩ عملية ثنائية ∧ بحيث تكون ⟨S , ∧⟩ شبه شبكة تقاء جبرية. وعلى العكس، تُنتج شبه الشبكة الالتقاءية ⟨S , ∧⟩ علاقة ثنائية ≤ تُرتّب S جزئيًا على النحو التالي: لكل عنصرين x و y في S ، يكون x ≤ y إذا وفقط إذا كان x = x ∧ y .

تُعرّف العلاقة ≤ المُدخلة بهذه الطريقة ترتيبًا جزئيًا يُمكن من خلاله استعادة العملية الثنائية ∧ . وعلى العكس، فإن الترتيب الناتج عن الشبكة شبه الجبرية ⟨ S , ∧ ⟩ يتطابق مع الترتيب الناتج عن ≤.

لذا، يمكن استخدام التعريفين بشكل متبادل، حسب الأنسب لغرض معين. وينطبق استنتاج مماثل على الشبكات شبه المتصلة والترتيب الثنائي ≥.

تُستخدم الشبكات النصفية لبناء هياكل ترتيب أخرى، أو بالاقتران مع خصائص اكتمال أخرى.

• تُعتبر الشبكة شبه شبكة وصل وشبه شبكة تقاطع في آن واحد. إن تفاعل هاتين الشبكتين شبه الشبكتين عبر قانون الامتصاص هو ما يميز الشبكة عن شبه الشبكة.
• تشكل العناصر المدمجة للشبكة الجبرية ، في ظل الترتيب الجزئي المستحث، شبكة شبه متصلة محدودة.
• بالاستقراء على عدد العناصر، فإن أي شبكة نصفية منتهية غير فارغة تحتوي على عنصر أصغر، وأي شبكة نصفية منتهية غير فارغة تحتوي على عنصر أكبر. (في كلتا الحالتين، لن تكون الشبكة النصفية محدودة بالضرورة).
• المجموعة المرتبة كليًا هي شبكة توزيعية ، وبالتالي فهي على وجه الخصوص شبكة شبه التقاء وشبكة شبه الوصل: أي عنصرين متميزين لهما عنصر أكبر وعنصر أصغر، وهما التقاءهما ووصلهما.
  • تعتبر المجموعة المرتبة جيدًا أيضًا شبه شبكة محدودة ، حيث أن المجموعة ككل لها عنصر أصغر، وبالتالي فهي محدودة.
    • الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$، بترتيبها المعتاد ≤، هي شبه شبكة محدودة، مع أصغر عنصر 0، على الرغم من أنها لا تحتوي على أكبر عنصر: إنها أصغر مجموعة مرتبة جيدًا لا نهائية.
• أي شجرة ذات جذر واحد (حيث يكون الجذر الوحيد هو أصغر عنصر) بارتفاع${\displaystyle \leq \omega }$هي شبكة شبه تقاطع (غير محدودة عمومًا). لنأخذ على سبيل المثال مجموعة الكلمات المحدودة على أبجدية معينة، مرتبة حسب ترتيب البادئات . تحتوي هذه المجموعة على أصغر عنصر (الكلمة الفارغة)، وهو عنصر إفناء لعملية التقاطع، ولكن ليس لها أكبر عنصر (عنصر محايد).
• نطاق سكوت هو شبكة لقاءات.
• يمكن اعتبار الانتماء إلى أي مجموعة L نموذجًا لشبكة شبهية ذات مجموعة أساسية L ، لأن الشبكة الشبهية تجسد جوهر امتداد المجموعة . لنرمز بـ a ∈ L و b ∈ L إلى a ∈ L و b ∈ L. مجموعتان تختلفان في واحد أو كليهما فقط :

1. ترتيب إدراج أعضائهم؛
2. تعدد الأعضاء، واحد أو أكثر،

هما في الواقع نفس المجموعة. تضمن خاصيتا التبديل والتجميع للدالة ∧ (1)، والتطابق (2). هذه الشبكة النصفية هي الشبكة النصفية الحرة على L. وهي غير محدودة بـ L ، لأن المجموعة ليست عنصرًا في نفسها.

• يُعرّف علم الميرولوجيا الامتدادي الكلاسيكي شبه الشبكة الرابطة، حيث تُقرأ الرابطة على أنها اندماج ثنائي. هذه الشبكة شبه محدودة من الأعلى بالفرد العالمي.
• بالنظر إلى مجموعة S ، فإن مجموعة التقسيمات${\displaystyle \xi }$S عبارة عن شبه شبكة متصلة. في الواقع، يتم تحديد الترتيب الجزئي بواسطة${\displaystyle \xi \leq \eta }$لو${\displaystyle \forall Q\in \eta ,\exists P\in \xi }$بحيث${\displaystyle Q\subset P}$ويتم إعطاء وصل قسمين بواسطة${\displaystyle \xi \vee \eta =\{P\cap Q\mid P\in \xi \ \land \ Q\in \eta \}}$هذه الشبكة شبه المحدودة، حيث يكون أصغر عنصر فيها هو التقسيم الأحادي.${\displaystyle \{S\}}$.

يُشير التعريف الجبري أعلاه لشبه الشبكة إلى مفهوم التشكل بين شبه شبكتين. وبالنظر إلى شبه شبكتين متصلتين ( S , ∨) و ( T , ∨) ، فإن التشكل بين شبه الشبكتين (المتصلتين) هو دالة f : S → T بحيث

f ( x ∨ y ) = f ( x ) ∨ f ( y ).

وبالتالي، فإن f هو مجرد تشاكل بين شبه المجموعتين المرتبطتين بكل شبكة شبهية. إذا احتوت كل من S و T على أصغر عنصر 0، فيجب أن يكون f أيضًا تشاكلًا أحاديًا ، أي أننا نشترط بالإضافة إلى ذلك أن

f (0) = 0.

في صياغة نظرية الترتيب، تنص هذه الشروط ببساطة على أن تماثل الشبكات شبه المتصلة هو دالة تحافظ على عمليات الربط الثنائية والعناصر الصغرى، إن وجدت. ويُحوّل التماثل الثنائي الواضح - باستبدال ∧ بـ ∨ و 0 بـ 1 - هذا التعريف لتماثل الشبكة شبه المتصلة إلى مكافئه في الشبكة شبه المتقاطعة.

أي تماثل شبه شبكي يكون بالضرورة رتيبًا فيما يتعلق بعلاقة الترتيب المرتبطة به.

هناك تكافؤ معروف بين الفئة${\displaystyle {\mathcal {S}}}$من الشبكات شبه المتصلة ذات الصفر مع${\displaystyle (\vee ,0)}$-التشاكلات والفئة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من الشبكات الجبرية ذات التشاكلات الكاملة التي تحافظ على التراص ، كما يلي. مع شبه شبكة وصل${\displaystyle S}$نربط الصفر بشبكته المثالية${\displaystyle \operatorname {Id} \ S}$مع${\displaystyle (\vee ,0)}$-التماثل${\displaystyle f\colon S\to T}$ل${\displaystyle (\vee ,0)}$-الشبكات شبهية، نربط الخريطة${\displaystyle \operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T}$، ذلك مع أي مثال${\displaystyle I}$ل${\displaystyle S}$يرتبط المثل الأعلى بـ${\displaystyle T}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle f(I)}$هذا يُعرّف دالة${\displaystyle \operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}}$. وعلى العكس من ذلك، مع كل شبكة جبرية${\displaystyle A}$نحن نربط${\displaystyle (\vee ,0)}$شبه منحرف${\displaystyle K(A)}$من بين جميع العناصر المدمجة لـ${\displaystyle A}$ومع كل تماثل كامل للوصل يحافظ على التراص${\displaystyle f\colon A\to B}$نربط بين الشبكات الجبرية التقييد${\displaystyle K(f)\colon K(A)\to K(B)}$هذا يُعرّف دالة${\displaystyle K\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {S}}}$الزوجان${\displaystyle (\operatorname {Id} ,K)}$يُعرّف تكافؤ الفئة بين${\displaystyle {\mathcal {S}}}$و${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

من المثير للدهشة وجود مفهوم "التوزيعية" ينطبق على أنصاف الشبكات، على الرغم من أن التوزيعية تتطلب عادةً تفاعل عمليتين ثنائيتين. هذا المفهوم لا يتطلب سوى عملية واحدة، وهو يُعمم شرط التوزيعية للشبكات. تُوصف شبه الشبكة المتصلة بأنها توزيعية إذا كان لكل a و b و x حيث x ≤ a ∨ b، يوجد a ' ≤ a و b' ≤ b بحيث x = a' ∨ b' . تُعرَّف أنصاف الشبكات المتقاطعة التوزيعية بشكل مزدوج. هذه التعريفات مُبرَّرة بحقيقة أن أي شبه شبكة متصلة توزيعية تحتوي على تقاطعات ثنائية هي شبكة توزيعية. انظر مدخل التوزيعية (نظرية الترتيب) .

تكون الشبكة شبه المتصلة توزيعية إذا وفقط إذا كانت شبكة مُثُلها ( تحت التضمين) توزيعية.

في الوقت الحاضر، لا يوجد تعريف متفق عليه لمصطلح "الشبكة شبه الكاملة"، وتوجد تعريفات متعددة ومتضاربة. إذا اعتُبرت الاكتمالية مشروطة بوجود جميع الوصلات اللانهائية، أو جميع نقاط الالتقاء اللانهائية، أيهما أتى، بالإضافة إلى الوصلات والتقاطعات المحدودة، فإن هذا يؤدي مباشرةً إلى ترتيبات جزئية تُعدّ في الواقع شبكات كاملة . لمعرفة سبب استلزام وجود جميع الوصلات اللانهائية الممكنة بوجود جميع نقاط الالتقاء اللانهائية الممكنة (والعكس صحيح)، انظر مدخل الاكتمالية (نظرية الترتيب) .

مع ذلك، لا تزال بعض الدراسات تعتبر الشبكات شبه الكاملة من نوع الوصل أو التقاطع شبكات كاملة. في هذه الحالة، تشير "الكمال" إلى تقييد نطاق التشاكلات . تحديدًا، تتطلب الشبكة شبه الكاملة من نوع الوصل أن تحافظ التشاكلات على جميع الوصلات، ولكن على عكس ما نجده في خصائص الكمال، لا يتطلب ذلك أن تحافظ التشاكلات على جميع التقاطعات. من ناحية أخرى، يمكننا استنتاج أن كل تطبيق من هذا القبيل هو المرافق السفلي لوصلة غالوا ما . سيكون المرافق العلوي المقابل (الوحيد) تشاكلًا للشبكات شبه الكاملة من نوع التقاطع. ينتج عن ذلك عدد من الثنائيات الفئوية المفيدة بين فئات جميع الشبكات شبه الكاملة ذات التشاكلات التي تحافظ على جميع التقاطعات أو الوصلات، على التوالي.

يُستخدم مصطلح "شبه شبكة التقاء كاملة" أيضًا للإشارة إلى شبكة كاملة محدودة . ويمكن القول إن شبه شبكة التقاء كاملة، بهذا المعنى، هي "أكثر" شبكات التقاء اكتمالًا، والتي لا تُعدّ بالضرورة شبكة كاملة. في الواقع، تحتوي شبه شبكة التقاء كاملة على جميع نقاط التقاء غير الفارغة (وهو ما يُعادل اكتمالها المحدود) وجميع الوصلات الموجهة . وإذا احتوت هذه البنية أيضًا على عنصر أعظم (نقطة التقاء المجموعة الفارغة)، فإنها تُصبح شبكة كاملة. وبالتالي، تُصبح شبه الشبكة الكاملة "شبكة كاملة قد تفتقر إلى قمة". يُعدّ هذا التعريف ذا أهمية خاصة في نظرية المجالات ، حيث تُدرس الشبكات الجبرية الكاملة المحدودة كمجالات سكوت . لذا، تُسمى مجالات سكوت بشبه الشبكات الجبرية .

نادرًا ما تم التطرق إلى مفاهيم اكتمال الشبكات النصفية المقيدة بعدد العناصر في الأدبيات. ^{[ 1 ]}

يفترض هذا القسم معرفة مسبقة بنظرية الفئات . توجد أنصاف الشبكات الحرة في حالات مختلفة . على سبيل المثال، يقبل المؤثر النسياني من فئة أنصاف الشبكات المتصلة (وتشاكلاتها) إلى فئة المجموعات (والدوال) مرافقًا أيسر . لذلك، تُنشأ أنصاف الشبكات المتصلة الحرة F ( S ) على مجموعة S بأخذ مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية غير الفارغة من S ، مرتبة حسب احتواء المجموعات الجزئية. من الواضح أنه يمكن تضمين S في F ( S ) بواسطة دالة e تأخذ أي عنصر s في S إلى مجموعة العناصر المفردة { s }. عندئذٍ، أي دالة f من S إلى أنصاف الشبكات المتصلة T (بشكل أدق، إلى المجموعة الأساسية لـ T ) تُنشئ تشاكلًا فريدًا f' بين أنصاف الشبكات المتصلة F ( S ) و T ، بحيث يكون f = f' ○ e . وبالتحديد، تُعطى f' بالعلاقة التالية:${\textstyle f'(A)=\bigvee \{f(s)|s\in A\}.}$يكفي الآن التفرد الواضح لـ f' للحصول على الاقتران المطلوب - يمكن اشتقاق جزء التشكل من الدالة F من اعتبارات عامة (انظر الدوال المرافقة ). حالة الشبكات شبه المتقاطعة الحرة هي حالة ثنائية، باستخدام تضمين المجموعة الفرعية المعاكسة كترتيب. بالنسبة للشبكات شبه الموصولة ذات القاع، نضيف ببساطة المجموعة الفارغة إلى مجموعة المجموعات الفرعية المذكورة أعلاه.

بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما تعمل أنصاف الشبكات كمولدات للكائنات الحرة ضمن فئات أخرى. والجدير بالذكر أن كلًا من الدوال النسيانية من فئة الإطارات وتماثلات الإطارات، ومن فئة الشبكات التوزيعية وتماثلات الشبكات، لها دالة مرافقة يسرى.

• المجموعة الموجهة – الترتيب الرياضي ذو الحدود العليا – تعميم لشبكة الربط شبه الشبكية  
• قائمة مواضيع الطلبات
• شبه الحلقة - حلقة جبرية لا يشترط أن تحتوي على عناصر سالبة جمعية 

• ديفي، بكالوريوس؛ بريستلي، هـ. أ. (2002). مقدمة في الشبكات والنظام (الطبعة الثانية  ). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0-521-78451-4.
• فيكرز، ستيفن (1989). الطوبولوجيا من خلال المنطق . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36062-5.

في كثير من الأحيان، تكتفي المعالجات القياسية لنظرية الشبكات بتعريف شبه الشبكة، إن وُجد تعريف، ثم لا تُضيف شيئًا. انظر المراجع في مدخلي نظرية الترتيب ونظرية الشبكات . علاوة على ذلك، لا توجد دراسات منشورة حول أنصاف الشبكات تُضاهي في أهميتها الدراسات المنشورة حول أنصاف المجموعات .

• صفحة جيبسن حول هياكل الجبر: أنصاف الشبكات.