AKLT model

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

In condensed matter physics, the Affleck–Kennedy–Lieb–Tasaki (AKLT) model is an extension of the one-dimensional quantumHeisenberg spin model. The proposal and exact solution of this model by Ian Affleck, Elliott H. Lieb, Tom Kennedy and Hal Tasaki[1] provided crucial insight into the physics of the spin-1 Heisenberg chain.[2][3][4][5] It has also served as a useful example for such concepts as valence bond solid order, symmetry-protected topological order[6][7][8][9] and matrix product state wavefunctions.

Background

A major motivation for the AKLT model was the Majumdar–Ghosh chain. Because two out of every set of three neighboring spins in a Majumdar–Ghosh ground state are paired into a singlet, or valence bond, the three spins together can never be found to be in a spin 3/2 state. In fact, the Majumdar–Ghosh Hamiltonian is nothing but the sum of all projectors of three neighboring spins onto a 3/2 state.

The main insight of the AKLT paper was that this construction could be generalized to obtain exactly solvable models for spin sizes other than 1/2. Just as one end of a valence bond is a spin 1/2, the ends of two valence bonds can be combined into a spin 1, three into a spin 3/2, etc.

Definition

Affleck et al. were interested in constructing a one-dimensional state with a valence bond between every pair of sites. Because this leads to two spin 1/2s for every site, the result must be the wavefunction of a spin 1 system.

For every adjacent pair of the spin 1s, two of the four constituent spin 1/2s are stuck in a total spin zero state. Therefore, each pair of spin 1s is forbidden from being in a combined spin 2 state. By writing this condition as a sum of projectors that favor the spin 2 state of pairs of spin 1s, AKLT arrived at the following Hamiltonian

H^=∑⟨ij⟩P⟨ij⟩(2)∼∑jS→j⋅S→j+1+13(S→j⋅S→j+1)2$$ {S}} _ {ي}\cdot {\vec {S}}_ {ي+1})^{2}}

up to a constant, where the Si→{\textstyle {\vec {S_{i}}}} are spin-1 operators, and P⟨ij⟩(2){\textstyle {\textit {P}} _ {\langle ij\rangle }^{(2)}} the local 2-point projector that favors the spin 2 state of an adjacent pair of spins.

This Hamiltonian is similar to the spin 1, one-dimensional quantumHeisenberg spin model but has an additional "biquadratic" spin interaction term.

Ground state

بحسب التصميم، فإن الحالة الأرضية لهاملتونيان AKLT هي حالة رابطة التكافؤ الصلبة، حيث تربط رابطة تكافؤ واحدة كل زوج من المواقع المتجاورة. ويمكن تمثيل ذلك بيانيًا على النحو التالي:

تمثل النقاط الصلبة هنا جسيمات ذات عزم مغزلي 1/2، والتي تُوضع في حالات مفردة. الخطوط التي تربط هذه الجسيمات هي روابط التكافؤ، وتشير إلى نمط الحالات المفردة. أما الأشكال البيضاوية فهي عوامل إسقاط تربط جسيمين ذوي عزم مغزلي 1/2 في جسيم واحد ذي عزم مغزلي 1، حيث تُسقط الفضاء الفرعي ذي العزم المغزلي 0 أو الحالة المفردة، مع الإبقاء فقط على الفضاء الفرعي ذي العزم المغزلي 1 أو الحالة الثلاثية. تشير الرموز "+" و"0" و"−" إلى حالات الأساس القياسية ذات العزم المغزلي 1 (الحالات الذاتية لـSz{\displaystyle S^{z}}المشغل). [ 10 ]

حالات الحافة ذات الدوران 1/2

في حالة ترتيب اللفات في حلقة ( شروط حدودية دورية )، ينتج عن بناء AKLT حالة أساسية فريدة. أما في حالة السلسلة المفتوحة، فإن اللفة الأولى والأخيرة ذات اللف 1 لا تملك سوى جار واحد، مما يجعل إحدى اللفات المكونة لها ذات اللف 1/2 غير مزدوجة. ونتيجة لذلك، تتصرف نهايات السلسلة كعزوم لف 1/2 حرة على الرغم من أن النظام يتكون من لفات 1 فقط.

يمكن رصد حالات الحافة ذات اللف المغزلي 1/2 لسلسلة AKLT بعدة طرق. ففي السلاسل القصيرة، تختلط حالات الحافة لتشكل حالة مفردة أو ثلاثية، مما ينتج عنه إما حالة أرضية فريدة أو مجموعة ثلاثية من الحالات الأرضية. أما في السلاسل الأطول، فتنفصل حالات الحافة بسرعة أسية كدالة لطول السلسلة، مما يؤدي إلى مجموعة حالات أرضية متحللة رباعياً. [ 11 ] وباستخدام طريقة عددية مثل DMRG لقياس المغنطة الموضعية على طول السلسلة، يمكن أيضاً رصد حالات الحافة مباشرةً، وإثبات إمكانية إزالتها بوضع جسيمات ذات لف مغزلي 1/2 عند الأطراف. [ 12 ] وقد ثبتت إمكانية رصد حالات الحافة ذات اللف المغزلي 1/2 في قياسات مركب مغناطيسي شبه أحادي البعد يحتوي على كمية ضئيلة من الشوائب التي تعمل على تقسيم السلاسل إلى أجزاء محدودة. [ 13 ] في عام 2021، تم العثور على بصمة طيفية مباشرة لحالات الحافة ذات اللف المغزلي 1/2 في سلاسل اللف المغزلي الكمومي المعزولة المبنية من التريانغولين ، وهو هيدروكربون عطري متعدد الحلقات ذو لف مغزلي 1. [ 14 ]

تمثيل حالة ضرب المصفوفة

تسمح بساطة الحالة الأرضية AKLT بتمثيلها بشكل مضغوط كحالة ناتجة عن ضرب المصفوفات . وهذه دالة موجية على الشكل التالي:

|Ψ⟩=∑{s}Tr⁡[أs1أs2...أsشمال]|s1s2...sشمال⟩.{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}

هنا، تمثل A مجموعة من ثلاث مصفوفات مُصنفة بواسطةsج{\displaystyle s_{j}}ويأتي الأثر من افتراض شروط الحدود الدورية.

تتوافق دالة الموجة للحالة الأرضية AKLT مع الاختيار: [ 10 ]

أ+=+23 σ+{\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}
أ0=-13 σz{\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}
أ-=-23 σ-{\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}

أينσ{\displaystyle \sigma }هي مصفوفة باولي .

التعميمات والتوسعات

تم حل نموذج AKLT على شبكات ذات أبعاد أعلى، [ 1 ] [ 15 ] حتى في أشباه البلورات . كما تم بناء النموذج لجبر لي الأعلى، بما في ذلك SU( n ) ، [ 16 ] [ 17 ] وSO( n ) ، [ 18 ] وSp(n) ، [ 19 ] وتم توسيعه ليشمل المجموعات الكمومية SUq( n ). [ 20 ]

مراجع

  1. 1 2 أفليك، إيان؛ كينيدي، توم؛ ليب، إليوت هـ؛ تاساكي، هال (1987). "نتائج دقيقة حول الحالات الأرضية للرابطة التكافؤية في المواد المضادة للمغناطيسية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 59 (7): 799-802 . Bibcode : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 . 
  2. ↑ هالدين، إف دي إم (1983). "نظرية المجال غير الخطية للمغناطيسات المضادة للحديدية هايزنبرغ ذات اللف المغزلي الكبير: السوليتونات الكمومية شبه الكلاسيكية لحالة نيل أحادية البعد ذات المحور السهل" . مجلة Physical Review Letters ، 50 (15): 1153. Bibcode : 1983PhRvL..50.1153H . doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
  3. ↑ هالدين، إف دي إم (1983). "ديناميكيات الاستمرارية للمغناطيس المضاد هايزنبرغ أحادي البعد: التطابق مع نموذج سيجما غير الخطي O(3)". رسائل الفيزياء أ . 93 (9): 464. رمز Bibcode : 1983PhLA...93..464H . doi : 10.1016/0375-9601(83)90631-x .
  4. ↑ أفليك، آي.؛ هالدين، إف دي إم (1987). "النظرية الحرجة لسلاسل اللف المغزلي الكمومي". مجلة فيزيكال ريفيو بي . 36 (10): 5291-5300 . رمز Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A . doi : 10.1103/physrevb.36.5291 . PMID 9942166 . 
  5. ↑ أفليك، آي. (1989). "سلاسل الدوران الكمومي وفجوة هالدين". مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 1 (19): 3047. Bibcode : 1989JPCM....1.3047A . doi : 10.1088/0953-8984/1/19/001 . S2CID 250850599 . 
  6. ↑ غو، تشنغ تشنغ؛ وين، شياو غانغ (2009). "نهج إعادة التطبيع بترشيح التشابك الموتري والترتيب الطوبولوجي المحمي بالتناظر". مجلة الفيزياء ب . 80 (15) 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode : 2009PhRvB..80o5131G . doi : 10.1103/physrevb.80.155131 . S2CID 15114579 . 
  7. ↑ بولمان، ف.؛ بيرغ، إ.؛ تيرنر، آري م.؛ أوشيكاوا، ماساكي (2012). "حماية التناظر للأطوار الطوبولوجية في أنظمة الدوران الكمومي أحادية البعد" (ملف PDF) . مجلة Physical Review B ، 85 (7) 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode : 2012PhRvB..85g5125P . doi : 10.1103/PhysRevB.85.075125 . S2CID 53135907 . 
  8. ↑ تشين، شي؛ غو، تشنغ تشنغ؛ وين، شياو غانغ (2011). "تصنيف الأطوار المتناظرة ذات الفجوة في أنظمة الدوران أحادية البعد". مجلة Physical Review B ، 83 (3) 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode : 2011PhRvB..83c5107C . doi : 10.1103/physrevb.83.035107 . S2CID 9139955 . 
  9. ↑ تشين، شي؛ ليو، تشنغ-شين؛ وين، شياو-غانغ (2011). "الترتيبات الطوبولوجية ثنائية الأبعاد المحمية بالتناظر وإثاراتها الحافية المحمية عديمة الفجوة". مجلة Physical Review B ، 84 (23)، 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C . doi : 10.1103/physrevb.84.235141 . S2CID 55330505 . 
  10. 1 2 شولفوك، أولريش (2011). "مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة في عصر حالات ضرب المصفوفات". حوليات الفيزياء . 326 (1): 96-192 . arXiv : 1008.3477 . Bibcode : 2011AnPhy.326...96S . doi : 10.1016/j.aop.2010.09.012 . S2CID 118735367 . 
  11. ↑ كينيدي، توم (1990). "القطريات الدقيقة لسلاسل اللف المغزلي المفتوحة-1". مجلة فيزياء المادة المكثفة . 2 (26): 5737-5745 . Bibcode : 1990JPCM....2.5737K . doi : 10.1088/0953-8984/2/26/010 . S2CID 250748917 . 
  12. ↑ وايت، ستيفن؛ هوس، ديفيد (1993). "دراسة عددية لمجموعة إعادة التطبيع للحالات الذاتية المنخفضة لسلسلة هايزنبرغ المضادة للمغناطيسية S=1". مجلة Physical Review B ، 48 (6): 3844-3852 . Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103/PhysRevB.48.3844 . PMID: 10008834 . 
  13. ↑ هاجيوارا، م.؛ كاتسوماتا، ك.؛ أفليك، إيان؛ هالبرين، ب.إ.؛ رينارد، ج.ب. (1990). "ملاحظة درجات حرية S=1/2 في مضاد مغناطيسي هايزنبرغ ذي سلسلة خطية S=1". مجلة Physical Review Letters ، 65 (25): 3181-3184 . Bibcode : 1990PhRvL..65.3181H . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.3181 . PMID 10042802 . 
  14. ^ ميشرا، شانتانو؛ كاتارينا، غونزالو؛ وو فوبينج. أورتيز، ريكاردو. يعقوب، ديفيد؛ إيمري، كريستيان؛ ما، جي؛ بينيدولي، كارلو أ؛ فنغ، شينليانغ؛ روفيوكس، باسكال؛ فرنانديز روسييه، خواكين؛ فصل، روماني (13 أكتوبر 2021). “ملاحظة إثارات الحافة الكسرية في سلاسل دوران النانوجرافين”. طبيعة . 598 (7880): 287–292 . أرخايف : 2105.09102 . بيب كود : 2021Natur.598..287M . دوى : 10.1038/s41586-021-03842-3 . بميد 34645998 . S2CID 234777902 .  
  15. ↑ وي، ت.-س.؛ أفليك، إ.؛ راوسندورف، ر. (2012). "حالة أفليك-كينيدي-ليب-تاساكي على شبكة قرص العسل هي مورد حسابي كمي عالمي". مجلة Physical Review Letters ، 106 ( 7) 070501. arXiv : 1009.2840 . Bibcode : 2011PhRvL.106g0501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.106.070501 . PMID 21405505. S2CID 15546839 .  
  16. ↑ غريتر، مارتن؛ راشيل، ستيفان؛ شوريتش، ديرك (2007). "نتائج دقيقة لسلاسل الدوران SU(3): حالات ثلاثية، مواد صلبة ذات روابط تكافؤية، وهاملتونياناتها الأصلية". مجلة Physical Review B ، 75 (6): 060401(R). arXiv : cond-mat/0701354 . Bibcode : 2007PhRvB..75f0401G . doi : 10.1103/PhysRevB.75.060401 . S2CID 119373252 . 
  17. ↑ غريتر، مارتن؛ راشيل، ستيفان (2007). "مواد رابطة التكافؤ لسلاسل الدوران SU(n): نماذج دقيقة، وحصر السبينون، وفجوة هالدين". مجلة Physical Review B ، 75 (18) 184441. arXiv : cond-mat/0702443 . Bibcode : 2007PhRvB..75r4441G . doi : 10.1103/PhysRevB.75.184441 . S2CID 55917580 . 
  18. ↑ تو، هونغ-هاو؛ تشانغ، غوانغ-مينغ؛ شيانغ، تاو (2008). "فئة من سلاسل الدوران المتناظرة SO(n) القابلة للحل بدقة مع حالات أرضية ناتجة عن ضرب المصفوفات". مجلة Physical Review B ، 78 (9) 094404. arXiv : 0806.1839 . Bibcode : 2008PhRvB..78i4404T . doi : 10.1103/PhysRevB.78.094404 . S2CID 119200687 . 
  19. ↑ شوريتش، ديرك؛ راشيل، ستيفان (2008). "حالات صلبة ذات رابطة تكافؤية مع تناظر سيمبلكتيكي". فيز. ريف. ب . 78 (1) 014430. arXiv : 0805.3918 . Bibcode : 2008PhRvB..78a4430S . doi : 10.1103/PhysRevB.78.014430 . S2CID 118429445 . 
  20. ↑ سانتوس، ر.أ.؛ باران، ف.ن.س.؛ كوريبين، ف.إ.؛ كلومبر، أ. (2012). "أطياف التشابك لنموذج أفليك-كينيدي-ليب-تاساكي المشوه q وحالات ضرب المصفوفة". EPL . 98 (3) 37005. arXiv : 1112.0517 . Bibcode : 2012EL.....9837005S . doi : 10.1209/0295-5075/98/37005 . ISSN 0295-5075 . S2CID 119733552 .