المجموعة الكمومية

في الرياضيات والفيزياء النظرية ، يشير مصطلح " المجموعة الكمومية" إلى أحد أنواع الجبر غير التبادلي القليلة ذات البنية الإضافية. وتشمل هذه الأنواع مجموعات درينفيلد-جيمبو الكمومية (وهي جبر هوبف شبه مثلثي )، ومجموعات المصفوفات الكمومية المدمجة (وهي بنى على جبر C* أحادي الفصل )، ومجموعات الضرب الثنائي. وعلى الرغم من اسمها، فإنها لا تمتلك بنية زمرة طبيعية، مع أنها تُعتبر، بمعنى ما، "قريبة" من الزمرة.

ظهر مصطلح "المجموعة الكمومية" لأول مرة في نظرية الأنظمة التكاملية الكمومية ، والتي قام فلاديمير درينفيلد وميشيو جيمبو بصياغتها رسميًا كفئة خاصة من جبر هوبف . ويُستخدم المصطلح نفسه أيضًا لوصف جبر هوبف آخر يُشوه أو يقترب من مجموعات لي الكلاسيكية أو جبر لي ، مثل فئة "الضرب الثنائي المتقاطع" من المجموعات الكمومية التي قدمها شاهن ماجد بعد فترة وجيزة من عمل درينفيلد وجيمبو.

في منهج درينفيلد، تنشأ المجموعات الكمومية كجبر هوبف اعتمادًا على معلمة مساعدة q أو h ، والتي تصبح جبرًا شاملًا لجبر لي معين، غالبًا ما يكون شبه بسيط أو أفيني ، عندما يكون q = 1 أو h = 0. ترتبط ارتباطًا وثيقًا ببعض الكائنات الثنائية، وهي أيضًا جبر هوبف وتسمى أيضًا المجموعات الكمومية، التي تشوه جبر الدوال على المجموعة الجبرية شبه البسيطة المقابلة أو مجموعة لي المدمجة .

المعنى البديهي

كان اكتشاف الزمر الكمومية مفاجئًا إلى حد كبير، إذ كان معروفًا منذ زمن طويل أن الزمر المدمجة وجبر لي شبه البسيط هي أجسام "صلبة"، أي أنها لا يمكن " تشويهها ". تتمثل إحدى الأفكار الكامنة وراء الزمر الكمومية في أنه إذا نظرنا إلى بنية مكافئة لها ولكنها أكبر، أي جبر الزمرة أو الجبر الشامل ، فإنه يمكن "تشويه" جبر الزمرة أو الجبر الشامل، مع أن التشوه الناتج لن يبقى جبر زمرة أو جبرًا شاملًا. وبشكل أدق، يمكن تحقيق التشوه ضمن فئة جبر هوبف التي لا يُشترط أن تكون تبديلية أو مشتركة التبديل . ويمكن اعتبار الجسم المشوه جبرًا للدوال على "فضاء غير تبديلي"، على غرار الهندسة غير التبديلية لآلان كون . إلا أن هذا الحدس جاء بعد أن أثبتت فئات معينة من المجموعات الكمومية جدواها في دراسة معادلة يانغ-باكستر الكمومية وطريقة التشتت العكسي الكمومي التي طورتها مدرسة لينينغراد ( لودفيغ فادييف ، وليون تاختاجان ، وإيفغيني سكليانين ، ونيكولاي ريشيتخين ، وفلاديمير كوريبين ) وأعمال ذات صلة من المدرسة اليابانية. ^{[ 1 ]} أما الحدس الكامن وراء الفئة الثانية، وهي فئة الضرب الثنائي ، من المجموعات الكمومية فكان مختلفًا، إذ نشأ من البحث عن الأجسام ذاتية التناظر كمدخل لدراسة الجاذبية الكمومية . ^{[ 2 ]}

مجموعات الكم من نوع درينفيلد-جيمبو

ظهر نوع من الكائنات يُطلق عليه عادةً اسم "المجموعة الكمومية" في أعمال فلاديمير درينفيلد وميشيو جيمبو كتشويه للجبر الشامل لجبر لي شبه البسيط، أو بشكل أعم، جبر كاك-مودي ، في فئة جبر هوبف . يتميز الجبر الناتج ببنية إضافية، مما يجعله جبر هوبف شبه مثلثي .

ليكن A = ( a _ij ) مصفوفة كارتان لجبر كاك-مودي، وليكن q ≠ 0، 1 عددًا مركبًا، فإن المجموعة الكمومية، U _q ( G )، حيث G هو جبر لي الذي مصفوفة كارتان الخاصة به هي A ، تُعرَّف على أنها الجبر الترابطي الأحادي ذو المولدات k _λ (حيث λ عنصر من شبكة الأوزان ، أي 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) عدد صحيح لجميع i )، و e _i و f _i ( للجذور البسيطة ، α _i )، مع مراعاة العلاقات التالية:

{\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha q_i = q^(\frac 1/2(\alpha_i,\alpha_i))

وبالنسبة لـ i ≠ j لدينا علاقات q -Serre، وهي عبارة عن تشوهات لعلاقات Serre :

{\begin{محاذاة}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_ {ij}] _ {q_ {i}}!}{[1-a_ {ij} -n]_ {q_ {i}}![n]_ {q_ {i}}!}} e_ {i} ^ {n} e_ {j} e_ {i} ^ {1-a_ {ij} -n} &=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}

حيث يتم تعريف مضروب q ، وهو نظير مضروب q العادي ، بشكل متكرر باستخدام عدد q:

{\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}

في حالة اقتراب q من 1، تقترب هذه العلاقات من علاقات الجبر الشامل U ( G )، حيث

k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{qq^{-1}}}\to t_{\lambda }

و t _λ هو عنصر من الجبر الفرعي كارتان الذي يحقق ( t _λ , h ) = λ ( h ) لجميع h في الجبر الفرعي كارتان.

توجد العديد من المنتجات المشتركة الترابطية التي بموجبها تكون هذه الجبريات جبريات هوبف، على سبيل المثال،

\begin{array}{lll}\Delta_{1}(k_{\lambda})=k_{\lambda}\otimes k_{\lambda}&\Delta_{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta_{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta_{2}(k_{\lambda})=k_{\lambda}\otimes k_{\lambda}&\Delta_{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta_{1} Δ₂(fᵢ) = 1 ⊗ fᵢ + fᵢ ⊗ kᵢ \\ Δ₃(kλ) = kλ ⊗ kλ \\ Δ₃(eᵢ) = kᵢ⁻½ ⊗ eᵢ + eᵢ ⊗ kᵢ⁻½ \\ Δ₃(fᵢ) = kᵢ⁻½ ⊗ fᵢ + fᵢ ⊗ kᵢ⁻½

حيث تم توسيع مجموعة المولدات، إذا لزم الأمر، لتشمل k _λ لـ λ التي يمكن التعبير عنها كمجموع عنصر من شبكة الوزن ونصف عنصر من شبكة الجذر .

بالإضافة إلى ذلك، فإن أي جبر هوبف يؤدي إلى آخر مع منتج مشترك معكوس T o Δ، حيث يتم إعطاء T بواسطة T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ، مما يعطي ثلاثة إصدارات ممكنة أخرى.

الوحدة المرافقة على U _q ( A ) هي نفسها لجميع هذه المنتجات المرافقة: ε ( k _λ ) = 1، ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0، والمضادات المقابلة للمنتجات المرافقة المذكورة أعلاه معطاة بـ

{\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}

بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار المجموعة الكمومية U _q ( G ) بمثابة جبر على الحقل C ( q )، وهو حقل جميع الدوال النسبية لـ q غير المحدد على C .

وبالمثل، يمكن اعتبار المجموعة الكمومية Uq ( G ) جبرًا على الحقل Q ( q )، _وهو حقل جميع الدوال الكسرية لمتغير غير محدد q على Q (انظر أدناه في قسم المجموعات الكمومية عند q = 0). ويمكن وصف مركز المجموعة الكمومية بواسطة المحدد الكمومي.

نظرية التمثيل

وكما أن هناك العديد من أنواع التمثيلات المختلفة لجبر كاك-مودي وجبرها الشامل، فإن هناك العديد من أنواع التمثيلات المختلفة للمجموعات الكمومية.

كما هو الحال بالنسبة لجميع جبر هوبف، فإن U _q ( G ) له تمثيل مرافق على نفسه كوحدة نمطية، مع إعطاء الفعل بواسطة

\mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),

أين

\Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.

الحالة 1: q ليس جذرًا للوحدة

أحد أنواع التمثيل المهمة هو تمثيل الأوزان، ويُطلق على الوحدة النمطية المقابلة _له اسم وحدة الوزن. وحدة الوزن هي وحدة نمطية ذات أساس من متجهات الأوزان. متجه الوزن هو متجه غير صفري v بحيث يكون kλ · v = dλ v لجميع قيم λ ، حيث _dλ أعداد مركبة لجميع الأوزان λ التي تحقق الشرط التالي _:

d_{0}=1,

d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },

لجميع الأوزان λ و μ .

يُطلق على وحدة الوزن اسم "قابلة للتكامل" إذا كانت تأثيرات e _i و f _i معدومة محليًا (أي لأي متجه v في الوحدة، يوجد عدد صحيح موجب k ، قد يعتمد على v ، بحيث $e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0$ لكل i ). في حالة الوحدات القابلة للتكامل، فإن الأعداد المركبة d _λ المرتبطة بمتجه الوزن تحقق $d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}$ حيث ν عنصر من عناصر شبكة الوزن، و c و _λ أعداد مركبة بحيث

$c_{0}=1,$
$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ لجميع الأوزان λ و μ ،
$c_{2\alpha _{i}}=1$ لكل i .

تُعدّ تمثيلات الوزن الأعلى ، ووحدات الوزن الأعلى المقابلة لها، ذات أهمية خاصة . وحدة الوزن الأعلى هي وحدة مُولّدة بواسطة متجه وزن v ، تخضع للشرط k _λ · v = d _λ v لجميع الأوزان μ ، و e _i · v = 0 لجميع i . وبالمثل، يمكن أن يكون للمجموعة الكمومية تمثيل وزن أدنى ووحدة وزن أدنى، أي وحدة مُولّدة بواسطة متجه وزن v ، تخضع للشرط k _λ · v = d _λ v لجميع الأوزان λ ، و f _i · v = 0 لجميع i .

عرّف المتجه v بحيث يكون له وزن ν إذا $k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v$ لجميع قيم λ في شبكة الوزن.

إذا كانت G جبر كاك-مودي، ففي أي تمثيل غير قابل للاختزال لأعلى وزن لـ U _q ( G )، بوزن أعلى ν، تكون تعددية الأوزان مساوية لتعدديتها في تمثيل غير قابل للاختزال لـ U ( G ) بوزن أعلى مساوٍ. إذا كان الوزن الأعلى مهيمنًا وصحيحًا (يكون الوزن μ مهيمنًا وصحيحًا إذا حقق μ الشرط التالي: $2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})$ إذا كان عدد صحيح غير سالب لجميع i )، فإن طيف الوزن للتمثيل غير القابل للاختزال يكون ثابتًا تحت مجموعة Weyl لـ G ، ويكون التمثيل قابلاً للتكامل.

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت وحدة الوزن الأعلى قابلة للتكامل، فإن متجه الوزن الأعلى v الخاص بها يحقق ما يلي: $k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v$ حيث c _λ · v = d _λ v أعداد مركبة بحيث

$c_{0}=1,$
$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ لجميع الأوزان λ و μ ،
$c_{2\alpha _{i}}=1$ لكل i ،

و ν هي المهيمنة والتكاملية.

كما هو الحال في جميع جبر هوبف، فإن حاصل الضرب الموتري لوحدتين هو وحدة أخرى. بالنسبة لعنصر x من U _q (G) ، وبالنسبة للمتجهين v و w في الوحدات المعنية، فإن x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w )، وبالتالي $k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w$ وفي حالة المنتج الثانوي Δ ₁ ، $e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w$ و $f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.$

إنّ وحدة الوزن الأعلى القابلة للتكامل الموصوفة أعلاه هي حاصل ضرب موتر لوحدة أحادية البعد (حيث kλ = cλ لجميع قيم λ ، و eᵢ = _{fᵢ =}₀ لجميع قيم i ) ووحدة وزن أعلى مُولّدة بواسطة متجه غير صفري v₀ _، مع مراعاة ما _يلي_: $k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}$ لجميع الأوزان λ ، و $e_{i}\cdot v_{0}=0$ لكل i .

في الحالة المحددة حيث يكون G جبر لي محدود الأبعاد (كحالة خاصة من جبر كاك-مودي)، فإن التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأوزان التكاملية العليا المهيمنة تكون أيضًا محدودة الأبعاد.

في حالة حاصل ضرب الموتر لأعلى وحدات الوزن، يكون تفكيكه إلى وحدات فرعية هو نفسه بالنسبة لحاصل ضرب الموتر للوحدات المقابلة لجبر كاك-مودي (أعلى الأوزان هي نفسها، وكذلك تعددياتها).

الحالة الثانية: q هو جذر الوحدة

شبه مثلثية

الحالة 1: q ليس جذرًا للوحدة

_{بالمعنى الدقيق، فإن} المجموعة الكمومية Uq ( G ) ليست شبه مثلثية، ولكن يمكن اعتبارها "شبه مثلثية تقريبًا" لوجود مجموع شكلي لانهائي يؤدي دور مصفوفة _R. يمكن التعبير عن هذا المجموع الشكلي اللانهائي بدلالة المولدات eᵢ _و fᵢ ، _{ومولدات} كارتان tλ _، حيث يُعرَّف kλ شكليًا بـ qtλ ^. المجموع الشكلي اللانهائي هو حاصل ضرب عاملين ^_.

q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}

ومجموع شكلي لانهائي، حيث λ _j هو أساس للفضاء المزدوج للجبر الفرعي كارتان، و μ _j هو الأساس المزدوج، و η = ±1.

للمجموع اللانهائي الرسمي الذي يؤدي دور مصفوفة R تأثير محدد جيدًا على حاصل الضرب الموتري لوحدتين غير قابلتين للاختزال ذات أعلى وزن، وكذلك على حاصل الضرب الموتري لوحدتين ذات أدنى وزن. تحديدًا، إذا كان وزن v هو α ووزن w هو β ، فإن

q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,

وحقيقة أن الوحدات النمطية هي وحدات ذات وزن أعلى أو وحدات ذات وزن أدنى تقلل من تأثير العامل الآخر على v ⊗ W إلى مجموع محدود.

على وجه التحديد، إذا كانت V هي وحدة الوزن الأعلى، فإن المجموع اللانهائي الرسمي، R ، له تأثير محدد جيدًا وقابل للعكس على V ⊗ V ، وهذه القيمة لـ R (كعنصر من End( V ⊗ V )) تحقق معادلة يانغ-باكستر ، وبالتالي تسمح لنا بتحديد تمثيل لمجموعة الجدائل ، وتحديد الثوابت شبه الثابتة للعقد والروابط والجدائل .

الحالة الثانية: q هو جذر الوحدة

المجموعات الكمومية عند q = 0

قام ماساكي كاشيوارا بدراسة السلوك المحدود للمجموعات الكمومية عندما q → 0، ووجد قاعدة جيدة السلوك بشكل خاص تسمى قاعدة بلورية .

الوصف والتصنيف حسب أنظمة الجذور ومخططات دينكين

لقد تم إحراز تقدم كبير في وصف الكسور المنتهية للمجموعات الكمومية مثل U _q ( g ) المذكورة أعلاه لـ q ⁿ = 1 ؛ عادةً ما يتم النظر في فئة جبر هوبف المدبب ، مما يعني أن جميع الوحدات المشتركة اليسرى أو اليمنى البسيطة هي أحادية البعد، وبالتالي فإن مجموع جميع الجبر المشترك الفرعي البسيط يشكل جبر مجموعة يسمى الجذر المشترك :

في عام 2002، أنهى كل من هـ. ج. شنايدر ون. أندروسكيفيتش ^{[ 3 ]} تصنيفهما لجبر هوبف المدبب مع مجموعة جذرية مشتركة أبيلية (باستثناء الأعداد الأولية 2، 3، 5، 7)، خاصة وأن النواتج المحدودة المذكورة أعلاه لـ U _q ( g ) تتحلل إلى E ′s (جزء بوريل)، و F ′s المزدوجة و K ′s (جبر كارتان) تمامًا مثل جبر لي شبه البسيط العادي :

\left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }

هنا، كما في النظرية الكلاسيكية ، V هو فضاء متجهي مضفر ذو بُعد n يمتد بواسطة E ′s، و σ (ما يُسمى بالتواء الدورة المشتركة) يُنشئ الربط غير التافه بين E ′s و F ′s. تجدر الإشارة إلى أنه على عكس النظرية الكلاسيكية، قد يظهر أكثر من مُكوّنين مرتبطين. ويحل جبر نيكولز محل جبر بوريل الكمومي.

{\mathfrak {B}}(V)

من فضاء المتجهات المضفر.

مخطط دينكين المعمم لجبر هوبف المدبب الذي يربط أربع نسخ بحجم A3

كان أحد المكونات الأساسية هو تصنيف إي. هيكنبرغر لجبر نيكولز المنتهي للمجموعات الأبيلية من حيث مخططات دينكين المعممة . ^{[ 4 ]} عندما تكون الأعداد الأولية الصغيرة موجودة، تظهر بعض الأمثلة الغريبة، مثل المثلث (انظر أيضًا شكل مخطط دينكين من الرتبة 3).

في غضون ذلك، أثبت شنايدر وهيكنبرغر ^{[ 5 ]} عمومًا وجود نظام جذر حسابي حتى في الحالة غير التبديلية، مما يُولّد أساس PBW كما أثبته خارتشيكو في الحالة التبديلية (دون افتراض البعد المحدود). ويمكن استخدام هذا ^[⁶^] في حالات محددة U _q ( g )، ويُفسّر، على سبيل المثال، التطابق العددي بين بعض الجبر الجزئي المثالي لهذه المجموعات الكمومية ورتبة مجموعة ويل لجبر لي g .

مجموعات الكم المصفوفية المدمجة

قدّم إس. إل. وورونوفيتش مفهوم الزمر الكمومية المصفوفية المدمجة. وهي بنى مجردة تُعطى فيها "الدوال المتصلة" على هذه البنية بواسطة عناصر من جبر C* . وتُعدّ هندسة الزمرة الكمومية المصفوفية المدمجة حالة خاصة من الهندسة غير التبادلية .

تشكل الدوال المركبة المتصلة على فضاء طوبولوجي هاوسدورف متراص جبرًا تبديليًا من نوع C*. وبحسب نظرية جيلفاند ، فإن الجبر التبديلي من نوع C* متماثل مع جبر C* للدوال المركبة المتصلة على فضاء طوبولوجي هاوسدورف متراص، ويُحدد الفضاء الطوبولوجي بشكل فريد بواسطة جبر C* حتى التشاكل التام .

بالنسبة لمجموعة طوبولوجية مضغوطة ، G ، يوجد تماثل جبري C* Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (حيث C ( G ) ⊗ C ( G ) هو حاصل الضرب الموتري للجبر C* - إكمال حاصل الضرب الموتري الجبري لـ C ( G ) و C ( G ))، بحيث يكون Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) لجميع f ∈ C ( G )، ولجميع x , y ∈ G (حيث ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) لجميع f , g ∈ C ( G ) وجميع x , y ∈ G ). يوجد أيضًا تطبيق ضربي خطي κ : C ( G ) → C ( G )، بحيث يكون κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) لكل f ∈ C ( G ) ولكل x ∈ G. وبالتحديد، هذا لا يجعل C ( G ) جبر هوبف، إلا إذا كانت G منتهية. من ناحية أخرى، يمكن استخدام تمثيل منتهي الأبعاد لـ G لتوليد جبر فرعي *- لـ C ( G ) وهو أيضًا جبر هوبف *-. وبالتحديد، إذا $g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}$ إذا كان تمثيلًا _ذا أبعاد n لـ G ، فإن u ij ∈ C ( G ) و

\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.

يترتب على ذلك أن الجبر النجمي المُوَلَّد بواسطة u _{ij} لجميع i و j و κ ( u _ij ) لجميع i و j هو جبر هوبف النجمي: يتم تحديد الوحدة المرافقة بواسطة ε( u _ij ) = δ _ij لجميع i و j (حيث δ _ij هي دلتا كرونكر )، والمضاد هو κ ، والوحدة معطاة بواسطة

1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.

التعريف العام

كتعميم، تُعرَّف المجموعة الكمومية المصفوفية المدمجة على أنها زوج ( C ، u )، حيث C هي جبر C* و $u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ هي مصفوفة عناصرها في C بحيث

الجبر الفرعي *-، C ₀ ، من C ، والذي يتم توليده بواسطة عناصر المصفوفة u ، كثيف في C ؛

يوجد تماثل جبري من نوع C* يسمى الضرب المشترك Δ: C → C ⊗ C (حيث C ⊗ C هو حاصل الضرب الموتري الجبري من نوع C* - إكمال حاصل الضرب الموتري الجبري لـ C و C ) بحيث يكون لدينا لجميع i و j ما يلي:

\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}

يوجد تطبيق خطي مضاد للضرب κ: C ₀ → C ₀ (المعكوس) بحيث يكون κ ( κ ( v *)*) = v لجميع v ∈ C ₀ و

\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,

حيث I هو العنصر المحايد لـ C. بما أن κ مضاد للضرب، فإن κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) لجميع v ، w في C ₀ .

نتيجةً للاستمرارية، فإن الضرب المشترك على C هو عملية تجميعية مشتركة.

بشكل عام، C ليس جبرًا ثنائيًا، و C ₀ هو جبر هوبف *-.

بشكل غير رسمي، يمكن اعتبار C بمثابة الجبر * للدوال المركبة المستمرة على مجموعة المصفوفة الكمومية المدمجة، ويمكن اعتبار u بمثابة تمثيل محدود الأبعاد لمجموعة المصفوفة الكمومية المدمجة.

التمثيلات

يُعطى تمثيل المجموعة الكمومية للمصفوفات المدمجة بواسطة تمثيل مشترك لجبر هوبف* (تمثيل مشترك لجبر مشترك ترابطي موحد، حيث A مصفوفة مربعة). $v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ مع وجود عناصر في A (لذا ينتمي v إلى M( n , A )) بحيث

\Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}

لكل i و j و ε ( v _ij ) = δ _ij لكل i و j ). علاوة على ذلك، يُطلق على التمثيل v اسم التمثيل الوحدوي إذا كانت مصفوفة v وحدوية (أو بشكل مكافئ، إذا كانت κ( v _ij ) = v* _ij لكل i و j ).

مثال

مثال على مجموعة كمومية مصفوفية مضغوطة هو SU _μ (2)، حيث المعامل μ عدد حقيقي موجب. لذا فإن SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u )، حيث C(SU _μ (2)) هي جبر C* المولد بواسطة α و γ، مع مراعاة

\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,

\alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,

\alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,

\alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,

و

u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

بحيث يتم تحديد التضاعف بواسطة ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*، ويتم تحديد العكس بواسطة κ(α) = α*, κ(γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = ألفا. لاحظ أن u تمثيل، ولكنه ليس تمثيلًا وحدويًا. u يعادل التمثيل الوحدوي

v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).

بصورة مكافئة، SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w )، حيث C(SU _μ (2)) هي الجبر C* الناتج عن α و β، مع مراعاة

\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,

\alpha \beta =\mu \beta \alpha ,

\alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,

\alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,

و

w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

بحيث يتم تحديد المضاعفة بواسطة ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*، ويتم تحديد العكس بواسطة κ(α) = α*, κ(β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = ألفا. لاحظ أن w تمثيل وحدوي. يمكن التعرف على الإنجازات عن طريق المساواة $\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$ .

عندما μ = 1، فإن SU _μ (2) يساوي الجبر C (SU(2)) للدوال على المجموعة المدمجة الملموسة SU(2).

مجموعات الكم ذات الضرب المتقاطع

بينما تُعدّ الزمر الزائفة المصفوفية المدمجة عادةً نسخًا من زمر درينفيلد-جيمبو الكمومية في صياغة جبرية ثنائية الوظائف، مع بنية إضافية، فإن زمر الضرب الثنائي تُشكّل عائلة ثانية متميزة من الزمر الكمومية ذات أهمية متزايدة باعتبارها تشوهات لزمر لي قابلة للحل وليست زمر لي شبه بسيطة. وهي مرتبطة بتقسيمات لي لجبر لي أو التحليلات الموضعية لزمر لي، ويمكن اعتبارها الضرب الاتجاهي أو تكميم ماكي لأحد العوامل المؤثرة على الآخر بالنسبة للجبر، وينطبق الأمر نفسه على الضرب المشترك Δ حيث يؤثر العامل الثاني على الأول.

أبسط مثال غير تافه على الإطلاق يتوافق مع نسختين من R تؤثران محليًا على بعضهما البعض، وينتج عنه زمرة كمومية (مُعطاة هنا بصيغة جبرية) بمولدات p و K و K ⁻¹ ، على سبيل المثال، وضرب مشترك

[p,K]=hK(K-1)

\Delta p=p\otimes K+1\otimes p

\Delta K=K\otimes K

حيث h هو معامل التشوه.

ارتبطت هذه المجموعة الكمومية بنموذج مبسط لفيزياء مقياس بلانك، يُطبّق مبدأ التبادلية لبورن، عند النظر إليه كتشويه لجبر هايزنبرغ في ميكانيكا الكم. كذلك، عند البدء بأي شكل حقيقي مضغوط لجبر لي شبه بسيط g، فإن تعقيده كجبر لي حقيقي ذي بُعدين ينقسم إلى g وجبر لي قابل للحل ( تحليل إيواساوا )، وهذا يُوفّر مجموعة كمومية ثنائية الضرب التبادلي متعارف عليها مرتبطة بـ g . بالنسبة لـ su (2)، نحصل على تشويه مجموعة كمومية للمجموعة الإقليدية E(3) للحركات في ثلاثة أبعاد.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ شويبرت، كريستيان (1994)، التشتت العكسي الكمومي المعمم ، ص 12237، arXiv : hep-th/9412237v3 ، Bibcode : 1994hep.th...12237S
↑ ماجد، شاهن (1988)، "جبر هوبف للفيزياء على مقياس بلانك"، الجاذبية الكلاسيكية والكمية ، 5 (12): 1587-1607 ، Bibcode : 1988CQGra...5.1587M ، CiteSeerX 10.1.1.125.6178 ، doi : 10.1088/0264-9381/5/12/010
↑ Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
↑ هيكنبرغر: جبر نيكولز من النوع القطري وأنظمة الجذور الحسابية، أطروحة التأهيل 2005.
^ شنايدر هيكنبرجر: نظام الجذر و Weyl gruppoid لجبر نيكولز، 2008.
↑ هيكنبرغر، شنايدر: الجبر الجزئي المثالي الأيمن لجبر نيكولز وترتيب دوفلو لمجموعة ويل، 2009.

مراجع

غرينسينغ، جيرهارد (2013). الجوانب البنيوية لنظرية الحقل الكمومي والهندسة غير التبادلية . وورلد ساينتيفيك. doi : 10.1142/8771 . ISBN 978-981-4472-69-2.
جاغاناثان، ر. (2001). "بعض الملاحظات التمهيدية حول المجموعات الكمومية، والجبر الكمومي، وتطبيقاتها". arXiv : math-ph/0105002 .
كاسل، كريستيان (1995)، المجموعات الكمومية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 155، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/978-1-4612-0783-2 ، ISBN 978-0-387-94370-1MR 1321145
لوزتيغ، جورج (2010) [1993]. مقدمة في المجموعات الكمومية . كامبريدج، ماساتشوستس: بيركهاوزر. ISBN 978-0-817-64716-2.
ماجد، شاهن (2002)، مدخل إلى المجموعات الكمومية ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد 292، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511549892 ، ISBN 978-0-521-01041-2، MR 1904789
ماجد، شاهن (يناير 2006)، "ما هي... المجموعة الكمومية؟" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 53 (1): 30-31 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2008
بودليس، ب.؛ مولر، إ. (1998)، "مقدمة في المجموعات الكمومية"، مراجعات في الفيزياء الرياضية ، 10 (4): 511-551 ، arXiv : q-alg/9704002 ، Bibcode : 1998RvMaP..10..511P ، doi : 10.1142/S0129055X98000173 ، S2CID 2596718
شنايدر، ستيفن ؛ ستيرنبرغ، شلومو (1993). الزمر الكمومية: من الجبر المشترك إلى جبر درينفيلد . نصوص الدراسات العليا في الفيزياء الرياضية. المجلد 2. كامبريدج، ماساتشوستس: دار النشر الدولية.
ستريت، روس (2007)، المجموعات الكمومية ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية الأسترالية، المجلد 19، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511618505 ، ISBN 978-0-521-69524-4MR 2294803

[1] شويبرت، كريستيان (1994)، التشتت العكسي الكمومي المعمم ، ص 12237، arXiv : hep-th/9412237v3 ، Bibcode : 1994hep.th...12237S

[2] ماجد، شاهن (1988)، "جبر هوبف للفيزياء على مقياس بلانك"، الجاذبية الكلاسيكية والكمية ، 5 (12): 1587-1607 ، Bibcode : 1988CQGra...5.1587M ، CiteSeerX 10.1.1.125.6178 ، doi : 10.1088/0264-9381/5/12/010

[3] Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.

[4] هيكنبرغر: جبر نيكولز من النوع القطري وأنظمة الجذور الحسابية، أطروحة التأهيل 2005.

[5] شنايدر هيكنبرجر: نظام الجذر و Weyl gruppoid لجبر نيكولز، 2008.

[6] هيكنبرغر، شنايدر: الجبر الجزئي المثالي الأيمن لجبر نيكولز وترتيب دوفلو لمجموعة ويل، 2009.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗