شروط الحدود الدورية

شروط الحدود الدورية ( PBCs ) هي مجموعة من شروط الحدود التي تُستخدم غالبًا لتقريب نظام كبير (لانهائي) باستخدام جزء صغير يُسمى خلية الوحدة . تُستخدم شروط الحدود الدورية بكثرة في عمليات المحاكاة الحاسوبية والنماذج الرياضية . تُشابه طوبولوجيا شروط الحدود الدورية ثنائية الأبعاد طوبولوجيا خريطة العالم في بعض ألعاب الفيديو؛ إذ تُحقق هندسة خلية الوحدة تبليطًا ثنائي الأبعاد مثاليًا، وبعد مرور جسم ما عبر أحد جوانب الخلية، يظهر مجددًا على الجانب المقابل بنفس السرعة. من الناحية الطوبولوجية، يُمكن اعتبار الفضاء الناتج عن شروط الحدود الدورية ثنائية الأبعاد مُسقطًا على سطح حلقي ( تكثيف ). تتكون الأنظمة الكبيرة التي تُقاربها شروط الحدود الدورية من عدد لا نهائي من خلايا الوحدة. في عمليات المحاكاة الحاسوبية، تُمثل إحدى هذه الخلايا صندوق المحاكاة الأصلي، بينما تُمثل الخلايا الأخرى نسخًا تُسمى صورًا . أثناء المحاكاة، يجب تسجيل خصائص صندوق المحاكاة الأصلي فقط ونشرها. يُعد اصطلاح الصورة الدنيا شكلاً شائعاً من أشكال إدارة الجسيمات في PBC حيث يتفاعل كل جسيم في المحاكاة مع أقرب صورة للجسيمات المتبقية.

يمكن تعريف أحد الأمثلة على الشروط الحدودية الدورية وفقًا للدوال الحقيقية الملساء${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } بواسطة

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (a_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (b_{1},x_{2},...,x_{n}),}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},a_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},b_{2},...,x_{n}),}$

${\displaystyle ...,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,a_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,b_{n})}$

لجميع قيم m = 0، 1، 2، ... وللثوابت${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle b_{i}}$.

في محاكاة الديناميكا الجزيئية ونمذجة مونت كارلو الجزيئية ، تُستخدم شروط الحدود الدورية عادةً لحساب خصائص الغازات أو السوائل أو البلورات أو المخاليط. ^{[ 1 ]} ومن التطبيقات الشائعة استخدام شروط الحدود الدورية لمحاكاة الجزيئات الكبيرة المذابة في وسط من المذيب الصريح . تُعد شروط حدود بورن-فون كارمان شروط حدود دورية لنظام خاص.

في مجال الكهرومغناطيسية، يمكن تطبيق PBC على أنواع مختلفة من الشبكات لتحليل الخصائص الكهرومغناطيسية للهياكل الدورية. ^{[ 2 ]}

تُعدّ شروط الحدود الدورية ثلاثية الأبعاد مفيدةً لتقريب سلوك الأنظمة الكبيرة الحجم من الغازات والسوائل والمواد الصلبة. كما يمكن استخدامها لمحاكاة الأسطح المستوية، وفي هذه الحالة غالبًا ما تكون شروط الحدود الدورية ثنائية الأبعاد أكثر ملاءمة. تُسمى شروط الحدود الدورية ثنائية الأبعاد للأسطح المستوية أيضًا بشروط حدود الألواح ؛ في هذه الحالة، تُستخدم شروط الحدود الدورية لإحداثيين ديكارتيين (مثل x وy)، بينما يمتد الإحداثي الثالث (z) إلى ما لا نهاية.

يمكن استخدام شروط الحدود الدورية (PBCs) بالتزامن مع طرق جمع إيوالد (مثل طريقة إيوالد الشبكية الجزيئية) لحساب القوى الكهروستاتيكية في النظام. إلا أن شروط الحدود الدورية تُدخل أيضًا تشوهات ارتباطية لا تحترم ثبات النظام الانتقالي، ^{[ 3 ]} مما يستلزم فرض قيود على تكوين وحجم صندوق المحاكاة.

في محاكاة الأنظمة الصلبة، يتم اقتطاع مجال الإجهاد الناتج عن أي عدم تجانس في النظام وتعديله بشكل مصطنع بواسطة الحدود الدورية. وبالمثل، فإن طول موجة الصوت أو موجات الصدمة والفونونات في النظام محدود بحجم الصندوق.

في عمليات المحاكاة التي تتضمن تفاعلات أيونية (كولومية)، يجب أن تكون الشحنة الكهروستاتيكية الكلية للنظام صفرًا لتجنب تراكم شحنة لانهائية عند تطبيق شروط الحدود الدورية. في بعض التطبيقات، يكون من المناسب تحقيق التعادل بإضافة أيونات مثل الصوديوم أو الكلوريد ( كأيونات معاكسة ) بأعداد مناسبة إذا كانت الجزيئات محل الاهتمام مشحونة. أحيانًا تُضاف الأيونات حتى إلى نظام تكون فيه الجزيئات محل الاهتمام متعادلة، لتقريب القوة الأيونية للمحلول الذي تظهر فيه الجزيئات بشكل طبيعي. يتطلب الحفاظ على اصطلاح الصورة الدنيا عمومًا أن يكون نصف قطر القطع الكروي للقوى غير الرابطة على الأكثر نصف طول أحد أضلاع مكعب. حتى في الأنظمة المتعادلة كهروستاتيكيًا، يمكن لعزم ثنائي القطب الكلي للخلية الأولية أن يُدخل طاقة سطحية زائفة، تُعادل الكهروحرارية في البلورات القطبية . من النتائج الأخرى لتطبيق شروط الحدود الدورية على نظام مُحاكى مثل سائل أو صلب، أن هذا النظام الافتراضي لا يتصل بـ "محيطه"، نظرًا لكونه لانهائيًا في جميع الاتجاهات. لذا، فإن مساهمات الطاقة بعيدة المدى، مثل الجهد الكهروستاتيكي ، وبالتالي طاقات الجسيمات المشحونة كالإلكترونات، لا تتوافق تلقائيًا مع مقاييس الطاقة التجريبية. رياضيًا، يتوافق هذا الغموض في مستوى الطاقة مع كون مجموع الطاقة الكهروستاتيكية يعتمد على حد سطحي يجب على مستخدم الطريقة تحديده. ^{[ 4 ]}

يجب أن يكون حجم صندوق المحاكاة كبيرًا بما يكفي لمنع ظهور تشوهات دورية ناتجة عن البنية غير الفيزيائية للمحاكاة. ففي صندوق صغير جدًا، قد يتفاعل جزيء كبير مع صورته في صندوق مجاور، وهو ما يُعادل وظيفيًا تفاعل "رأس" الجزيء مع "ذيله". ينتج عن ذلك ديناميكيات غير فيزيائية في معظم الجزيئات الكبيرة، على الرغم من أن حجم هذه التأثيرات، وبالتالي حجم الصندوق المناسب بالنسبة لحجم الجزيئات الكبيرة، يعتمد على المدة المقصودة للمحاكاة، والدقة المطلوبة، والديناميكيات المتوقعة. على سبيل المثال، قد تخضع محاكاة طي البروتين التي تبدأ من الحالة الأصلية لتقلبات أصغر، وبالتالي قد لا تتطلب صندوقًا كبيرًا مثل المحاكاة التي تبدأ من بنية عشوائية . ومع ذلك، فإن تأثيرات أغلفة المذيب على الديناميكيات المرصودة - سواء في المحاكاة أو في التجربة - غير مفهومة جيدًا. ومن التوصيات الشائعة، استنادًا إلى محاكاة الحمض النووي ، ضرورة وجود ما لا يقل عن 1  نانومتر من المذيب حول الجزيئات محل الاهتمام في كل بُعد. ^{[ 5 ]}

ينبغي للجسم الذي يمر عبر أحد أوجه صندوق المحاكاة أن يعود إلى الداخل عبر الوجه المقابل، أو أن صورته تفعل ذلك. من الواضح أنه يجب اتخاذ قرار استراتيجي: هل نقوم (أ) بإعادة الجسيمات إلى صندوق المحاكاة عند مغادرتها، أم (ب) نتركها تستمر (مع حساب التفاعلات مع أقرب الصور)؟ لا يؤثر هذا القرار على مسار المحاكاة، ولكن إذا كان المستخدم مهتمًا بمتوسط ​​الإزاحات، وأطوال الانتشار، وما إلى ذلك، فإن الخيار الثاني هو الأفضل.

إذا كان ( periodic_x ) صحيحًا، فإذا  كان ( x < -x_size * 0.5 ) فإن x = x + x_size، وإذا كان ( x >= x_size * 0.5 ) فإن x = x - x_size .

إذا كانت قيمة ` periodic_x` صحيحة ، فإن `dx` تساوي `x ( j ) - x ( i )`. إذا كانت ` dx` أكبر من `x_size * 0.5` ، فإن ` dx` تساوي ` dx - x_size` . إذا كانت `dx` أصغر من أو تساوي ` x_size * 0.5` ، فإن `dx` تساوي `dx + x_size` .

! بعد تحديث x(i) دون مراعاة شروط الحدود الدورية: x ( i ) = x ( i ) - floor ( x ( i ) / x_size ) * x_size ! لمربع يكون أصله عند الرأس السفلي الأيسر ! يعمل مع قيم x الموجودة في أي صورة. dx = x ( j ) - x ( i ) dx = dx - nint ( dx / x_size ) * x_size

x_rsize = 1.0 / x_size ; // يتم الحساب فقط عند تعيين حجم الصندوق أو تغييرهdx = x [ j ] - x [ i ]; dx -= x_size * nearepint ( dx * x_rsize );

dx = fabs ( dx ); dx -= static_cast < int > ( dx * x_rsize + 0.5 ) * x_size ;

تتطلب شروط الحدود الدورية أن تكون الخلية الأولية ذات شكل يسمح بتكوين بلورة ثلاثية الأبعاد بشكل مثالي. لذا، لا يمكن استخدام قطرة كروية أو بيضاوية. يُعد المكعب أو الموشور المستطيل الخيار الأكثر شيوعًا وبديهية، ولكنه قد يكون مكلفًا حسابيًا نظرًا لوجود كميات غير ضرورية من جزيئات المذيب في الزوايا، بعيدًا عن الجزيئات الكبيرة المركزية. ومن البدائل الشائعة التي تتطلب حجمًا أقل المجسم الثماني الأوجه المبتور .

في ظل شروط الحدود الدورية، يُحفظ الزخم الخطي للنظام، بينما لا يُحفظ الزخم الزاوي . يعتمد التفسير التقليدي لذلك على نظرية نوثر ، التي تنص على أن حفظ الزخم الزاوي ينتج عن ثبات لاغرانجيان الدوران . لكن ثبت أن هذا النهج غير متسق: فهو يعجز عن تفسير عدم حفظ الزخم الزاوي لجسيم منفرد يتحرك في خلية دورية. ^{[ 10 ]} لاغرانجيان الجسيم ثابت، وبالتالي ثابت دورانيًا، لكن زخمه الزاوي لا يُحفظ. ويعود ذلك إلى أن نظرية نوثر تُصاغ عادةً للأنظمة المغلقة. تتبادل الخلية الدورية الزخم الكتلي والزخم الزاوي والطاقة مع الخلايا المجاورة.

عند تطبيق شروط الحدود الدورية (PBC) بدلاً من الجدران العاكسة على المجموعة الميكروكانونية (عدد الجسيمات والحجم والطاقة ثابتة، ويُشار إليها اختصارًا بـ NVE)، يتغير أخذ عينات المحاكاة بشكل طفيف نتيجةً لحفظ الزخم الخطي الكلي وموقع مركز الكتلة؛ وقد أُطلق على هذه المجموعة اسم " مجموعة الديناميكا الجزيئية " ^{[ 11 ]} أو مجموعة NVEPG. ^{[ 12 ]} تُدخل هذه الكميات المحفوظة الإضافية بعض التشوهات الطفيفة المتعلقة بالتعريف الميكانيكي الإحصائي لدرجة الحرارة ، وانحراف توزيعات السرعة عن توزيع بولتزمان ، وانتهاكات مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة في الأنظمة التي تحتوي على جسيمات ذات كتل غير متجانسة . أبسط هذه التأثيرات هو أن نظامًا مكونًا من N جسيمًا سيتصرف، في مجموعة الديناميكا الجزيئية، كنظام مكون من N-1 جسيمًا. لهذه التشوهات عواقب قابلة للقياس الكمي على الأنظمة الصغيرة التي تحتوي فقط على جسيمات صلبة تمامًا. لم يتم دراستها بعمق في عمليات المحاكاة الجزيئية الحيوية القياسية، ولكن بالنظر إلى حجم هذه الأنظمة، ستكون التأثيرات ضئيلة إلى حد كبير. ^{[ 12 ]}

• شرط حدود بورن-فون كارمان
• شروط الحدود الحلزونية
• النمذجة الجزيئية
• برنامج لنمذجة الميكانيكا الجزيئية

• رابابورت، دي سي (2004). فن محاكاة الديناميكا الجزيئية (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-82568-7.انظر بشكل خاص الصفحات 15-20.
• شليك، ت. (2002). النمذجة والمحاكاة الجزيئية: دليل متعدد التخصصات . الرياضيات التطبيقية متعددة التخصصات. المجلد  21. نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-95404-X.انظر بشكل خاص الصفحات 272-276.