الترتيب الطوبولوجي المحمي بالتناظر

الترتيب الطوبولوجي المحمي بالتناظر (SPT) ^{[ 1 ] [ 2 ]} هو نوع من الترتيب في حالات المادة الكمومية ذات درجة الحرارة الصفرية والتي لها تناظر وفجوة طاقة محدودة.

للحصول على النتائج بأكثر الطرق ثباتًا، تُستخدم طرق مجموعة إعادة التطبيع (مما يؤدي إلى فئات تكافؤ تتوافق مع نقاط ثابتة معينة). ^{[ 1 ]} يتميز ترتيب SPT بالخصائص التعريفية التالية:

(أ) لا يمكن تحويل حالات SPT المتميزة ذات التناظر المحدد بسلاسة إلى بعضها البعض دون حدوث انتقال طوري، إذا حافظ التحويل على التناظر . (ب) ومع ذلك، يمكن تحويلها جميعًا بسلاسة إلى نفس حالة المنتج التافهة دون حدوث انتقال طوري، إذا انكسر التناظر أثناء التحويل .

ينطبق التعريف أعلاه على كل من الأنظمة البوزونية والأنظمة الفرميونية، مما يؤدي إلى مفاهيم ترتيب SPT البوزوني وترتيب SPT الفرميوني.

باستخدام مفهوم التشابك الكمومي ، يمكننا القول إن حالات SPT هي حالات تشابك قصيرة المدى ذات تناظر (على النقيض من ذلك: بالنسبة للتشابك طويل المدى، انظر الترتيب الطوبولوجي ، وهو غير مرتبط بمفارقة EPR الشهيرة ). ولأن حالات التشابك قصيرة المدى لا تمتلك سوى ترتيبات طوبولوجية بسيطة ، يمكننا أيضًا الإشارة إلى ترتيب SPT باسم الترتيب "البسيط" المحمي بالتناظر.

1. تتميز نظرية الحدود الفعالة لحالة SPT غير التافهة دائمًا بشذوذ قياسي بحت أو شذوذ قياسي-جاذبي مختلط لمجموعة التناظر. ^{[ 3 ]} ونتيجة لذلك، تكون حدود حالة SPT إما عديمة الفجوة أو متدهورة، بغض النظر عن كيفية تقسيم العينة لتشكيل الحدود. من المستحيل وجود حدود غير متدهورة ذات فجوة لحالة SPT غير التافهة. إذا كانت الحدود حالة متدهورة ذات فجوة، فقد يكون التدهور ناتجًا عن كسر التناظر التلقائي و/أو الترتيب الطوبولوجي (الذاتي).
2. تحمل عيوب المونودرومي في حالات SPT ثنائية الأبعاد غير التافهة إحصائيات غير تافهة ^{[ 4 ]} وأعدادًا كمية كسرية ^{[ 5 ]} لمجموعة التناظر. تُنشأ عيوب المونودرومي عن طريق تدوير شرط الحد على طول قطع بواسطة تحويل تناظري. نهايات هذا القطع هي عيوب المونودرومي . على سبيل المثال، تُصنف حالات Zn SPT البوزونية ثنائية الأبعاد بواسطة عدد صحيح Zn _m . يمكن _إثبات أن n من عيوب المونودرومي الأولية المتطابقة في حالة Zn _SPT المُصنفة بـ m ستحمل عددًا كميًا إجماليًا _{Zn يساوي} 2m، وهو ليس من مضاعفات n .
3. تتميز حالات SPT البوزونية ثنائية الأبعاد U(1) بموصلية هول كمية كعدد زوجي. ^{[ 6 ] [ 7 ]} أما حالات SPT البوزونية ثنائية الأبعاد SO(3) فتتميز بموصلية هول كمية للدوران. ^{[ 8 ]}

تكون حالات SPT متشابكة قصيرة المدى، بينما تكون الحالات المرتبة طوبولوجيًا متشابكة طويلة المدى. قد يمتلك كل من الترتيب الطوبولوجي الجوهري وترتيب SPT أحيانًا إثارات حدودية محمية عديمة الفجوة . والفرق دقيق: فالإثارات الحدودية عديمة الفجوة في الترتيب الطوبولوجي الجوهري تكون مقاومة لأي اضطرابات محلية، بينما تكون الإثارات الحدودية عديمة الفجوة في ترتيب SPT مقاومة فقط للاضطرابات المحلية التي لا تكسر التناظر . لذا، فإن الإثارات الحدودية عديمة الفجوة في الترتيب الطوبولوجي الجوهري محمية طوبولوجيًا، بينما الإثارات الحدودية عديمة الفجوة في ترتيب SPT محمية تناظريًا . ^{[ 9 ]}

نعلم أيضًا أن الترتيب الطوبولوجي الجوهري يتميز بشحنة كسرية ناشئة، وإحصاءات كسرية ناشئة ، ونظرية قياس ناشئة . في المقابل، لا يتميز ترتيب SPT بشحنة كسرية ناشئة أو إحصاءات كسرية ناشئة للإثارات ذات الطاقة المحدودة، ولا بنظرية قياس ناشئة (بسبب تشابكه قصير المدى). تجدر الإشارة إلى أن عيوب المونودرومية المذكورة أعلاه ليست إثارات ذات طاقة محدودة في طيف الهاميلتوني، بل هي عيوب ناتجة عن تعديل الهاميلتوني.

أول مثال على ترتيب SPT هو طور هالدين لسلسلة اللف المغزلي ذات العدد الفردي من اللف المغزلي . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} وهو طور SPT محمي بتناظر دوران اللف المغزلي SO(3) . ^{[ 1 ]} تجدر الإشارة إلى أن أطوار هالدين لسلسلة اللف المغزلي ذات العدد الزوجي من اللف المغزلي لا تمتلك ترتيب SPT. ومن الأمثلة الأكثر شهرة على ترتيب SPT العازل الطوبولوجي للفيرميونات غير المتفاعلة، وهو طور SPT محمي بتناظر U(1) وتناظر انعكاس الزمن .

من ناحية أخرى، فإن حالات هول الكمومية الكسرية ليست حالات SPT. إنها حالات ذات ترتيب طوبولوجي (جوهري) وتشابكات طويلة المدى.

باستخدام مفهوم التشابك الكمومي ، نحصل على الصورة العامة التالية للأطوار ذات الفجوة عند درجة حرارة الصفر المطلق. يمكن تقسيم جميع الأطوار ذات الفجوة عند درجة حرارة الصفر المطلق إلى فئتين: أطوار متشابكة طويلة المدى ( أي أطوار ذات ترتيب طوبولوجي جوهري ) وأطوار متشابكة قصيرة المدى ( أي أطوار بدون ترتيب طوبولوجي جوهري ). يمكن تقسيم جميع الأطوار المتشابكة قصيرة المدى إلى ثلاث فئات: أطوار كسر التناظر ، وأطوار SPT، ومزيج منهما (حيث يمكن أن يظهر ترتيب كسر التناظر وترتيب SPT معًا).

من المعروف أن نظرية الزمر تصف ترتيبات كسر التناظر . بالنسبة لأطوار SPT البوزونية ذات الحدود الشاذة القياسية البحتة، فقد ثبت أنها تُصنف وفقًا لنظرية تماثل الزمر : ^{[ 15 ] [ 16 ]} تُصنف حالات SPT ذات الأبعاد (d+1) التي لها التناظر G بواسطة العناصر الموجودة في فئة تماثل الزمر. ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$أما بالنسبة لحالات SPT الأخرى ذات الأبعاد (d+1) ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} ذات الحدود الشاذة المختلطة بين القياس والجاذبية، فيمكن وصفها بما يلي:${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$، ^{[ 21 ]} حيث${\displaystyle iTO^{d+1}}$هي المجموعة الأبيلية التي تشكلها (d+1)D من الأطوار المرتبة طوبولوجيًا والتي ليس لها إثارات طوبولوجية غير تافهة (يشار إليها باسم أطوار iTO).

انطلاقاً من النتائج المذكورة أعلاه، تم التنبؤ بالعديد من الحالات الكمومية الجديدة للمادة، بما في ذلك العوازل الطوبولوجية البوزونية (حالات SPT المحمية بواسطة U(1) وتناظر انعكاس الزمن) والموصلات الفائقة الطوبولوجية البوزونية (حالات SPT المحمية بواسطة تناظر انعكاس الزمن)، بالإضافة إلى العديد من حالات SPT الجديدة الأخرى المحمية بتناظرات أخرى.

قائمة بحالات SPT البوزونية من علم التماثل الجماعي${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$(${\displaystyle Z_{2}^{T}}$= مجموعة تناظر انعكاس الزمن)

مجموعة التناظر	1+1D	2+1D	3+1D	4+1D	تعليق
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z_{2}}$	أطوار iTO بدون تناظر:${\displaystyle iTO^{d+1}}$
${\displaystyle U(1)\rمرات Z_{2}^{T}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle 2Z_{2}+Z_{2}}$	${\displaystyle Z\oplus Z_{2}+Z}$	عازل طوبولوجي بوزوني
${\displaystyle Z_{2}^{T}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z_{2}+Z_{2}}$	${\displaystyle 0}$	الموصل الفائق الطوبولوجي البوزوني
${\displaystyle Z_{n}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z_{n}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z_{n}+Z_{n}}$
${\displaystyle U(1)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z+Z}$	2+1D: تأثير هول الكمي
${\displaystyle SO(3)}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle Z_{2}}$	1+1D: سلسلة دوران عدد فردي-صحيح؛ 2+1D: تأثير هول الدوراني
${\displaystyle SO(3)\times Z_{2}^{T}}$	${\displaystyle 2Z_{2}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle 3Z_{2}+Z_{2}}$	${\displaystyle 2Z_{2}}$
${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}^{T}}$	${\displaystyle 4Z_{2}}$	${\displaystyle 6Z_{2}}$	${\displaystyle 9Z_{2}+Z_{2}}$	${\displaystyle 12Z_{2}+2Z_{2}}$

تأتي المراحل التي تسبق علامة "+" من${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$تأتي المراحل التي تلي علامة "+" من${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$. تمامًا كما يمكن لنظرية المجموعة أن تعطينا 230 بنية بلورية في 3+1D، يمكن لنظرية التماثل الجماعي أن تعطينا أطوار SPT مختلفة في أي أبعاد مع أي مجموعات تناظر في الموقع.

من جهة أخرى، تُوصف رتب SPT الفرميونية بنظرية التماثل الفائق للمجموعات . ^{[ 22 ]} لذا، تسمح لنا نظرية التماثل (الفائق) للمجموعات ببناء العديد من رتب SPT حتى للأنظمة المتفاعلة، والتي تشمل العوازل/الموصلات الفائقة الطوبولوجية المتفاعلة.

باستخدام مفاهيم التشابك الكمي وترتيب SPT، يمكن للمرء الحصول على تصنيف كامل لجميع الأطوار الكمومية ذات الفجوة أحادية البعد .

أولًا، يُبين أنه لا يوجد ترتيب طوبولوجي (جوهري) في بُعد واحد ( أي أن جميع الحالات ذات الفجوة في بُعد واحد متشابكة تشابكًا قصير المدى). ^{[ 23 ]} وبالتالي، إذا لم يكن للهاميلتونيان تناظر، فإن جميع حالاته الكمومية ذات الفجوة في بُعد واحد تنتمي إلى طور واحد - طور حالات الضرب التافهة. من ناحية أخرى، إذا كان للهاميلتونيان تناظر، فإن حالاته الكمومية ذات الفجوة في بُعد واحد تكون إما أطوارًا لكسر التناظر ، أو أطوارًا من نوع SPT، أو مزيجًا منهما.

يُتيح هذا الفهم تصنيف جميع الأطوار الكمومية أحادية البعد ذات الفجوة: ^{[ 15 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} يتم تصنيف جميع الأطوار أحادية البعد ذات الفجوة بواسطة الكائنات الرياضية الثلاثة التالية:${\displaystyle (G_{H},G_{\Psi },H^{2}[G_{\Psi },U(1)])}$، أين${\displaystyle G_{H}}$هي مجموعة التناظر للهاميلتوني،${\displaystyle G_{\Psi }}$مجموعة التناظر للحالات الأرضية، و${\displaystyle H^{2}[G_{\Psi },U(1)]}$فئة التماثل الجماعي الثانية لـ${\displaystyle G_{\Psi }}$. (لاحظ أن${\displaystyle H^{2}[G,U(1)]}$يصنف التمثيلات الإسقاطية لـ${\displaystyle G}$.) إذا لم يكن هناك كسر للتناظر ( أي${\displaystyle G_{\Psi }=G_{H}}$يتم تصنيف الأطوار ذات الفجوة أحادية البعد بواسطة التمثيلات الإسقاطية لمجموعة التناظر${\displaystyle G_{H}}$.

• نموذج AKLT
• عازل طوبولوجي
• الجدول الدوري للثوابت الطوبولوجية
• تأثير هول الكمومي الدوراني
• الترتيب الطوبولوجي